数学建模案例分析回归分析
数学建模之回归分析
实际帐目数——x2 同类商品竞争数——x3 地区销售潜力——x4
第二十九页，共56页。
X= x1
11
5.5
2
2.5
31
8.0
41
3.0
51
3.0
6
2.9
7.
8.0
8.
9.0
9 10
.
4.0 6.5
11 1
5.5
12 13
1
5.0 6.0
14 1
5.0
15 16
1
3.5 8.0
17 1
问题分析：
钢材消费量--------试验指标(因变量)Y； 国民收入-----------自变量 x；
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)； 作拟合曲线图形分析。
第四页，共56页。
y=a+bx
钢材消费量y与国民收入x的散点图
第五页，共56页。
回归分析是研究变量间相关关系的一种统计分析。
输入：[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y
结果： Y= 22.5243
28.3186 27.0450 22.5243 26.0582 27.0450 24.1689
26.0582 24.1689 27.9896 19.6904
27.9896 19.6904 28.3186
拟合效果图：
假设：
1、因变量Y是随机变量，并且它服从正态分布； 2、f(x1,x2,x3,x4)是线性函数(非线性)；
模型： Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 ~ N (0, 2 )
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知识介绍
2、多元线性回归模型
多项式回归数学建模实验报告
多项式回归数学建模实验报告一、引言多项式回归是一种常用的数学建模方法，它可以通过拟合多项式函数来描述不同变量之间的关系。
多项式回归在实际问题中广泛应用，例如经济学、生物学、工程学等领域。
本实验旨在通过对一组实验数据进行多项式回归分析，探索多项式回归在模型建立和预测中的应用。
二、数据收集与预处理在实验中，我们收集了一个关于汽车油耗与发动机排量之间关系的数据集。
数据集中包含了不同车型的汽车的油耗和发动机排量的数据。
为了进行多项式回归分析，我们首先对数据进行了预处理，包括数据清洗、去除异常值和缺失值处理等。
三、多项式回归模型建立在多项式回归分析中，我们可以选择不同次数的多项式函数来拟合数据。
在本实验中，我们选择了3次多项式函数来建立模型。
通过最小二乘法将多项式函数拟合到数据上，得到了模型的系数。
四、模型评估与优化为了评估多项式回归模型的拟合效果，我们计算了模型的均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）。
通过观察这些指标的数值，我们可以评估模型的拟合效果，并根据需要进行模型优化。
五、模型预测与应用在模型建立和优化之后，我们可以使用多项式回归模型来进行预测和应用。
通过输入不同的发动机排量，我们可以预测相应的汽车油耗。
这对于汽车制造商和消费者来说都具有重要的实际意义，可以帮助他们做出更好的决策。
六、实验结果与讨论通过对实验数据的多项式回归分析，我们得到了一个拟合效果较好的模型。
模型的MSE较小，R-squared较大，说明模型对数据的拟合效果较好。
通过模型预测，我们可以得到不同发动机排量下的汽车油耗预测值，可以帮助汽车制造商和消费者做出更准确的预测和决策。
七、结论与展望本实验通过对多项式回归模型的建立和应用，探索了多项式回归在数学建模中的实际应用。
实验结果表明多项式回归模型在描述汽车油耗和发动机排量之间关系方面具有较好的效果。
未来的研究可以继续优化模型，探索更高次数的多项式函数或其他回归方法，以提高模型的精确度和预测能力。
数学建模案例分析回归分析实用教案
2021/11/8
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通常(tōngcháng)选择的六类曲线如下：
2021/11/8
返回(fǎnhuí)
解例 2.由散点图我们选配到指数曲线 y=a eb / x 根据线性化方法，算得 bˆ = 1.1107 , Aˆ = 2.4587
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返回 (fǎnhuí)
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第1第8十八页页，/共共525页。2页
三、多元线性回归(huíguī)中的检验与 预测
（Ⅰ）F 检验法
（Ⅱ）r 检验法
2021/11/8
第1第9十九页页，/共共525页。2页
(残差平方和)
19
性
逐 步 回 归
回分
归析
中
的
检
1
第第1一页页，/共共525页2。页
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得(suǒ dé)数据如下：
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些(zhèxiē)数据点（xi，yi）在平面直角坐标系上标出.
