谐振电路习题
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(c)电路的入端阻抗。
解： 同名端如图所示。 ωM = ω ⋅ k L1 L2 = k (ωL1 )(ωL2 ) = 40Ω
M
(
R1
+
jωL1
−
j1 ωC
)
•
I
1
+
(jωM − j
1
•
•
)I2 =US
ωC
(jωM − j
1
•
)I1+
ωC
( R2
+
jωL2
−
1 j ωC
)
•
I2
=
0
R1
+
L1
•
•
US I1
jωL2
j1
A =1A
4. 已知u = 2 sin 2000π t V, R = 50π Ω,C = 25/π 2µF, M=10mH,
L1=30mH, L2=20mH。 用戴维南定理求电流iR。
C M
+ u
L1
-
L2 R iR
算阻抗
jωM = j20π
jωL1 = j60π
jωL2 = j40π
)
=
75V
因电路处于谐振状态，则
U R = 25V I = 1A
I2 =
I
2 1
+
I2
= 1.562A
ϕ = arctan(I1 / I ) = 50.2o
Z
=U
I2
=
75 1.562
=
48.01Ω
R = 48.01cos 50.2o = 30.7Ω
L = 48.01sin 50.2o 1000 = 36.9mH
1
jωC
=
− j20π
- j20π I&2 I&1
+
j40π
j20π +
U&
-
I&
U& 0
j20π
-
串联谐振
I&1 = 0
但 I&2 ≠ 0
I&2 = I&
U& 0
=
j20πI&2
+
j20πI&
=
j20π
1∠0o
j20π
+ 1∠0o
=
2∠0o V
Z入 = − j20π//( j20π + ( j40π//j20π )) = − j50πΩ
U& ′ = 2.8I&′
R＝2.8Ω
则 RL＝2.8Ω时获得最大功率. 最大功率 P=122/(4×2.8)=12.9W
10. 已知 U& S = 200∠0o ,ω = 2 rad / s , C1 = 0.05 F , R = 2 Ω , L1 = 4 H
L2 = 2 H , M = 1H , C2 = 0.25 F 。求电压表和电流表的读数。
+ U& L -
+ I& U&
L
RC
I&1 I&2
-
由电流三角形得
解：相量图
+
U& I&
U& L
U& C
I&2 =10
-
45o
I&1 =10
U& C
I=14.14 A
由电压三角形中UL=U=100 V 得 UC=141.4 V R=UC/ I1 =14.14Ω ，XC= - UC/ I2 = - 14.14 Ω XL=UL/I=7.07 Ω
−ω 2M 2
X
jX
ω2M2 jX
令分子为零 X = ±ωM
即
−
1
ωC
+
ωL
=
±ωM
∴ ω1,2 =
1 (L ± M )C
阻抗为零，电流∞，串联谐振角频率
令分母为零 即 X = 0
jX
=
1
jωC
+
jωL
ω0 =
1 LC
阻抗∞，电流最小， 并联谐振角频率
ω1 =
1 (L + M )C
ω0 =
1 LC
L1
iC
αi
L
ω01 =
1 L1C1
ω 02 =
1
L1
C1C 2 C1 + C2
U& = − j 1 I& + jωLI&(1 + α ) ωC
Z
=
U& I&
=
−
j
1
ωC
+
j(1 + α )ωL
ω0 =
1
(1 + α )LC
2. 求电路的谐振角频率。
法一 加压求流
⎫
法二
空心变压器模型
⎪ ⎬
求Z(ω )
8. 电路如下图所示。
已知 R1
=
50Ω,
R1
=
20Ω,ωL1
= 160Ω,ωL2
= 40Ω, 1 ωC
= 80Ω,
•
耦合系数k = 0.5, US = 100∠0o V.
