阈值协整参数的完全修正最小二乘估计的小样本性质
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Vo .l 29, No. 6
预测 FORECAST ING
2010年第 6期
阈值协整参数的完全修正最小二乘估计的小样本性质
刘汉中
(湖南商学院 经济 与贸易学院, 湖南 长沙 410205)
摘 要: 本文应用 FM-OLS 来估计阈值协整参 数, 并利用 M onte-Car lo 模拟 详细研 究了 其小 样本性 质, 结果表 明
FM-OL S法能修正 OLS估计 的小样本偏差, 且数据过程的持久 性 ( 均值回复 速度 ) 、随 机干扰 项与解 释变量 的相
关程度以及样本容量是影响 FM-OLS小样本性质的主要因素。模拟结果还表 明不论是阈 值协整还 是线性协整,
FM-OL S都比 OLS估计具有 明显优势, 因此在宏观经济协整 分析中, 利用 FM-O LS法能 获得较 准确的参 数估计,
同时还可以利用标准分 布对协整参数进行 W a ld检验。
关键词: 阈值协整; 完全修正的 OLS; 偏差和标 准差; M C 模拟
中图分类号: F 224. 0
文献标识码: A
文章编号: 1003-5192( 2010) 06- 0071- 05
Sm all Sam p le P roperties of Fu lly M od ified OLS E stim ation of th e Param eters in Threshold C oin tegration
L IU H an-zhong
( Colleg e of E conom ics and Comm erce, H unan U niver sity of Comm erce, Changsha 410205, China) Abstrac t: T he paper exam ines sm a ll sam ple properties o f pa rame ters estim ation w ith fully m od ified OLS ( FM-OLS ) m ethod in thresho ld co integration through perform ing a set o fM onte-Carlo sim ulations, and the resulting ev idence show s tha t FM-OLS me thod can m odify sm all samp le b ias resu lted from OL S, and som e factors exert an in fluence on properties o f FM-OLS me thod includ ing pers istence of the data process, the co rre lation between stochastic error and explanatory va riab les as w ell as samp le size. A s add ition, regardless o f thresho ld co integration o r linear co integ ration, FM-OLS ga ins an obv ious advantage over O LS. T here fo re, when perform ed in the co integration ana lysis, FM-O LS can obta in an exact estim ator about co integration param ete r, and the w ald statistics construc ted through FM-O LS m ethod have standard lim i-t ing d istr ibutions. K ey word s: thresho ld co integ ration; fully m od ified OLS; b ias and standard e rror; M onte-C arlo sim ulation
1 引言
在时间序列分析中, 协 整 ( Co integrat ion ) 无疑 是最常用的分析工具之一, 协整参数向量的估计与 检验当然成为了方法论发展的重中之重。幸运的 是, Eng le和 G ranger已经证明当样本 容量趋于无 穷大时, 协 整 向量 的 OLS 估 计量 具 有超 一致 性 ( Super-consistent), 即 OL S估计量以 T - 1阶收敛于 真实的参数, 而在平稳序列的回归中, 未知参数的 O LS估计量以 T - 1 /2阶收敛于真实参 数, 所以在协 整回归中, 协整参数的 OLS 估计量具有超一致性, 因此在样本容量足够大时, 利用 OLS 估计协整参 数是目前的主要方法之一。另外一种估计协整参 数 方 法 是 由 Johansen 提 出 的 极 大 似 然 估 计
