2.4估算(1)
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（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否 仍有类似的规律。 有
想一想
借助计算器求下列各式的值， 你能发现什么规律？
4 3 9 16 25 5
2 2
442 332 1089 1936 3025 55
4442 3332 110889 197136 308025 555 444 333
果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体， 这个容器大约有多高（误差小于1米）? 解：设圆柱的高为x，那么它的底面半径为0.5x,则:
1 x 2
2
x 40 , x x
3
160
, ,
3
160
∴X ≈ 4 .
课堂小结
1、估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；
1000 2000 S=400000
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x×2x=400000 2x2=400000
x2=200000 x= 200000 2x
问题解决 例2、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子 1 的底端离墙的距离约为梯子长度的 3 ，则梯子 比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳 定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
1 设梯子高x米，则底端离墙 6 解： 3 1 x 2 ( 6) 2 6 2 3 x 2 32 5.62 31.36 32
3.9 15.8 4
(2) (3 1200)3 1200
10 3 1200 11
15.8的估算值是3.9或4 3 1200 的估算值是10或11
注意：误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于0.1
课本p 33页议一议
Ⅲ、下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
2
精确计算
2356 60.4
课本p 33页议一议 Ⅳ、下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
(1)
0.43 0.066;
0.43 0.36
(2)
3
3
900 96;
900 3 1000
0.36 0.6
0.43 0.066
3
1000 10
3
900 96
(3)
2536 60.4.
(2)根据所要求的误差确定小数部分。 2.比较两数的大小：
(1)数轴比较 (2)平方比较法 (3)夹逼估算法 (4)作差或作商比较法
比较大小的方法
适用范围
所有实数 负实数 正实数
主要的依据
实数与数轴上的点是一一对 应关系，有大小顺序排列。
两负实数比较，绝对值大的 反而小，绝对值小的反而大。 两正数比较，平方值大的数 大，平方值小的数小。
课本p72练习/2(2);课 本p87练习/6
、 2、 3 、 5。。。
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
用计算器开方
算一算
（1）
4
（4）
3
64
（2）3 27 （3） 64
（5） 27
（6）
3
你能准确地 说出（5） （6）的结 果吗？
4
做一做
利用计算器，求下列各式的值 （结果保留4个有效数字）
按键 8
3
（1）
800
0 4
0 .
= 28.28 4 = 1.639
22 3 （2） 按键 SHIFT 5
注意：先按 SHIFT 再按
按键
3
；将分数化为小数。
. 5 8 = 0.7616
（3） 0.58
按键 SHIFT
3
0
（4） 3 0.432
－
0 .
4 3
2 =
0.7560
问题征答
你能利用计算器比较 的大小吗？
(1)
0.43 0.066;
( 0.43)2 0.43
0.0662 0.004356
(2)
3
900 96;
(3 900)3 900
963 884736
3
0.43 0.066
900 96
(3)
2536 60.4.
( 2536)2 2536
60.4 3648 .16
254.8大约是多少呢？
r S=800
例：下列结果正确吗？你是怎 样判断的？与同伴交流.
40 20 ；
0.9 0.3 ；
3
100000 500 ； 900 96 .
怎样估算一个无理数的范围?
新知探究 Ⅰ、怎样估算无理数
夹 逼 法
12.5 2 ( 12.5 ) 12.5 2 2 3 12.5 4 3 12.5 4
学习目标：
1.会估算一个无理数的大致范围 2.会比较两个无理数的大小 3.会利用估算解决一些简单的实际问题.
学习重难点：
学会估算方法，形成估算意识，学会用估算 法解决实际问题.
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (1)公园的宽大约是多少？它有1 000米吗？ 2000×1000=2000000 >400000 公园的宽没有1 000米
(15米与Leabharlann Baidu6米之间的值均可)
r= 254.8
巩固练习 1、估计下列数的大小：
(1) (2)
3
13.6 (误差小于0.1)； 800(误差小于 1).