M
(1) 标出互感线圈的同名端。
R1
+
L1
•
•
US I1
−
(2) 求: (a) 两个线圈中的电流；
L2
•
I2
R2
C
(b)电源发出的有功功率 和无功功率；
−10
3 = −17.3Ω
⎨ ⎪ ⎩
R1 X1
= =
10 5+
−5 10
3 = 1.35Ω 3 = 22.32Ω
⎧ ⎨ ⎩U
U2∠0o = I∠60o (10 + jX 2 ) 2∠0o = I∠ − 60o (R1 + jX1 ) −
j10
I
⎧ ⎪ ⎪
U2 = 5I −
3 2 X2I
⎪⎪ 0 = 5 3I + 0.5X 2 I
•
250Ω
I3
C
=
1 30 ×10−3 × (104 )2
= 1 µ F = 0.333µ F
3
•
•
•
I = I3 =
U
= 2∠0o A
250
•
•
I1
=
U j104 × 30 ×10−3
= 1.667∠ − 90o A
+
•
U
_
•
I2
=
−
•
I1
=
1.667∠90o A
6. 图中电路处于谐振状态，已知U=100V，I1=I2=10A，求电阻 R及谐振时的感抗和容抗。
=
39.11
+
j66.26VA
P=39.11W，Q=66.26var
(c) 入端阻抗
Zi
= =
1UI•3• 1S0∠= 509..746591o4Ω0∠0=∠−6056o9.0.485+o
j112.0Ω
方法二：先作出去耦等效电路。
R1
M
+
L1
•
US
•
I1
−
L2 • I2
R2
C
R1 L1−M
L2−M
V
L
C1 A
2
iL2
+ uS
ω L2
=
1 ωC2
= 1Ω
(并联谐振 )
•
I1 = 0
ω L1
=
1 ωC1
1
•
I L2
=
jωC1
= 1Ω
•
•
I−U
(串联谐振 ),
•
I
=
•
US
=
0.707∠0o
= 0.707∠0o A
V =0 R
1
S = − j0.707 − 0.707 = −0.707 + j0.707 = 1.00∠135o A
+
•
•
US
I1
−
M
•
I2
R2
C
9. RL取值为多大时获得最大功率？最大功率是多少？
RL
1Ω
4Ω
1:2
2Ω
4Ω
+ 20∠ 0oV
-
+
U& 0
1Ω
2Ω
2I&
+
U&
1:2
-
解法：戴维南定理＋理想变压器
4Ω
2+U&I&
-+ -
4Ω
20∠ 0oV
左： U& = 3 × 2I&
右： 20∠0o = 8I& + 2U&
7. 图中电路在ω＝1000rad/s正弦电压作用下处于谐振状态，
已知R0＝25Ω，C＝16µF，电压表读数为100V，电流表读数为
1.2A，求R和L。
U& R
解：相量图
U&
+ + R0 -I&
R
U& C
U& R
U&
-
A
V
C
I&1
U-+& C
L
I&2
IBiblioteka Baidu1
I&
ϕ I&2
I1 = 1.2A
UC
=
1.2 (1000 ×1.6 ×10−6
U& = 6∠0o I& = 1∠0o
U& 0 = 2 × 2I& − 20∠0o + 4I& = 12∠180o V
I&′
+ 1Ω
U& ′
4Ω
2Ω
2I&
+
U&
1:2
2+U&I&
-
-
4Ω
U& = 2I& + 2(2I& + I&′)
4I& + 2U& + 4(I& + I&′) = 0
U& ′ = 2(2I& + I&′) + 4(I& + I&′)
⎨ ⎪ ⎪
U2
=
R1 I
1 2
+
X1I
3 2
⎪⎪⎩0 = −
3 2
R1 I
+
0.5 X1I
− 10I
实部、虚部 分别相等
−
L2
•
I2
R2
C
代入参数，得
•
•
(50 + j80) I 1 − j40 I 2 = 100
•
•
− j40 I 1 + (20 − j40) I 2 = 0
解得
•
I1
=
0.7694∠
−
59.45o
A
•
I2
=
0.6882∠93.95o A
(b) 电源发出的功率
S
=
•
U
S
•*
I1
=
100∠0o
⋅ 0.7694∠59.45o
谐振，求此时R1和X1。
I&
+ U& 1
*
jXM
* jX1 jX2
R1 R2
+
U& 2
解：相量图
⎧ ⎩⎨U& 2
U& 2 = I&2 = I&1(R1
(R2 + + jX1
jX 2 ) ) − I&
j10
-
I&1
I&2 - 据相量图所示相位关系，可得
I& I&2
U& 2
等边三角形 I&1
⎧ ⎪
X2
=
法三 去耦等效
⎪⎭
I&1
+C U& 1 -
M I&2 LL C
法一: 法二:
U& 1
=
(
1
jωC
+
jωL)I&1
−
jωMI&2
0
=
(
1
jωC
+
jωL)I&2
−
jωMI&1
⇒
Z (ω
)
=
U& 1 I&1
Z11
=
Z 22
=
1
jωC
+
jωL
=
jX
Z
=
Z11
+ ω2M2
Z 22
=
jX
+ ω2M2
jX
=
X2 j
M
(3) ω < ω0 ，并联部分呈感性，C串L-M是容性
发生串联谐振
ω1 =
1 (L + M )C
3、电路如图所示。已知：uS(t)=sint V，L1=L2=1H，C1=C2 =1F， R=1Ω。
求：电压表和电流表的读数(有效值).