( MLE ), 且在大样本条件下, MLE 估计量具有超一 致性和渐近正态性等优良性质, 但是 M LE 法存在 以下缺陷: ( 1)假定数据过程的真实分布是正态分 布, 而在实际经济分析中不一定成立; ( 2) 当存在 多个协整向量时, 往往无法说明到底哪个才能代表 真实的长期均衡关系? 许多研究人员采用最大特 征值所对应的协整向量作为真实的长期均衡关系, 但依据是什么? 至今没有明确的答案。对于 OL S 和 MLE估计的比较, G onza lo[ 1] 利用 M onte-C arlo方 法对估计的小样本性质进行了研究, 研究表明: ( 1) 当只有一个 协整向量时, 在样本 T = 100 时, OLS与 M LE 相当; ( 2) 在样本容量较大 ( T = 300) 时, M LE 法要优于 OLS法, 且具有较小的均方误差 ( M ean-Square E rror) , 也 就 是 说 在 样 本 较 大 时,
收稿日期: 2009-11-10
# 71#
Vo .l 29, No. 6
预测
2010年第 6期
M LE 比 OLS估计量更加有效; ( 3)非正态性设定对 M LE 估计的影响较小, 即在数据服从非正态分布 时, M LE 也具有良好的特性; ( 4) 滞后阶数的选择 对 MLE估计的影响较为敏感, 且 Gonza lo发现: 较 长滞后阶的选择对 M LE 估计的有效性影响较小, 而较短 ( 相对于真实滞后阶数而言 ) 的滞后阶选择 对有效性影响较大, 所以在应用 Johansen方法时尽 量采用较大的滞后阶, 这样得到的协整参数估计和 检验会更加准确。在本文中, 笔者认为 Johansen的 M LE 方法虽然在大样本下要优于 OLS 估计, 但是 从以上研究来看, 该法所要求的样本容量较大, 而 在实际的经济分析尤其是宏观经济中, 样本容量往 往较小, 一般都小于 100, 所以对 OLS法的改进研 究显得尤其重要。鉴于此, 本文将进一步研究完全 修正的 OLS( Fully M od ified OLS, 简记为 FM-OLS) 估计 法, 目的在 于揭示 在阈值 协整参 数估 计中, FM-OLS 估 计的 小样 本性 质。
众所周 知, OLS 估计 量 具有 超一 致性, 但 是 Ph illips[ 2] 和王少平 [ 3] 研究表明 OLS在小样本下具 有偏差, FM-OLS[ 4] 估计正是为了解决 OLS法的小 样本偏差而提出来的。 Ph illips认为 OLS估计是基 于静态的协整回归方程对协整参数进行估计, 由于 这种静态的回归方程设定忽略了模型的动态结构, 使得协整回归方程中的随机干扰项呈现出自相关
性, 正因为这 种自相关性导致了 OLS 估计量的小 样本偏差。同时, 我们 也知道在平稳 序列的回归 中, 如果解释变量与随机干扰项不相关, 即解释变 量满足严格外生性 ( Strict Exogene ity) 时, OLS估计 量是一致估计量; 如果解释变量不满足严格外生性, 则 OLS估计不是一致估计量。而在非平稳序列的 协整回归中, 即使解释变量与随机干扰项相关, 则协 整参数的 OLS 估计仍然满足一致性 [ 4, 5] , 这说明只 要样本容量足够大, 不论解释变量与随机干扰项是 否相关, OLS估计量是协整参数的一致估计量。另 外对于利用工具变量 ( Instrum ent Variable, IV) 来解 决变 量的 内 生 性 ( Endogene ity ) 问 题, Ph illips 和 H ansen[ 4] 对其进行了深入研究, 结果表明工具变量 法可以获得参数的一致估计量, 且不论工具变量是 否与回归解释变量相关, 也就是说, 在协整回归中 选取的工具变量可以独立于解释变量, 这时的 OLS 估计仍然是一致估计量, 这一点与平稳序列的回归 是不同的, 在平稳序列的回归中, 工具变量必须与 解释变量高度相关。
# 72#
提出 FM-OLS估计法的另一个原因在于: 当协 整回归中的解释变量与随机干扰项相关时, OLS估 计量的渐近分布不再是正态分布, 因此对协整向量 的约束性检验的 W ald统计量不再 渐近地服从于 V2 分布 [ 6] , 这 无疑妨 碍了 W a ld 检验 的应 用。因 此, FM-OLS估计法通过消除解释变量与随机干扰 项之间的相关性, 从而获得协整参数估计量的一致 估计量和 FM-OLS估计量的渐近正态性分布, 这样 可以利用传统的 W ald统计量来对 协整参数进行 检验。
