1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt

解： Q f x Asin x
Asinx 2
Asin x 2
Asin
x
2
f
x
2
T
2
归纳:
一般地，函数y Asin(x ), x R及函 数y Acos(x ), x R(其中A,,为常 数,且A 0, 0)的周期为 : T 2 .
课堂练习：
26
解:(1) ∵对任意实数 x有
f (x) 3sin x 3sin(x 2 ) f (x 2 )
cos x 是以2π为周期的周期函数.
(2) Q sin(2x) sin(2x 2 )
sin2(x ),
y sin 2x 是以π为周期的周期函数.
(3) Q 2sin( 1 x ) 2sin( 1 x 2 )
（3）单调性、最值
复习：正弦函数对称性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x k , k Z
2
对称中心： (k , 0) k Z
复习：余弦函数对称性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x k , k Z
对称中心： ( k , 0) k Z
零点：x k (k Z )
2
单调性的应用 ： 一、求最值
例1. 写出下列函数取最大、最小值时的自变量x的集合，并写出 最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解： （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合， 就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
26
26
2
sin
1 2
(
x
4
)
6
,
y 2sin(1 x )
26
是以４π为周期的周期函数．
函数
周期
2
y 3cosx
T 2
1
y sin 2x
T
2
2
y 2sin(1 x )
26
T 4
2
1
2
y Asin(x )
T ?
2
探求:函数y Asin(x ), x R的周期公式
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由 减1 小到 。1
归纳：正弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
源自文库
5 3
2
x
正弦函数在每个闭区间[ 2k , 2k ](k Z )
2
2
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
二、对称性
y
正弦函数的图象
1P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
的周期。
• 2. y sin x与y cos x(x R)周期是 2
最小正周期T=2
• 3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？
f (x) f(x)，偶函数的图像关于y轴对称
• 什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？ f (x) -f(x),奇函数的图像关于原点对称
探究
一.奇偶性
y
1
3 5
A、y sin 1 x 2
C、y cosx
B、y cos x 2
D、y cos2x
（2）函数 y sinx 的最小正周期为___2__。
（3）已知函数 y
_6__
sin(x
3
),
0
的周期为
3
，则
练习题.
求下列函数的周期：
(1) y sin 3x
(2) y cos x 3
T 2
3
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习：求函数y
cos(
1 2
x
4
)的对称轴和对称中心
解（1）令
z 1x
24
则 y cos( 1 x ) cos z
24
y cosz 的对称轴为 z k
1 x k x 2k , k Z
24 解得：对称轴为
x
2k
,
k
2
Z
(2) y
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
即 f (x 2k ) f (x)
☺正弦函数y sin x(x R)是周期函数，周期是2k
思考2：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？
由诱导公式可知： cos(x 2k ) cosx
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数的图象
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
c os z
的对称中心为
(
2
k ,0),k
z
z
2xk2,k12x,k
4
2
k
Z
2
对称中心为
2
(2k
,0), k
Z
我练我掌握
2
课堂小结：
1.正弦函数 y sin x, x R
（1）对称轴： x , Z
2
（2）对称中心： ( , 0), Z （3）奇函数 2.余弦函数 y cos x, x R
（其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周
期是:
T 2
；( 0)
(4)求周期的方法：定义法、公式法
课外作业：
P46 习题1.A组 第3题
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
§1.4.2正弦余弦函数的性质(2)
奇偶性、对称性
复习回顾
• 1.周期函数的意义:
•
若f(x+T)=f(x)，则f(x)就是周期函数，T就是它
归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？
2.我们学习的函数具有周期现象吗？如果有， 我们就说它是周期函数，具有周期性。
今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周 期性
一、周期函数 一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零
的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都 有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，
（1）对称轴： x k , k Z （2）对称中心：(2 k , 0) k Z （3）偶函数
作业
• 求下列函数的对称轴、对称中心： • （1） y sin(2 x ), x R
4
•
（2）y
cos(
1 2
x
6
),
x
R
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第三课时
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
2
复习：函数的单调性 函数 y f (x),若在指定区间任取 x1、x2 ，且 x1 x2 ，都有：
1、_f_(_x1_)___f (_x_2_) ，则f（x）在这个区间上是增函数. 2、_f_(_x1_)___f _(x_2_) ，则f（x）在这个区间上是减函数.
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值 y 1
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
余弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、三角函数的周期y 性:y=sinx(x∈R)
x
-2
0X
2 X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
y
o
4π
x 8π
y
x
o
6π
12π
正弦函数 y sin x(x R)
y
· · -2
22
2
2
( k , 0) k Z
2
例题解析
例1.函数
y sin(2x )的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
C.x
12
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
12
•
例2.求函数
y sin(2x )的对称轴和对称中心
增函数：上升
减函数：下降
观察正余弦函数的图象，探究其单调性
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间… [ 5 , 3 ]、[ ， ]、[3 ，5 ]…上时， 2 2 22 2 2
曲线逐渐上升，sinα的值由 增1大到 。1
当x在区间 … [ 7 , 5 ]、[ 3 ， ]、[ ，3 ]、[5 , 7 ] … 2 2 2 2 22 2 2
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
(3) y 3sin x 4
T 8
T 6
(4) y sin(x )
10
T 2
(5) y cos(2x ), x R T
3
课堂小结 ----本节课所学知识方法：
(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.
(2)正（余）弦函数的周期.
(3)函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
§1.4.2正弦余弦函数的性质(1)
周期性
周期现象 1.每间隔相同的时间就会出现相同的现象称
为周期现象．
2.现实生活中有很多周期现象:
每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春 又回”是周期现象，一年是它的周期；奥运会每 隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象， 4年是它的周期等等。
非零常数T叫做这个函数的周期
最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就 叫做f(x)的最小正周期。
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
知识回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 思考1：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？
即 f (x 2k ) f (x)
性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx 都是周期函数，且它们的周期为2k (k z, k 0) 最小正周期是 2
例：求下列函数的周期：
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R
(3) y 2sin(1 x ), x R
2 2 222
x k , k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3 5
2
P'
2 3
2
y
1
O
2
1
余弦函数的图象
P
3 2
5 3
x
2
2
2
对称轴： x L , 0, , 2 L
x k , k Z
对称中心： L ( , 0), ( , 0), ( 3 , 0), ( 5 , 0)L
3
解（1）令
z 2x
3
则 y sin(2x ) sin z
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k