常系数齐次线性微分方程组

2
所以＝－2(二重），＝4
常系数线性方程组
3 3 3 1 1 1 对于＝－2，A 2 E 3 3 3 0 0 0 6 6 6 0 0 0 r2 1 0 所以r1 r2 r3，分别取 ＝ 及 ，得 r3 0 1 1 －1 1 r1＝ 1 ，r2＝ 0 ，对于＝4，可以求得r3＝ 1 0 1 2 1 －1 1 所以通解为x(t)=c1e 2t 1 c2e 2t 0 c3e 4t 1 0 1 2
5cos 3t 5sin 3t i cos 3t 3sin 3t sin 3t 3cos 3t
常系数线性方程组
故
5cos 3t 5sin 3t u (t ) , v (t ) cos 3 t 3sin 3 t sin 3 t 3cos 3 t
解 系数矩阵A的特征方程为
1 2
故有特征根 1
5 1
9 0
2
3i, 2 3i 且是共轭的. T 1 3i 对应的特征向量 r (r1 , r2 ) 满足方程
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0 T r 5 r 1 3 i , 取 1 得 2 则 r (5,1 3i) 是 1
(t ) [e1t r1 , e2t r2 ,
, ent rn ], t
是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵.
dx Ax (2) dt
从而方程组（2）的基本解组归结为求A的n个线性无关的特征向量。
常系数线性方程组
证明: 由上面讨论知,每一个向量函数
e rj ,
解: 首先, 我们求基解 矩阵
常系数线性方程组
A 的特征方程为
det( A E ) (1 )( 2 2 5) 0.
因此矩阵 A 有特征根 1 1, 2 1 2i, 3 1 2i. 对 1 1, 有特征向量 r1 (2, 3, 2)T , 进而得到对应 的齐次方程组的一个解
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
且 u (t ) 和 v (t ) 是原方程的两个线性无关解，故 原方程组的通解为
5cos 3t 5sin 3t x (t ) c1 c2 cos 3t 3sin 3t sin 3t 3cos 3t
常系数线性方程组
• 例3.5
常系数线性方程组
t ni 1
rni 1 )
的线性无关的解，其中r0为（A i E ) ni r 0的非零解 r1＝（A i E )r0， r2＝（A i E )r1， rni 1＝（A i E )rni 2，
常系数线性方程组
Байду номын сангаас
例3
常系数线性方程组
（4）若实系数线性齐次方程组（2）有 复值解 x (t ) u (t ) iv (t ) 则其实部 u (t )和虚部 v (t ) 都是（2）的解. 证明 因为 x (t ) u (t ) iv (t ) 是方程组（2） 的解，所以有
常系数线性方程组
(2)矩阵A有ni重特征值i时，若对应的线性无关的特征向量有ni个， 则也可找到A的n个线性无关特征值。
1 3 3 dx 例2 求齐次线性微分方程组 3 5 3 x的通解。 dt 6 6 4
解：先求特征值 1 A E 3 6 3 5 6 3 3 4 2 (4 ) 0
由公式 (3.9) 得, 原方程的解为
0 0 t x (t ) X (t ) 1 X (t ) X (s) 0 ds 0 1 e s cos 2s
( E A)r 0, (4)
结论
方程(4)有非零解的充要条件是: det( E A) 0,
dx Ax , dt
(2)
微分方程组(2)有非零解 (t ) et r的充要条件是 是矩阵A的特征根, r 是与对应的特征向量.
常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法
如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 定理3.1 r1 , r2 , , rn ; 它们相应的特征值为1 , 2 , , n (不必 互不相同), 那么矩阵
这样可以得到齐次方程组的基解矩阵
2et X (t ) 3et 2et 0 et cos 2t et sin 2t t e sin 2t . et cos 2t 0
常系数线性方程组
且
因此
1 2 0 0 3 1 X (0) 1 0 2 1 0 1
常系数线性方程组
1 基解矩阵与A的特征值和特征向量的关系 易知（2）有形如
(t ) e r , r 0,
将(3)代入(2)得
t
(3)
的解, 其中常数和向量r 是待定的.
e r Ae r ,
因e 0, 上式变为
t
t
t
( E A)r 0, (4)
常系数线性方程组
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
3it 5 5e 3it x (t ) e 3it 1 3i (1 3i)e 5cos 3t 5i sin 3t cos 3t 3sin 3t i(sin 3t 3cos 3t )
2 x1 (t ) 3 et . 2
常系数线性方程组
T r (0,1, i ) . 因此 对 2 1 2i, 有特征向量 2
0 0 0 (1 2i )t t x(t ) 1 e e (cos 2t i sin 2t ) 1 i 0 i 1 1
考虑常系数非齐次线性微分方程组
研究了方程 (2) 通解的求法, 这一节我们只研究(1) 的特解即可
常系数线性方程组
方程组（2）的基解矩阵 为
X (t ),
因此常系数非齐次方程组（1）的通 解为
x (t ) X （t )C X (t s )) F ( s)ds
t0
t
(3.8)
这里C为任意常数列向量.
0 0 et cos 2t iet sin 2t . sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
所以 对应的齐次方程有解
0 0 x2 (t ) et cos 2t , x3 (t ) et sin 2t . sin 2t cos 2t
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
3e c1 0 c2 et c3
t
2 2 3 t t c1 1 c2 1 e c3 0 e ; 1 2 1
常系数非齐次线性微分方程组
dx (1) Ax F (t ), dt 其对应的齐次线性微分方程组为 dx (2) Ax dt 是 n 维列向量 这里 A 是 n n 实常数矩阵 , F (t )
函数. 根据解的结构定理知, 方程(1) 的通解为 (2)
的通解与方程 (1) 的一个特解之和. 前面我们
实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现，即如果
a ib 是特征根，则共轭复数 a ib也 是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭 的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx 1 5 x dt 2 1
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
因此特征根为 1 0, 2 1, 3 1; 它们相的特征向量为
2 2 3 r1 1 , r2 1 , r3 0 ; 1 2 1
常系数线性方程组
故基解矩阵为
2 2e (t ) 1 et 1 2et
jt
j 1, 2,
,n
都是（2)的解,因此矩阵
(t ) [e1t r1 , e2t r2 ,
是(2)的解矩阵,
, ent rn ]
由于r1 , r2 ,
所以
, rn线性无关, , rn ]
det (0) det[r1 , r2 ,
故(t )是(2)的基解矩阵.
常系数线性方程组
方程组（1）满足初始条件x (t0 )
x0 的解为
(3.9)
这里的基解矩阵满足：X(0)=E
常系数线性方程组
x (t ) X (t t0 )) x0 t X (t s )) F ( s )ds
t0
例 求解初值问题
1 0 0 0 dx 2 1 2 x 0 , dt et cos 2t 3 2 1 0 x (0) 1 . 1
常系数线性方程组
(3)i 为A的ni 重特征值，对应的线性无关特征向量少于ni 个，则用定理3.2可找到ni 个线性无关的解。
定理3.2 设i 为A的ni 重特征值，则方程组（2）有ni 个形如
2 t t x (t ) eit (r0 r1 r2 1! 2!
!
ni 1