解答(jiědá)
散点图
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（1）确定多项式系数的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m）
其中 x=（x1，x2，…，xn），y=（y1，y2，…，yn）； p=（a1，a2，…，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.
数学建模案例分析
数学建模案例分析数学建模是将现实问题转化为数学模型，并利用数学方法对模型进行求解的过程。
它是数学与实际问题结合的重要手段，能够帮助人们深入理解问题的本质，提供科学的决策依据。
以下是一个数学建模案例分析。
市有4个城区，现准备改造城市供水系统，以满足未来的供水需求。
根据过往的数据分析，每个城区的用水量与其人口数量、平均收入以及大型工厂的数量有关。
现在的问题是如何设计供水系统，使得满足各城区的用水需求，并且降低总成本。
为了解决这个问题，我们需要进行数学建模。
首先，我们需要确定影响用水量的因素。
1.人口数量：根据过往数据，我们可以得到人口数量与用水量之间的关系。
假设每增加1个人口，用水量增加A升，其中A为一个常数。
2.平均收入：平均收入的提高可能会促使人们增加用水量。
假设平均收入每提高1个单位，用水量增加B升，其中B为一个常数。
3.大型工厂数量：大型工厂对水的需求较大，可能对城区的用水量产生较大的影响。
假设每增加1个大型工厂，用水量增加C升，其中C为一个常数。
通过对过往数据的分析和回归分析，我们可以得到A、B和C的具体数值。
然后，我们可以建立供水系统的数学模型：设城区1、城区2、城区3和城区4的人口分别为x1、x2、x3和x4，平均收入分别为y1、y2、y3和y4，大型工厂数量分别为z1、z2、z3和z4设城区1、城区2、城区3和城区4的用水量分别为w1、w2、w3和w4根据前述的假设，我们可以得到数学模型：w1=A*x1+B*y1+C*z1w2=A*x2+B*y2+C*z2w3=A*x3+B*y3+C*z3w4=A*x4+B*y4+C*z4此外，由于我们希望降低总成本，我们还需要引入成本模型。
假设供水系统的建设成本与每个城区的用水量成正比，并且平均每增加1升用水量，建设成本增加D元，其中D为一个常数。
设城区1、城区2、城区3和城区4的建设成本分别为cost1、cost2、cost3和cost4根据成本因素，我们可以得到成本模型：cost1 = D * w1cost2 = D * w2cost3 = D * w3cost4 = D * w4接下来，我们需要优化这个数学模型。
数学建模案例分析回归分析55页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉60、生活的道路一旦选定来自就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
数学建模案例分析回归分析
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
数学建模：子女身高对父母身高的 回归分析
广东财经大学华商学院HUASHANG COLLEGEGUANGDONG UNIVERSITY OF FINANCE&ECONOMICS论文题目：子女身高对父母身高的再回归分析姓名：李涛学号：413240126班级： 13市场营销5班姓名：赖伟成学号：413060219 班级： 13市场营销5班姓名：黄超学号：413060212 班级：13市场营销5班目录一、摘要 (1)二、问题的提出 (1)三、问题的重述 (2)四、问题的假设....................................................................五、定义与符号说明......................................................六、模型的建立与求解....................................................................七、模型的检验......................................................八、模型的评价与改进........................................................九、参考文献..................................................................子女身高对父母身高的再回归分析摘要在现实生活中, 人们都知道父母身高对子女身高是有影响的, 但是以分析为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线再回归分析模型等方法成功解决了这三个问题，通过这个方程分析出, 子女身高有回归平均身高的倾向, 人们利用“回归”的思想和方法在自然科学和社会科学的许多领域通过建立回归模型, 揭示了一个又一个问题的内在规律, 并使其得到了深入广泛的应用, 从而也推动了科学和社会的进步。
数学建模——线性回归分析82页PPT
2019/11/15
zhaoswallow
2
表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）
方案\机组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
120
73
180
80
125
125
81.1
90
133.02 73
180
80
125
125
81.1
90
3 -144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32