i C2 iC2
解： 设
•
US
=
1
∠0o V
2
L1
R i1
= 0.707∠0o V
1. 求图示电路的谐振角频率和谐振时的入端阻抗(0 < k < 1)。
R
C
+
+
u L C ku
−
−
+
+
u L R ku
−
−
R等
=
(1 −
u k)u /
R
=
R 1− k
ω0 =
1 LC
Z
(ω 0
)
=
1
R −k
Z等
=
(1 −
U&
k )U&jωC
ω0 =
1 LC(1 − k)
Z(ω0 ) = R
C2
R
C1
4:1
U&
+ S-
*A *
I&
- 2I& +
M
V
C1
R
L*1
*
L2
C2
第9题做法
4:1
+ U& - - 2I& +
**
V
j6
j2
串 联 谐
U&
+
S
A
C1
R
-j2
振
-
I&
j2
I& = − j3.75A
U& = (47.75 − j0.75)V
U ≈ 47.756V
11. 已知I1=I2=I，R2＝10Ω，ωM＝10Ω时，虚框内的并联电路达
500Ω - + + uR - 0.5uR
U& I&R
=
250Ω
+ 500 V -
•
(40 −10) mH I 1
•
10mH (10−10)mH C I 2
•
I
作去耦等效电路：
•
250Ω
I3
+
•
U
_
令
•
U
=
500∠0o V
由谐振条件，得
10mH
•
30 mH
I1
•
C I2
•
I
ω0 =
1 30 ×10−3 C
∴
I&R
=
2∠0o
50π − j50π
= 9 ×10−3 ∠45o A
iR = 29 ×10−3 sin(2000πt + 45o )A
5. 图中C恰好使电路发生电流谐振。求电容支路电流、电源电流
和电容C（ω =10000rad/s ） 。
解： 先简化受控源支路
40mH
10mH
10mH
C
U& = 500I&R − 250I&R = 250I&R
ω2 =
1 (L − M )C
Z (ω )
0
ω1
ω0
ω2
ω
I(ω )
0
ω1
ω0
ω2
ω
法三: 去耦等效电路(加线)
(1)
ω2 =
1 (L − M )C
Zi = 0
串联谐振
M C
LL C
(2) ω < ω 2
Q XC ↑ XL ↓
L-M串C成容性，与M发生并联谐振
ω0 =
1 LC
C L-M L-M C
解： 同名端如图所示。 ωM = ω ⋅ k L1 L2 = k (ωL1 )(ωL2 ) = 40Ω
M
(
R1
+
jωL1
−
j1 ωC
)
•
I
1
+
(jωM − j
1
•
•
)I2 =US
ωC
(jωM − j
1
•
)I1+
ωC
( R2
+
jωL2
−
1 j ωC
)
•
I2
=
0
R1
+
L1
•
•
US I1
jωL2
j1
A =1A
4. 已知u = 2 sin 2000π t V, R = 50π Ω,C = 25/π 2µF, M=10mH,
L1=30mH, L2=20mH。 用戴维南定理求电流iR。
C M
+ u
L1
-
L2 R iR
算阻抗
jωM = j20π
jωL1 = j60π
jωL2 = j40π
)
=
75V
因电路处于谐振状态，则
U R = 25V I = 1A
I2 =
I
2 1
+
I2
= 1.562A
ϕ = arctan(I1 / I ) = 50.2o
Z
=U
I2
=
75 1.562
=
48.01Ω
R = 48.01cos 50.2o = 30.7Ω
L = 48.01sin 50.2o 1000 = 36.9mH
1
jωC
=
− j20π
- j20π I&2 I&1
+
j40π
j20π +
U&
-
I&
U& 0
j20π
-
串联谐振
I&1 = 0
但 I&2 ≠ 0
I&2 = I&
U& 0
=
j20πI&2
+
j20πI&
=
j20π
1∠0o
j20π
+ 1∠0o
=
2∠0o V
Z入 = − j20π//( j20π + ( j40π//j20π )) = − j50πΩ
U& ′ = 2.8I&′
R＝2.8Ω
则 RL＝2.8Ω时获得最大功率. 最大功率 P=122/(4×2.8)=12.9W
10. 已知 U& S = 200∠0o ,ω = 2 rad / s , C1 = 0.05 F , R = 2 Ω , L1 = 4 H
L2 = 2 H , M = 1H , C2 = 0.25 F 。求电压表和电流表的读数。
+ U& L -
+ I& U&
L
RC
I&1 I&2
-
由电流三角形得
解：相量图
+
U& I&
U& L
U& C
I&2 =10
-
45o
I&1 =10
U& C
I=14.14 A
由电压三角形中UL=U=100 V 得 UC=141.4 V R=UC/ I1 =14.14Ω ，XC= - UC/ I2 = - 14.14 Ω XL=UL/I=7.07 Ω
−ω 2M 2
X
jX
ω2M2 jX
令分子为零 X = ±ωM
即
−
1
ωC
+
ωL
=
±ωM
∴ ω1,2 =
1 (L ± M )C
阻抗为零，电流∞，串联谐振角频率
令分母为零 即 X = 0
jX
=
1
jωC
+
jωL
ω0 =
1 LC
阻抗∞，电流最小， 并联谐振角频率
ω1 =
1 (L + M )C
ω0 =
1 LC
L1
iC
αi
L
ω01 =
1 L1C1
ω 02 =
1
L1
C1C 2 C1 + C2
U& = − j 1 I& + jωLI&(1 + α ) ωC
Z
=
U& I&
=
−
j
1
ωC
+
j(1 + α )ωL
ω0 =
1
(1 + α )LC
2. 求电路的谐振角频率。
法一 加压求流
⎫
法二
空心变压器模型
⎪ ⎬
求Z(ω )
8. 电路如下图所示。
已知 R1
=
50Ω,
R1
=
20Ω,ωL1
= 160Ω,ωL2
= 40Ω, 1 ωC
= 80Ω,
•
耦合系数k = 0.5, US = 100∠0o V.