(3)
15.8(误差小于 0.1 ）
3
(4)
1200(误差小于 1 ）
比较大小：
方法一：
(1)
3
0.512与2.5；
数 轴 比 较 法
比较大小： 方法二：平方或立方比较法 1.比较下列各组数的大小：
32 5.6
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米 高的墙头。
问题解决
例1、按要求估算下列无理数：
(1)
15.8(误差小于0.1)； (2)
3.92 15.8 42
3
1200(误差小于 1).
103 1200 113
解： (1) ( 15.8)2 15.8
巩固练习
5、小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8米高的 墙头上，他请爸爸帮他取，爸爸搬来梯子，将梯 子稳定摆放(梯子底端离墙的距离约为梯子长度 1 的 )，此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小
3
明梯子的长度有没有5米？你能帮小明一起算算吗？
3. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 .如
，
至少需选5个数。
3
3
3 和
2
解：按键 SHIFT 按键
3
3
=
1.44224957
2
= 1.414213562
3 2
议一议 要动手去探索 规律
（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器 对它进行开平方运算，对所得的结果再进行开平方 运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ 随着开方次数的增加，运算结果越来越接近1。
(1)
(2)
(3)
3
6与2.5；
15与3.85；
260与6；
若a b 0则 a b 0
议一议
（1）如何比较
5 1 1 与 的大小 2 2
（2）小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较 它们的分子就可以了。因为 ＞2，所以 -1 ＞1，因此 ＞
你认为小明的想法正确吗？
方法三：夹逼估算法
举例
（略）
-√5、-3
课本p79练习/3;课本p87 练习/6(1)
利用数轴比较
利用绝对值比较 求平方比较
求差比较
同号实数
对于同号实数a、b， 若a-b≧0，则a ≧b 对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
牢牢记住 的近似值，直接计算比较
（略）
求商比较
同号正实数
（略）
计算近似值比较
含无理数的 实数
2 2
555
n个5
n个4
n个3
利用你发现的规律试写出 4444 3333 的结果。
2 2
5555
试一试 已知按一定规律排列的一组数，1，
1 3
1 2
，……，
，
1 19
1 20
如果从中选出若干个数使它们的和大于3， 那么至少要选出几个数？
1 0.707 0.577 0.5 0.477 3.261
解： ( 5)2 5, 22 4
1 5 1 通过估算，比较 与 的大小。 2 2
52
5 1 1
5 1 1 2 2
依据：同分母分数，分子越大，分数值就越大
巩固练习 4、通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) (2)
3 1 1 与 ； 2 2 15 1 5 与 . 8 8
2
(误差小于0.1)？
12.5的整数部分是3
2
3.5 12.5 3.6 3.5 12.5 3.6 所以 12.5的估算值是3.5或3.6
注意：误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于0.1
1.新知探究
Ⅱ、怎样估算无理数 3 2000 (误差小于1)？ 夹 逼 法
60.4 60
估算的方法
60 3600
2
2356 60.4
小结
1. 估算无理数的方法是（1）通过平方运 算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在允许的 范围内取出近似值. 2. “精确到”与“误差小于”意义不同。 如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意， 答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算 到个位，误差小于10m就是估算到十位.
巩固练习
2、下列计算结果正确吗？说说你的理由。
(1) (2)
8955 9.5; 12345 231.
用估算来解决实际问题 公园宽
200000 ?
（1）如果要求误差小于10 米,它的宽大约是？
(大约440米或450米,其实440米 与450米之间的值都可以)
（2）该公园中心有一个圆形 花圃，它的面积是800平 方米，你能估计它的半径 吗（误差小于1米）?