4 119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84
5 135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06
6 157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26
ˆ0
ˆ1 xi )2
min
0 ,1
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
多元线性回归数学建模经典案例
多元线性回归黄冈职业技术学院数学建模协会胡敏作业：在农作物害虫发生趋势的预报研究中,所涉及的5个自变量及因变量的10组观测数据如下,试建立y对x1-x5的回归模型，指出那些变量对y有显著的线性贡献，贡献大小顺序。
x1 x2 x3 x4 x5 y9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.1559.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.1468.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.84110.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.3565.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.8635.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.9036.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.1148.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.8988.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.9307.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104编写程序如下：data ex;input x1-x5 y@@;cards;9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.8635.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.9036.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.9307.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 ;proc reg;model y=x1 x2 x3 x4 x5/cli;run;运行结果如下：（1）回归方程显著性检验.Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares S quare F Value Pr > FModel 5 2.252070.45041 11.63 0.0170Error 4 0.154970.03874Corrected Total 9 2.40704Root MSE 0.19683 R-Square 0.9356Dependent Mean 1.13100 Adj R-Sq 0.8551Coeff Var 17.40333由Analysis of Variance表可知，其F Value=11.63，Pr > F的值0.0170小于0.05，故拒绝原假设，接受备择假设，认为y与x1 x2 x3 x4 x5之间具有显著性相关系；由R-Square的值为0.9356可知该方程的拟合度高，样本观察值有93.6%的信息可以用回归方程进行解释，故拟合效果较好，认为y与x1 x2 x3 x4 x5之间具有显著性的相关关系。
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
192 0
S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
数学建模——回归分析
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
2024年数学建模——线性回归分析实用精彩教案
2024年数学建模——线性回归分析实用精彩教案一、教学目标1.让学生理解线性回归分析的基本概念和方法。
2.培养学生运用线性回归分析解决实际问题的能力。
3.培养学生的团队协作精神和创新意识。
二、教学内容1.线性回归分析的基本概念2.线性回归方程的求解3.线性回归模型的检验4.实际案例分析与讨论三、教学过程1.导入同学们，大家好！今天我们要学习的是数学建模中的一种重要方法——线性回归分析。
在实际生活中，我们经常会遇到一些变量之间的关系，如何用数学的方法来描述这些关系呢？让我们一起学习线性回归分析的基本概念和方法。
2.线性回归分析的基本概念（1）线性回归模型：描述两个变量之间关系的数学模型，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
（2）线性回归方程：描述线性回归模型的数学方程，形式为y=a+bx，其中a是常数项，b是回归系数。
3.线性回归方程的求解（1）最小二乘法：求解线性回归方程的一种方法，通过使实际观测点到回归直线的距离平方和最小来确定回归系数。
（2）计算步骤：a.收集数据，绘制散点图。
b.根据散点图，初步判断变量之间是否存在线性关系。
