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圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程 (x a)2 ( y b)2

R 2 来说，圆的方程还有另外一种表达

x a Rcos 形式

( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达

y b Rsin

形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值

例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。

【解】圆 x 2

y 2 1的参数方程为：

x cos 。

y sin

则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos

3sin 2

= 1 cos2

sin 2 3

1

cos2

2 sin 2 cos2

= 2 2 sin(2

2 2

k

3 （k ∈Z ）时， x 2

2xy 3 y 2

的最大值为： 2

2 ；

k

8

时， x 2 2xy

3y 2 的最小值为 2

2 。

【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问

y

题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的

) ，则

4

（ k ∈Z ）

8

方法解决。

B

二、求轨迹

O

A

x

C

例 2 在圆 x 2

y 2

4 上有定点 A （2，0），及

图 1

两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向排列，

∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。

3

，得∠BOC= 2 4

），则 B(2cos θ,2sin

【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3

θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2

))，由重心坐标公式并化简，得：

3 3

x 22

)

cos(5

，知 0≤x＜ 1，33

3

，由

y

2

sin()333

33

消去θ得：

( x2) 2y24（0≤x＜1＝。

39

【点评】用圆的几何性质，∠ BOC=2∠BAC=120 °，再以∠ABO= θ为参数，求

出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。

三、求范围

例 3 已知点 P（x，y）是圆x2( y 1)21上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0 恒成立，求 c 的取值范围。

【解】圆 x2( y 1)2 1的参数方程为：

x cos

y ，则有：x+y=1+sinθ+cos

1 sin

θ=1+ 2 sin() ，－（ x+y）=－1－ 2 sin() ，－（ x+y）的最大值为：－44

1+ 2，由于 x+y+c ≥0，所以， c≥－（x+y）恒成立，即 c≥－1+ 2。

【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简

洁易算。

四、求斜率

例 4 求函数 f ( )sin

1 的最大值和最小

cos2y

(2,1)

值。

【解】函数 f ( )sin

1 的值，是以原点

cos2

为圆心的单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点（2，O x

图2

1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求

得最大值为：4

，最小值为： 0。3