M
(1) 标出互感线圈的同名端。
R1
+
L1
•
•
US I1
−
(2) 求: (a) 两个线圈中的电流；
L2
•
I2
R2
C
(b)电源发出的有功功率 和无功功率；
−10
3 = −17.3Ω
⎨ ⎪ ⎩
R1 X1
= =
10 5+
−5 10
3 = 1.35Ω 3 = 22.32Ω
⎧ ⎨ ⎩U
U2∠0o = I∠60o (10 + jX 2 ) 2∠0o = I∠ − 60o (R1 + jX1 ) −
j10
I
⎧ ⎪ ⎪
U2 = 5I −
3 2 X2I
⎪⎪ 0 = 5 3I + 0.5X 2 I
•
250Ω
I3
C
=
1 30 ×10−3 × (104 )2
= 1 µ F = 0.333µ F
3
•
•
•
I = I3 =
U
= 2∠0o A
250
•
•
I1
=
U j104 × 30 ×10−3
= 1.667∠ − 90o A
+
•
U
_
•
I2
=
−
•
I1
=
1.667∠90o A
6. 图中电路处于谐振状态，已知U=100V，I1=I2=10A，求电阻 R及谐振时的感抗和容抗。
=
39.11
+
j66.26VA
P=39.11W，Q=66.26var
(c) 入端阻抗
Zi
= =
1UI•3• 1S0∠= 509..746591o4Ω0∠0=∠−6056o9.0.485+o
j112.0Ω
方法二：先作出去耦等效电路。
R1
M
+
L1
•
US
•
I1
−
L2 • I2
R2
C
R1 L1−M
L2−M
V
L
C1 A
2
iL2
+ uS
ω L2
=
1 ωC2
= 1Ω
(并联谐振 )
•
I1 = 0
ω L1
=
1 ωC1
1
•
I L2
=
jωC1
= 1Ω
•
•
I−U
(串联谐振 ),
•
I
=
•
US
=
0.707∠0o
= 0.707∠0o A
V =0 R
1
S = − j0.707 − 0.707 = −0.707 + j0.707 = 1.00∠135o A
+
•
•
US
I1
−
M
•
I2
R2
C
9. RL取值为多大时获得最大功率？最大功率是多少？
RL
1Ω
4Ω
1:2
2Ω
4Ω
+ 20∠ 0oV
-
+
U& 0
1Ω
2Ω
2I&
+
U&
1:2
-
解法：戴维南定理＋理想变压器
4Ω
2+U&I&
-+ -
4Ω
20∠ 0oV
左： U& = 3 × 2I&
右： 20∠0o = 8I& + 2U&
7. 图中电路在ω＝1000rad/s正弦电压作用下处于谐振状态，
已知R0＝25Ω，C＝16µF，电压表读数为100V，电流表读数为
1.2A，求R和L。
U& R
解：相量图
U&
+ + R0 -I&
R
U& C
U& R
U&
-
A
V
C
I&1
U-+& C
L
I&2
IBiblioteka Baidu1
I&
ϕ I&2
I1 = 1.2A
UC
=
1.2 (1000 ×1.6 ×10−6
U& = 6∠0o I& = 1∠0o
U& 0 = 2 × 2I& − 20∠0o + 4I& = 12∠180o V
I&′
+ 1Ω
U& ′
4Ω
2Ω
2I&
+
U&
1:2
2+U&I&
-
-
4Ω
U& = 2I& + 2(2I& + I&′)
4I& + 2U& + 4(I& + I&′) = 0
U& ′ = 2(2I& + I&′) + 4(I& + I&′)
⎨ ⎪ ⎪
U2
=
R1 I
1 2
+
X1I
3 2
⎪⎪⎩0 = −
3 2
R1 I
+
0.5 X1I
− 10I
实部、虚部 分别相等
−
L2
•
I2
R2
C
代入参数，得
•
•
(50 + j80) I 1 − j40 I 2 = 100
•
•
− j40 I 1 + (20 − j40) I 2 = 0