c.利用最小二乘法求解回归系数。
d.写出线性回归方程。
4.线性回归模型的检验（1）拟合优度检验：通过计算判定系数R²来评估回归模型的拟合程度。
（2）假设检验：利用t检验和F检验来评估回归系数的显著性。
5.实际案例分析与讨论案例1：某地区房价与收入关系的研究（1）收集数据：收集某地区近年来的房价和收入数据。
（2）绘制散点图：观察房价和收入之间的关系。
（3）求解线性回归方程：利用最小二乘法求解回归系数。
（4）模型检验：计算判定系数R²，进行假设检验。
（5）结论：根据线性回归方程和模型检验结果，分析房价与收入之间的关系。
案例2：某企业产量与广告费用关系的研究（1）收集数据：收集某企业近年来的产量和广告费用数据。
（2）绘制散点图：观察产量和广告费用之间的关系。
数学建模-回归分析例题
目录
引言 线性回归模型 非线性回归模型 多元回归模型 回归分析在实践中的应用
01
CHAPTER
引言
01
02
主题背景
在许多领域，如经济学、生物学、医学和社会学等，都需要用到回归分析来探索变量之间的因果关系或预测未来的发展趋势。
回归分析是数学建模中常用的统计方法，用于研究变量之间的关系。
残差分析
R方值
AIC和BIC值
预测能力
多元回归模型的评估
01
02
03
04
分析残差与拟合值之间的关系，检验模型的假设条件。
计算模型的决定系数，评估模型对数据的拟合程度。
使用信息准则评估模型的复杂度和拟合优度。
使用模型进行预测，评估预测结果的准确性和可靠性。
05
CHAPTER
回归分析在实践中的应用
线性回归模型
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟合数据。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的情况，且自变量对因变量的影响是线性的。
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来描述因变量和自变量之间的关系。
线性回归模型介绍
首先需要明确研究的问题和目标，并确定因变量和自变量。
结果解释
数据分析
THANKS
感谢您的观看。
非线性回归模型
非线性回归模型适用于因变量和自变量之间存在幂函数、对数函数、多项式函数等非线性关系的场景。
适用场景
非线性回归模非线性函数。
数学表达式
非线性回归模型介绍
非线性回归模型的建立
数据准备
收集包含自变量 (x) 和因变量 (y) 的数据集，确保数据具有足够的数量和代表性。
数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (1)
11.1抗生素显著性检验问题摘要在已知抗生素效果情况服从正态分布，且方差相同条件下。
通过用SPSS13.0软件编写程序，进行单因素方差分析。
检验五种抗生素之间是否存在明显差异。
关键词：抗生素方差分析显著性检验一问题重述抗生素注入人体后会与人体血浆蛋白质结合，以致减少了药效。
现在将常用的抗生素注入到牛的体内，得到抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
在总体服从正态分布，且方差相同的条件下分析五种抗生素效果是否存在显著性差异。
二问题分析题目显示各类抗生素效果情况服从正态分布，为了进一步说明抗生素使用效果的差异，需要检查不同抗生素是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。
首先，应该提出抗生素之间没有显著性差异的假设。
然后通过SPSS13.0版本软件进行单因素方差检验[1]。
验证假设是否成立。
三模型假设四符号说明五模型建立与求解题目显示各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比情况属于正态总体，要对各类抗生素是否存在显著性差异。
应用软件SPSS13.0进行单因素方差检验。
其检验步骤如下：Step1. 提出假设:H:各类抗生素之间没有显著性差异；H:各类抗生素之间有显著性差异。
1α0.05。
Step2. 选定显著性水平=Step3. 用软件SPSS13.0进行单因素方差检验用SPSS13.0编写程序得到问题的解：即不同抗生素效果明显不同。
（各抗生素之间具体分析见附录一）六模型评价与改进参考文献[1]薛薇 ,《SPSS统计分析方法及应用》，出版地：电子工业出版社，2009。
[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
附录附录一PSS13.0编写程序得到问题的解：11.2化肥与小麦种子的不同对小麦产量的影响问题摘要化肥与小麦的品种的差异将影响小麦的产量，进而影响农民的生活水平。
本文建立数学模型，就化肥的不同，小麦品种的不同这两种因素定量分析化肥与小麦品种对小麦实际产量的影响。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
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1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
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数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
数学建模-回归分析例题
10.4.2 银行是否批准抵押贷款申请?
有一对夫妇用所拥有的一套面积为1800 平方尺、每年房屋税为1500美元且配有游泳 池的住房 ,向杰弗逊山谷银行提出抵押19万 美元的申请 ,该银行搜集的房屋销售资料如 下 ,试以此判断该银行能否接受这对夫妇的 申请?