3
( 2000) 2000
3 3
12 2000 13
3
3
12 3 2000 13
所以 2000 的估算值是 12或13
注意：误差小于1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于1
新知归纳
估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分。
x
S=400000
200000大约是多少呢？
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800 米2，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)
πr2=800
r2≈254.8 r= 254.8
想一想
借助计算器求下列各式的值， 你能发现什么规律？
4 3 9 16 25 5
2 2
442 332 1089 1936 3025 55
4442 3332 110889 197136 308025 555 444 333
果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体， 这个容器大约有多高（误差小于1米）? 解：设圆柱的高为x，那么它的底面半径为0.5x,则:
1 x 2
2
x 40 , x x
3
160
, ,
3
160
∴X ≈ 4 .
课堂小结
1、估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；
1000 2000 S=400000
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x×2x=400000 2x2=400000
x2=200000 x= 200000 2x
问题解决 例2、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子 1 的底端离墙的距离约为梯子长度的 3 ，则梯子 比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳 定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
1 设梯子高x米，则底端离墙 6 解： 3 1 x 2 ( 6) 2 6 2 3 x 2 32 5.62 31.36 32
3.9 15.8 4
(2) (3 1200)3 1200
10 3 1200 11
15.8的估算值是3.9或4 3 1200 的估算值是10或11
注意：误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于0.1
课本p 33页议一议
Ⅲ、下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
2
精确计算
2356 60.4
课本p 33页议一议 Ⅳ、下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
(1)
0.43 0.066;
0.43 0.36
(2)
3
3
900 96;
900 3 1000
0.36 0.6
0.43 0.066
3
1000 10
3
900 96
(3)
2536 60.4.
(2)根据所要求的误差确定小数部分。 2.比较两数的大小：
(1)数轴比较 (2)平方比较法 (3)夹逼估算法 (4)作差或作商比较法
比较大小的方法
适用范围
所有实数 负实数 正实数
主要的依据
实数与数轴上的点是一一对 应关系，有大小顺序排列。
两负实数比较，绝对值大的 反而小，绝对值小的反而大。 两正数比较，平方值大的数 大，平方值小的数小。
课本p72练习/2(2);课 本p87练习/6
、 2、 3 、 5。。。
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
用计算器开方
算一算
（1）
4
（4）
3
64
（2）3 27 （3） 64
（5） 27
（6）
3
你能准确地 说出（5） （6）的结 果吗？
4
做一做
利用计算器，求下列各式的值 （结果保留4个有效数字）
按键 8
3
（1）
800
0 4
0 .
= 28.28 4 = 1.639
22 3 （2） 按键 SHIFT 5
注意：先按 SHIFT 再按
按键
3
；将分数化为小数。
. 5 8 = 0.7616
（3） 0.58
按键 SHIFT
3
0
（4） 3 0.432
－
0 .
4 3
2 =
0.7560
问题征答
你能利用计算器比较 的大小吗？
(1)
0.43 0.066;
( 0.43)2 0.43
0.0662 0.004356
(2)
3
900 96;
(3 900)3 900
963 884736
3
0.43 0.066
900 96
(3)
2536 60.4.
( 2536)2 2536
60.4 3648 .16
254.8大约是多少呢？
r S=800
例：下列结果正确吗？你是怎 样判断的？与同伴交流.
40 20 ；
0.9 0.3 ；
3
100000 500 ； 900 96 .
怎样估算一个无理数的范围?
新知探究 Ⅰ、怎样估算无理数
夹 逼 法
12.5 2 ( 12.5 ) 12.5 2 2 3 12.5 4 3 12.5 4
学习目标：
1.会估算一个无理数的大致范围 2.会比较两个无理数的大小 3.会利用估算解决一些简单的实际问题.
学习重难点：
学会估算方法，形成估算意识，学会用估算 法解决实际问题.
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (1)公园的宽大约是多少？它有1 000米吗？ 2000×1000=2000000 >400000 公园的宽没有1 000米
(15米与Leabharlann Baidu6米之间的值均可)
r= 254.8
巩固练习 1、估计下列数的大小：
(1) (2)
3
13.6 (误差小于0.1)； 800(误差小于 1).