解得
•
I1
=
0.7694∠
−
59.45o
A
•
I2
=
0.6882∠93.95o A
(b) 电源发出的功率
S
=
•
U
S
•*
I1
=
100∠0o
⋅ 0.7694∠59.45o
谐振，求此时R1和X1。
I&
+ U& 1
*
jXM
* jX1 jX2
R1 R2
+
U& 2
解：相量图
⎧ ⎩⎨U& 2
U& 2 = I&2 = I&1(R1
(R2 + + jX1
jX 2 ) ) − I&
j10
-
I&1
I&2 - 据相量图所示相位关系，可得
I& I&2
U& 2
等边三角形 I&1
⎧ ⎪
X2
=
法三 去耦等效
⎪⎭
I&1
+C U& 1 -
M I&2 LL C
法一: 法二:
U& 1
=
(
1
jωC
+
jωL)I&1
−
jωMI&2
0
=
(
1
jωC
+
jωL)I&2
−
jωMI&1
⇒
Z (ω
)
=
U& 1 I&1
Z11
=
Z 22
=
1
jωC
+
jωL
=
jX
Z
=
Z11
+ ω2M2
Z 22
=
jX
+ ω2M2
jX
=
X2 j
M
(3) ω < ω0 ，并联部分呈感性，C串L-M是容性
发生串联谐振
ω1 =
1 (L + M )C
3、电路如图所示。已知：uS(t)=sint V，L1=L2=1H，C1=C2 =1F， R=1Ω。
求：电压表和电流表的读数(有效值).
i C2 iC2
解： 设
•
US
=
1
∠0o V
2
L1
R i1
= 0.707∠0o V
1. 求图示电路的谐振角频率和谐振时的入端阻抗(0 < k < 1)。
R
C
+
+
u L C ku
−
−
+
+
u L R ku
−
−
R等
=
(1 −
u k)u /
R
=
R 1− k
ω0 =
1 LC
Z
(ω 0
)
=
1
R −k
Z等
=
(1 −
U&
k )U&jωC
ω0 =
1 LC(1 − k)
Z(ω0 ) = R
C2
R
C1
4:1
U&
+ S-
*A *
I&
- 2I& +
M
V
C1
R
L*1
*
L2
C2
第9题做法
4:1
+ U& - - 2I& +
**
V
j6
j2
串 联 谐
U&
+
S
A
C1
R
-j2
振
-
I&
j2
I& = − j3.75A
U& = (47.75 − j0.75)V
U ≈ 47.756V
11. 已知I1=I2=I，R2＝10Ω，ωM＝10Ω时，虚框内的并联电路达
500Ω - + + uR - 0.5uR
U& I&R
=
250Ω
+ 500 V -
•
(40 −10) mH I 1
•
10mH (10−10)mH C I 2
•
I
作去耦等效电路：
•
250Ω
I3
+
•
U
_
令
•
U
=
500∠0o V
由谐振条件，得
10mH
•
30 mH
I1
•
C I2
•
I
ω0 =
1 30 ×10−3 C
∴
I&R
=
2∠0o
50π − j50π
= 9 ×10−3 ∠45o A
iR = 29 ×10−3 sin(2000πt + 45o )A
5. 图中C恰好使电路发生电流谐振。求电容支路电流、电源电流
和电容C（ω =10000rad/s ） 。
解： 先简化受控源支路
40mH
10mH
10mH
C
U& = 500I&R − 250I&R = 250I&R
ω2 =
1 (L − M )C
Z (ω )
0
ω1
ω0
ω2
ω
I(ω )
0
ω1
ω0
ω2
ω
法三: 去耦等效电路(加线)
(1)
ω2 =
1 (L − M )C
Zi = 0
串联谐振
M C
LL C
(2) ω < ω 2
Q XC ↑ XL ↓
L-M串C成容性，与M发生并联谐振
ω0 =
1 LC
C L-M L-M C