居住面积 15 38 23 16 16 13 20 24 19 21 17
在社会经济现象中,变量与变量之间的关系是错 综复杂的 ,既可以是线性相关关系,又可以是非线性 相关关系。究竟如何来确定变量间是什么关系呢?最 直观的办法就是绘制变量与变量之间的散点图,由图 形进行判断并选择配合适当的预测模型 ,如:直线模 型、二次曲线模型、双曲线模型、S型曲线模型等等， 再利用模型作进一步的统计分析。SPSS 中的曲线配 合过程就实现了这一功能.下面就居民储蓄与居民收 入模型为例作介绍,由1997年《中国统计年鉴》可得 中国城镇居民家庭人均生活费收入（x）和城镇储蓄 （y）两个变量（1984年至1996年）数据如下：
LG：该门课程考试成绩。其取值为1（LG=A） 或 0（LG=B或C）
现分析GAP、PSI、TUCH对LG的影响。
10.4.5 家庭摄录机需求分析
当因变量具有相反的两种属性分类（如买 与不买，合格与不合格）或者因变量被分成几 组在不同竞争压力下产生不同的反应效果，以 上所有情况有一共同要求就是必须掌握全部观 察数及竞争压力的反应效果数据总数，这时可 用Analyze中的Probit回归过程进行分析。
10.4.7 电话线缆销售量分析
本例将采用加权最小平方法来估计多 元线性回归方程中的参数，因此必须确定 一合适的权数，利用Weight Estimation 权数估计过程来做。
下表所示，其中：Y=年销售量（百万线 对英尺），X1=GNP（十亿元），X2=新迁住宅 （千户），X3=失业率（%），X4=半年期最低 利率，X5=话费收益率（%）
数学建模案例分析第十章统计回归模型
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
02
03
模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系，通常形式为y=ax+b， 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计，使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验，包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等，以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析，包括残 差的分布、异方差性检验等，以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标，评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验，如果不显著则将其从模型中 剔除。
02
4. 重复步骤2和3，直到没有新的 自变量可以进入模型，也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。
回归分析在数模竞赛中的应用-1
回归分析在数模竞赛中的应用§1 回归分析的基本思想在实际问题中，我们会遇到各种变量，在变量与变量之间，往往存在着各种关系。
有些变量之间的关系是确定性的函数关系，例如，圆的半径R 与圆面积S 之间的关系2R S π=，自由落体落下的时间t 与落下的距离h 之间的关系221gt h =，等等。
在这些关系中，只要自变量的值确定了，因变量的值也就随之确定了。
但是，有些变量之间的关系就不是这样，例如，农作物的施肥量x 与农作物的产量y 之间的关系，商品的价格x 与商品的销售量y 之间的关系，家庭的收入x 与家庭的支出y 之间的关系，父亲的身高x 与儿子的身高y 之间的关系，等等。
在这些关系中，自变量x 的值确定了，因变量y 的值并不完全随之确定，还是可能有上下起伏的变化。
同时，在这些关系中，自变量x 与因变量y 又不是完全无关的，通过大量的统计数据，可以发现，它们之间确实存在着某种关系。
我们把这样的关系，称为统计相关关系。
回归分析（Regression Analysis ），就是研究变量之间的统计相关关系的一种统计方法。
它从自变量和因变量的一组观测数据出发，寻找一个函数式，将变量之间的统计相关关系近似地表达出来。
这个能够近似表达自变量与因变量之间关系的函数式，称为回归方程或回归函数。
§2 回归分析问题的一般形式设有m 个自变量 m x x x ,,,21 和1个因变量 y ，它们之间有下列关系：ε+=),,,;,,,(2121p m a a a x x x F y ，其中，F 是函数形式已知的 m 元函数，p a a a ,,,21 是常数，是函数 F 中的未知参数，ε 是表示误差的随机变量，一般可认为 ε～),0(2σN ，0>σ 。
对 m x x x ,,,21 ，y 进行 n 次观测，得到观测值：),,,,(21i m i i i y x x x ，n i ,,2,1 = 。
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为剩余方差（残差的方差），
ˆ
2 e
分别与
ˆ0
、
ˆ1
独立.
ˆ e 称为剩余标准差.
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三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验
对回归方程Y 0 1x 的显著性检验，归结为对假设 H 0 : 1 0; H1 : 1 0
进行检验.