本文将重点研究 FM-OLS 估计在阈值协整参 数估 计 中 的 小 样 本 性 质。阈 值 协 整 [ 7] 最 初 由 B alke和 F omby[ 8] 提出, 这是对 G ranger提出的用来 描述经济变量之间长期关系的协整概念的又一至
关重要的发展。众所周知, 经典意义上的协整刻画 了经济变量之间的长期线性均衡关系, 且协整方程 的随机干扰项服从平稳的线性自回归模型。而阈
值协整回归方程中的随机干扰项服从平稳的阈值
自 回 归 模 型 ( T hresho ld Auto regression, 简 记 为 TAR ), 更确切地说, 阈值协整描述了协整系统回复 长期均衡的速率会随着误差项的不同而不同。例
如, 同一商品价格在不同国家之间存在阈值协整关 系, 即当两价格差没有超过交易成本时, 此时两价 格不会趋同, 即协整系统不回复到长期均衡; 如果 当价格差大于交易成本时, 两价格会回复到长期的 均衡水平, 这说明阈值协整在交易成本、固定调节 成本计量经济分析中 具有十分重要 的应用价值。 同时, 在阈值协整中, 随机干扰项虽然是平稳的, 但 往往存在自相关性, OLS 估计法具有小样本偏差; 另外在阈值协整中, 当解释变量与随机干扰项相关 时, 利用 FM-OLS估计量构造的 W ald统计量仍然 渐近 地服 从于 V2 分布, 因 此在 阈值协 整中 研究 FM-OL S估计的 小样本性质具有十 分重要的理论 和现实意义。
2 阈值协整 ( Th reshold C oin tegration)概述
Eng le和 G ranger的 协 整是 指如 果经 济 变量 X t = (X 1t, X 2t, ,, X kt ) c和 Yt 之间存 在长期协整关 系, 且正则化协整向量是 ( 1, - Bc), 则 X t、Yt 之间 的长期均衡关系可以表示为
Yt = BcX t + Lt
( 1)
其中 X t、Yt 都是 I( 1)过程, Lt 是 I( 0)过程, 且可以
表示为 一 个平 稳的 自 回归 过 程。而 当 B alke 和
刘汉中: 阈值协整参数的完全修正最小二乘估计的小样本性质
Fom by[ 8] 把阈值协整引入宏观经济分析时, 他们认 为如果 ( 1)式中的协整误差项 Lt 的数据生成过程 ( DGP )是以下阈值自 回归模型 ( Threshold Au tore-
预测 FORECAST ING
2010年第 6期
阈值协整参数的完全修正最小二乘估计的小样本性质
刘汉中
(湖南商学院 经济 与贸易学院, 湖南 长沙 410205)
摘 要: 本文应用 FM-OLS 来估计阈值协整参 数, 并利用 M onte-Car lo 模拟 详细研 究了 其小 样本性 质, 结果表 明
FM-OL S法能修正 OLS估计 的小样本偏差, 且数据过程的持久 性 ( 均值回复 速度 ) 、随 机干扰 项与解 释变量 的相
关程度以及样本容量是影响 FM-OLS小样本性质的主要因素。模拟结果还表 明不论是阈 值协整还 是线性协整,
FM-OL S都比 OLS估计具有 明显优势, 因此在宏观经济协整 分析中, 利用 FM-O LS法能 获得较 准确的参 数估计,
同时还可以利用标准分 布对协整参数进行 W a ld检验。
关键词: 阈值协整; 完全修正的 OLS; 偏差和标 准差; M C 模拟
中图分类号: F 224. 0
文献标识码: A
文章编号: 1003-5192( 2010) 06- 0071- 05
Sm all Sam p le P roperties of Fu lly M od ified OLS E stim ation of th e Param eters in Threshold C oin tegration
L IU H an-zhong
( Colleg e of E conom ics and Comm erce, H unan U niver sity of Comm erce, Changsha 410205, China) Abstrac t: T he paper exam ines sm a ll sam ple properties o f pa rame ters estim ation w ith fully m od ified OLS ( FM-OLS ) m ethod in thresho ld co integration through perform ing a set o fM onte-Carlo sim ulations, and the resulting ev idence show s tha t FM-OLS me thod can m odify sm all samp