直线一级倒立摆控制详细报告

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直线一级倒立摆控制

一、课程设计目的

学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、课程设计要求

1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。

2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。

3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4. 控制要求：

※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒；

※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°；

※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。

对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。

三、控制系统建模过程

1、控制对象示意图

图1.控制对象示意图

图中对象参数：

M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离 0.27m m 摆杆质量 0.132kg F 作用在系统上的外力

X 小车位移

θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。 b 小车摩擦阻尼系数 m/sec 2. 控制系统模拟结构图：

图2.系统的模拟结构图

其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，

D(S)表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）

=0。

3. 建模过程：

T

图3.小车及摆杆的受力分析图

如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程：

对小车有： 22..................................(1)dx d x

F F b N M dt dt

=--=∑小车

对摆杆有：

2

22

2(cos ) (2)

(cos ).............................(3)d F N m x l dt d F

mg P m l l dt

θθ==-=-=-∑∑水平

竖直

转矩：

2222

sin cos ...................................(4)1 (5)

23

l

l d T I Pl Nl dt mr I dr ml l θ

θθ-==+==∑⎰

为使摆杆直立，需使θ≪1，则有sin ,cos 1θθθ≈≈， 线性化（2）（3）（4）方程得：

2

222() (6)

0.......................................................................(7)..............................d N m x l dt

mg P d I Pl Nl dt

θθ

θ=--==+................................(8) 由（1）（5）（6）（7）（8）式联立解得：

222222

222() (9)

4 (10)

3d x d dx

F M m ml b dt dt dt

d d x

mgl ml ml dt dt

θθθ=+-+=- 对（9）（10）两式进行拉式变换，得：

22222

()()()()()

4()()()

3

F S M m s X s Mls s bsX s mgl s ml s s mls X s θθθ=+-+=- 传递函数：

1322

2432()

3()()

(4)43()3()43()()(4)43()3s s

G s F s Ml ml s bls M m gs gb

X s ls g

G s F s Ml ml s bls M m gs gbs

θ==

++-+--=

=

++-+-

将数值带入后得到系统的传递函数：

132224323() 1.461240.10842.6888 2.94

1.0829.4

() 1.461240.10842.6888 2.94s

G s s s s s G s s s s s =

+---=

+--

v1.0 可编辑可修改四、应用 Simulink建立仿真模型进行实验

1．控制系统的simulink仿真结构图及仿真结果

其中 PID控制器的传递函数参数的初步范围可以由劳斯判据确定，具体过程如下：

设PID控制器的传递函数为

1

()

P I D

D s K K K s

s

=++，

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则以θ为输出量的系统特征方程为

11

1()()0P I

D K K K s G s s

+++= 整理得

321.46124(30.108)(342.6888)(3 2.94)0D P I s K s K s K +++-+-=

通过劳斯判据可以确定，若使系统稳定，则有

0.48708(3 2.94)

0.98,0,14.22960.1083I I D P D

K K K K K ->>>

++

通过模拟系统反复实验，根据PID 各个参数的作用进行数值调整，得到使系统满足要求的PID 控制器的传递函数为：

1

()90092650D s s s

=++

2. 系统响应曲线

在单位阶跃输入下，θ（t ）的响应曲线为：

从该响应曲线可以看出，此时系统的稳定时间小于10s ，且摆杆的摆幅小于2度，满足控制要求。