假设 H0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
其中 r1
1
1 n 2 F1 1, n 2
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2．回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α的置信区间分别为
ˆ
0
t1 2
(n
2)ˆ e
1 n
x2 Lxx
, ˆ0
t1 2
(n
2)ˆ e
1
x2
n Lxx
ห้องสมุดไป่ตู้
和
ˆ1
t
1 2
(n
2)ˆ e
/
Lxx
,
ˆ1
t
1
(n
1．用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计；
2．对回归系数 0 、 1 作假设检验；
3．在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
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二、模型参数估计
1．回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
故 T t (n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
1
2n
n
其中Lxx (xi x)2 xi2 nx 2
i 1
i 1
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（Ⅲ）r 检验法
n
(xi x)( yi y)
记
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
当|r|> r1 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
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四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）
例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
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（Ⅰ）F检验法
当 H 0 成立时，
F
U
~F（1，n-2）
Qe /(n 2)
n
其中 U yˆi y2 （回归平方和） i 1
故 F> F1 (1, n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
（Ⅱ）t 检验法 当 H 0 成立时，T
Lxx ˆ1 ~t（n-2） ˆ e
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数学建模
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解得
ˆ0 y ˆ1x
ˆ1
xy x2
xy x2
n
xi xyi y
或 ˆ1 i1 n
xi x 2
i 1
其中 x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
， x2
1 n
n i 1
xi 2 , xy
1 n
n i 1
xi yi
.
（经验）回归方程为:
实验目的
1．直观了解回归分析基本内容. 2．掌握用数学软件求解回归分析问题.
实验内容
1．回归分析的基本理论. 2．用数学软件求解回归分析问题. 3．实验作业.
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数学建模
1
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
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检 验 、 预 测 与 控 制
设
yi 0 x1 i ,i 1, 2,..., n
E
i
0, Di
2
且1 2 ,..., n相互独立
n
n
记
Q Q(0 , 1)
2 i
yi 0 1xi 2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 ˆ0 ， ˆ1 使得
Q(ˆ0
,
ˆ1
)
min
0 ,1
Q( 0
,
1
)
只要控制 x 满足以下两个不等式
yˆ (x) y, yˆ (x) y 要求 y y 2 (x) .若 yˆ (x) y, yˆ (x) y 分别有解 x
和 x，即 yˆ (x) y, yˆ (x) y .
则 x, x 就是所求的 x 的控制区间.
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性可 数 回线 学 归性 模 （化 型 曲的 及 线一 定 回元 义 归非 ） 线 数学建模
模 型 参 数 估 计
检 验多 与元 预线 测性
回 归 中 的
逐 步 回 归 分 析
2
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高
143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164
2)ˆ
e
/
2
Lxx
2 的置信水平为 1- 的置信区间为
2 1
2
Qe (n
2)
,
2
2
Qe (n
2)
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数学建模
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3．预测与控制
（1）预测
用 y0 的回归值 yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 作为 y0 的预测值.
y0 的置信水平为1 的预测区间为
yˆ0 (x0 ), yˆ0 (x0 )
(cm)
腿长
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
(cm)
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xi，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y 0 1x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
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散点图
数学建模
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一般地，称由 y 0 1x 确定的模型为一元线性回归模型，
记为
y 0 1x E 0, D 2 固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
Y 0 1x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
其中 (x0 ) ˆ et1 (n 2) 2
1 1 x0 x2
n
Lxx
特别，当 n 很大且 x0 在 x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的预测区间近似为
yˆ
ˆ
e u1 2
,
yˆ
ˆ
e u1 2
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（2）控制
要求： y 0 1x 的值以1 的概率落在指定区间y, y
yˆ ˆ0 ˆ1x y ˆ1(x x)
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数学建模
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2． 2 的无偏估计
n
记 Qe Q(ˆ0 , ˆ1 )
yi ˆ0 ˆ1xi 2 n ( yi yˆi )2
i 1
i 1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e
Qe
(n 2)
称
ˆ
2 e