le b ias resu lted from OL S, and som e factors exert an in fluence on properties o f FM-OLS me thod includ ing pers istence of the data process, the co rre lation between stochastic error and explanatory va riab les as w ell as samp le size. A s add ition, regardless o f thresho ld co integration o r linear co integ ration, FM-OLS ga ins an obv ious advantage over O LS. T here fo re, when perform ed in the co integration ana lysis, FM-O LS can obta in an exact estim ator about co integration param ete r, and the w ald statistics construc ted through FM-O LS m ethod have standard lim i-t ing d istr ibutions. K ey word s: thresho ld co integ ration; fully m od ified OLS; b ias and standard e rror; M onte-C arlo sim ulation
1 引言
在时间序列分析中, 协 整 ( Co integrat ion ) 无疑 是最常用的分析工具之一, 协整参数向量的估计与 检验当然成为了方法论发展的重中之重。幸运的 是, Eng le和 G ranger已经证明当样本 容量趋于无 穷大时, 协 整 向量 的 OLS 估 计量 具 有超 一致 性 ( Super-consistent), 即 OL S估计量以 T - 1阶收敛于 真实的参数, 而在平稳序列的回归中, 未知参数的 O LS估计量以 T - 1 /2阶收敛于真实参 数, 所以在协 整回归中, 协整参数的 OLS 估计量具有超一致性, 因此在样本容量足够大时, 利用 OLS 估计协整参 数是目前的主要方法之一。另外一种估计协整参 数 方 法 是 由 Johansen 提 出 的 极 大 似 然 估 计
( MLE ), 且在大样本条件下, MLE 估计量具有超一 致性和渐近正态性等优良性质, 但是 M LE 法存在 以下缺陷: ( 1)假定数据过程的真实分布是正态分 布, 而在实际经济分析中不一定成立; ( 2) 当存在 多个协整向量时, 往往无法说明到底哪个才能代表 真实的长期均衡关系? 许多研究人员采用最大特 征值所对应的协整向量作为真实的长期均衡关系, 但依据是什么? 至今没有明确的答案。对于 OL S 和 MLE估计的比较, G onza lo[ 1] 利用 M onte-C arlo方 法对估计的小样本性质进行了研究, 研究表明: ( 1) 当只有一个 协整向量时, 在样本 T = 100 时, OLS与 M LE 相当; ( 2) 在样本容量较大 ( T = 300) 时, M LE 法要优于 OLS法, 且具有较小的均方误差 ( M ean-Square E rror) , 也 就 是 说 在 样 本 较 大 时,
收稿日期: 2009-11-10
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Vo .l 29, No. 6
预测
2010年第 6期
M LE 比 OLS估计量更加有效; ( 3)非正态性设定对 M LE 估计的影响较小, 即在数据服从非正态分布 时, M LE 也具有良好的特性; ( 4) 滞后阶数的选择 对 MLE估计的影响较为敏感, 且 Gonza lo发现: 较 长滞后阶的选择对 M LE 估计的有效性影响较小, 而较短 ( 相对于真实滞后阶数而言 ) 的滞后阶选择 对有效性影响较大, 所以在应用 Johansen方法时尽 量采用较大的滞后阶, 这样得到的协整参数估计和 检验会更加准确。在本文中, 笔者认为 Johansen的 M LE 方法虽然在大样本下要优于 OLS 估计, 但是 从以上研究来看, 该法所要求的样本容量较大, 而 在实际的经济分析尤其是宏观经济中, 样本容量往 往较小, 一般都小于 100, 所以对 OLS法的改进研 究显得尤其重要。鉴于此, 本文将进一步研究完全 修正的 OLS( Fully M od ified OLS, 简记为 FM-OLS) 估计 法, 目的在 于揭示 在阈值 协整参 数估 计中, FM-OLS 估 计的 小样 本性 质。