(3)
15.8(误差小于 0.1 ）
3
(4)
1200(误差小于 1 ）
比较大小：
方法一：
(1)
3
0.512与2.5；
数 轴 比 较 法
比较大小： 方法二：平方或立方比较法 1.比较下列各组数的大小：
32 5.6
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米 高的墙头。
问题解决
例1、按要求估算下列无理数：
(1)
15.8(误差小于0.1)； (2)
3.92 15.8 42
3
1200(误差小于 1).
103 1200 113
解： (1) ( 15.8)2 15.8
巩固练习
5、小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8米高的 墙头上，他请爸爸帮他取，爸爸搬来梯子，将梯 子稳定摆放(梯子底端离墙的距离约为梯子长度 1 的 )，此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小
3
明梯子的长度有没有5米？你能帮小明一起算算吗？
3. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 .如
，
至少需选5个数。
3
3
3 和
2
解：按键 SHIFT 按键
3
3
=
1.44224957
2
= 1.414213562
3 2
议一议 要动手去探索 规律
（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器 对它进行开平方运算，对所得的结果再进行开平方 运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ 随着开方次数的增加，运算结果越来越接近1。
(1)
(2)
(3)
3
6与2.5；
15与3.85；
260与6；
若a b 0则 a b 0
议一议
（1）如何比较
5 1 1 与 的大小 2 2
（2）小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较 它们的分子就可以了。因为 ＞2，所以 -1 ＞1，因此 ＞
你认为小明的想法正确吗？
方法三：夹逼估算法
举例
（略）
-√5、-3
课本p79练习/3;课本p87 练习/6(1)
利用数轴比较
利用绝对值比较 求平方比较
求差比较
同号实数
对于同号实数a、b， 若a-b≧0，则a ≧b 对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
牢牢记住 的近似值，直接计算比较
（略）
求商比较
同号正实数
（略）
计算近似值比较
含无理数的 实数
2 2
555
n个5
n个4
n个3
利用你发现的规律试写出 4444 3333 的结果。
2 2
5555
试一试 已知按一定规律排列的一组数，1，
1 3
1 2
，……，
，
1 19
1 20
如果从中选出若干个数使它们的和大于3， 那么至少要选出几个数？
1 0.707 0.577 0.5 0.477 3.261
解： ( 5)2 5, 22 4
1 5 1 通过估算，比较 与 的大小。 2 2
52
5 1 1
5 1 1 2 2
依据：同分母分数，分子越大，分数值就越大
巩固练习 4、通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) (2)
3 1 1 与 ； 2 2 15 1 5 与 . 8 8
2
(误差小于0.1)？
12.5的整数部分是3
2
3.5 12.5 3.6 3.5 12.5 3.6 所以 12.5的估算值是3.5或3.6
注意：误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于0.1
1.新知探究
Ⅱ、怎样估算无理数 3 2000 (误差小于1)？ 夹 逼 法
60.4 60
估算的方法
60 3600
2
2356 60.4
小结
1. 估算无理数的方法是（1）通过平方运 算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在允许的 范围内取出近似值. 2. “精确到”与“误差小于”意义不同。 如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意， 答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算 到个位，误差小于10m就是估算到十位.
巩固练习
2、下列计算结果正确吗？说说你的理由。
(1) (2)
8955 9.5; 12345 231.
用估算来解决实际问题 公园宽
200000 ?
（1）如果要求误差小于10 米,它的宽大约是？
(大约440米或450米,其实440米 与450米之间的值都可以)
（2）该公园中心有一个圆形 花圃，它的面积是800平 方米，你能估计它的半径 吗（误差小于1米）?
3
( 2000) 2000
3 3
12 2000 13
3
3
12 3 2000 13
所以 2000 的估算值是 12或13
注意：误差小于1就是指估算出来的值与准确值
之间的差的绝对值小于1
新知归纳
估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分。
x
S=400000
200000大约是多少呢？
问题情景 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以 环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400 000米2。 (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800 米2，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)
πr2=800
r2≈254.8 r= 254.8