众所周 知, OLS 估计 量 具有 超一 致性, 但 是 Ph illips[ 2] 和王少平 [ 3] 研究表明 OLS在小样本下具 有偏差, FM-OLS[ 4] 估计正是为了解决 OLS法的小 样本偏差而提出来的。 Ph illips认为 OLS估计是基 于静态的协整回归方程对协整参数进行估计, 由于 这种静态的回归方程设定忽略了模型的动态结构, 使得协整回归方程中的随机干扰项呈现出自相关
性, 正因为这 种自相关性导致了 OLS 估计量的小 样本偏差。同时, 我们 也知道在平稳 序列的回归 中, 如果解释变量与随机干扰项不相关, 即解释变 量满足严格外生性 ( Strict Exogene ity) 时, OLS估计 量是一致估计量; 如果解释变量不满足严格外生性, 则 OLS估计不是一致估计量。而在非平稳序列的 协整回归中, 即使解释变量与随机干扰项相关, 则协 整参数的 OLS 估计仍然满足一致性 [ 4, 5] , 这说明只 要样本容量足够大, 不论解释变量与随机干扰项是 否相关, OLS估计量是协整参数的一致估计量。另 外对于利用工具变量 ( Instrum ent Variable, IV) 来解 决变 量的 内 生 性 ( Endogene ity ) 问 题, Ph illips 和 H ansen[ 4] 对其进行了深入研究, 结果表明工具变量 法可以获得参数的一致估计量, 且不论工具变量是 否与回归解释变量相关, 也就是说, 在协整回归中 选取的工具变量可以独立于解释变量, 这时的 OLS 估计仍然是一致估计量, 这一点与平稳序列的回归 是不同的, 在平稳序列的回归中, 工具变量必须与 解释变量高度相关。
# 72#
提出 FM-OLS估计法的另一个原因在于: 当协 整回归中的解释变量与随机干扰项相关时, OLS估 计量的渐近分布不再是正态分布, 因此对协整向量 的约束性检验的 W ald统计量不再 渐近地服从于 V2 分布 [ 6] , 这 无疑妨 碍了 W a ld 检验 的应 用。因 此, FM-OLS估计法通过消除解释变量与随机干扰 项之间的相关性, 从而获得协整参数估计量的一致 估计量和 FM-OLS估计量的渐近正态性分布, 这样 可以利用传统的 W ald统计量来对 协整参数进行 检验。
本文将重点研究 FM-OLS 估计在阈值协整参 数估 计 中 的 小 样 本 性 质。阈 值 协 整 [ 7] 最 初 由 B alke和 F omby[ 8] 提出, 这是对 G ranger提出的用来 描述经济变量之间长期关系的协整概念的又一至
关重要的发展。众所周知, 经典意义上的协整刻画 了经济变量之间的长期线性均衡关系, 且协整方程 的随机干扰项服从平稳的线性自回归模型。而阈
值协整回归方程中的随机干扰项服从平稳的阈值
自 回 归 模 型 ( T hresho ld Auto regression, 简 记 为 TAR ), 更确切地说, 阈值协整描述了协整系统回复 长期均衡的速率会随着误差项的不同而不同。例
如, 同一商品价格在不同国家之间存在阈值协整关 系, 即当两价格差没有超过交易成本时, 此时两价 格不会趋同, 即协整系统不回复到长期均衡; 如果 当价格差大于交易成本时, 两价格会回复到长期的 均衡水平, 这说明阈值协整在交易成本、固定调节 成本计量经济分析中 具有十分重要 的应用价值。 同时, 在阈值协整中, 随机干扰项虽然是平稳的, 但 往往存在自相关性, OLS 估计法具有小样本偏差; 另外在阈值协整中, 当解释变量与随机干扰项相关 时, 利用 FM-OLS估计量构造的 W ald统计量仍然 渐近 地服 从于 V2 分布, 因 此在 阈值协 整中 研究 FM-OL S估计的 小样本性质具有十 分重要的理论 和现实意义。
2 阈值协整 ( Th reshold C oin tegration)概述
Eng le和 G ranger的 协 整是 指如 果经 济 变量 X t = (X 1t, X 2t, ,, X kt ) c和 Yt 之间存 在长期协整关 系, 且正则化协整向量是 ( 1, - Bc), 则 X t、Yt 之间 的长期均衡关系可以表示为
Yt = BcX t + Lt
( 1)
其中 X t、Yt 都是 I( 1)过程, Lt 是 I( 0)过程, 且可以
表示为 一 个平 稳的 自 回归 过 程。而 当 B alke 和
刘汉中: 阈值协整参数的完全修正最小二乘估计的小样本性质
Fom by[ 8] 把阈值协整引入宏观经济分析时, 他们认 为如果 ( 1)式中的协整误差项 Lt 的数据生成过程 ( DGP )是以下阈值自 回归模型 ( Threshold Au tore-