辽宁省沈阳市2017-2018学年高三数学一模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）
A．B．2 C．D．
4．已知函数，则f（f（4））的值为（）
A．B．﹣9 C．D．9
5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）
A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥
6．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣2，则输出的a的值为（）
A．16 B．8 C．4 D．2
8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）
A．B．C．D．
10．已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为（）
A．3 B．C．9 D．
11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．
12．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13．设x，y满足约束条件：，若z=x﹣y，则z的最大值
为．
14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．函数f（x）=2x﹣lnx的单调增区间是．
16．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C与过原点
的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，，则
该双曲线的离心率为．
三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；
（Ⅱ）若，求f（α）的值．
18．如图所示，三棱锥D﹣ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．
，得到统计数据如下：
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．
（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；
（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=6，
直线y=kx与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线PB的斜率k2的取值范围．
21．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式
恒成立，求m的最小值．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．
（Ⅰ）证明：AB∥CD；
（Ⅱ）证明：AC•MD=BD•CM．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知“∀a＞b＞c，”是真，记t的最大值为m，“∀n∈R，
”是假，其中．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求n的取值范围．
2016年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．
【解答】解：，在复平面内复数z对应点的坐标为（1，1），在第
一象限．
故选：A．
2．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）
A．B．2 C．D．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质，S5=5a3，即可得出．
【解答】解：根据等差数列的性质，S5=5a3，
∴．
故选：A．
4．已知函数，则f（f（4））的值为（）
A．B．﹣9 C．D．9
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数求值、指数、对数性质及运算法则求解．
【解答】解：因为，
∴f（4）==﹣2，
∴．
故选：C．
5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）
A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据三视图的法则是“长对正，高平齐，宽相等”，得出该几何体是一个三棱柱．
【解答】解：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；
可得几何体如右图所示，
这是一个三棱柱．
故选：B．
6．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故选：D．
7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣2，则输出的a的值为（）
A．16 B．8 C．4 D．2
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘a值，并判断满足a＞6时输出a的值．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=﹣1，b=﹣2时，不满足条件a＞6，a=（﹣1）×（﹣2）=2＜6；
不满足条件a＞6，a=2×（﹣2）=﹣4＜6；
不满足条件a＞6，a=（﹣4）×（﹣2）=8；
满足条件a＞6，退出循环，输出a的值为8．
故选：B．
8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】频率分布直方图．
【分析】可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．
【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，
∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，
解得a=0.03．
由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．
其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，
所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．
故选B．
9．若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）
A．B．C．D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据f（x）图象过（3，1）可知a=3，写出四个选项中函数的解析式，根据单调性和特殊点进行判断．
【解答】解：∵函数y=log a x的图象过点（3，1），∴a=3．∴y=a﹣x=（）x是
减函数，故A错；
y=x a=x3是增函数，且过（0，0），（1，1）两点，故B正确．
y=（﹣x）a=﹣x3是减函数，故C错．
y=log a（﹣x）=log3（﹣x）是减函数，故D错．
故选B．
10．已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为（）
A．3 B．C．9 D．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心，由此能求出S1：S2的值．
【解答】解：如图，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，
由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．
设内切球半径为r，外接球半径为R．
在Rt△BEO中，BO2=BE2+EO2，
即，
又，
解得R=3r，
∴，
故选：C．
11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．
【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB
的方程为，
联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，
，
所以，
而原点到直线AB的距离为，
所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．
故应选C．
12．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．
【解答】解：根据题意，设函数，
当x＞0时，，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（x）为偶函数，
所以g（x）为偶函数，
又f（1）=0，所以g（1）=0，
故g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，
即f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．
故选：D．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13．设x，y满足约束条件：，若z=x﹣y，则z的最大值为3．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线经过点A（3，0）时，此时直线y=x﹣z截距最小，z 最大．
此时z ma x=3．
故答案为：3．
14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】方法一：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
方法二：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，利用坐标的运算即可求出．
【解答】解：（解法一）
=．
（解法二）以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，，
，．
故答案为：2．
15．函数f（x）=2x﹣lnx的单调增区间是（，+∞）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0即得单调增区间．
【解答】解：f（x））=2x﹣lnx的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2﹣=，令f′（x）＞0，解得x．
所以函数f（x）=2x﹣lnx的单调增区间是（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
16．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C与过原点
的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，，则
该双曲线的离心率为5．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|BF|2=|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．
【解答】解：在△AFB中，由余弦定理可得
|BF|2=|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF，
即有64=|AB|2+36﹣12|AB|•
化为|AB|2﹣|AB|﹣28=0，
解得|AB|=10．
由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，
设F'为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
结合矩形性质可知，2c=10，利用双曲线定义，2a=8﹣6=2，
所以离心率e==5．
故答案为：5．
三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；
（Ⅱ）若，求f（α）的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值．
【分析】（1）利用将次公式与和角公式化简f （x ）=2sin （x+）+1．故f （x ）
最大值为3，令x+
=
+2k π求出x 的集合．
（2）使用二倍角公式对f （α）进行弦化切，用tan 来表示f （α）．
【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=1+cosx+sinx=2sin （x+
）+1，
∴当sin （x+）=1时，f （x ）取得最大值3．
此时x+
=
+2k π，解得x=
+2k π，∴此时相应的x 的取值集合为
．
（Ⅱ）f （α）
=2cos 2
+sin α=2cos 2
+2sin cos ==
==．
18．如图所示，三棱锥D ﹣ABC 中，AC ，BC ，CD 两两垂直，AC=CD=1，，点O 为AB 中点．
（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与棱DB ，CB 相交于M ，N ，在图中画出该截面多边形，并说明点M ，N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的性质． 【分析】（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面α∥平面ACD ． （Ⅱ）由V C ﹣AB D =V D ﹣AB C ，利用等体积法能求出点C 到平面ABD 的距离． 【解答】解：（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时， 平面α∥平面ACD ．… 解：（Ⅱ）∵CD ⊥AC ，CD ⊥BC ， ∴直线CD ⊥平面ABC ，…
，
．
又．
∴AB=BD，…
设点E是AD的中点，连接BE，则BE⊥AD，
∴，
．
又V C
﹣AB D =V D
﹣AB C
，
而，
设点C到平面ABD的距离为h，
则有，…
即，∴，
∴点C到平面ABD的距离为．…
，得到统计数据如下：
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率
为．
（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；
（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
Ⅲ）
【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由已知得，所以y=10，B=40，x=40，A=60，即可
求2×2列联表中的数据的值； （Ⅱ）未注射疫苗发病率为
，注射疫苗发病率为
，即可
绘制发病率
的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（Ⅲ）
求出X 2，与临界值比
较，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注
射疫苗”
动物”为事件A ， 由已知得
，所以y=10，B=40，x=40，A=60． …
（Ⅱ）未注射疫苗发病率为
，注射疫苗发病率为
．
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率． (Ⅲ)
…
=
．
所以没有把握认为疫苗有效．…
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=6，
直线y=kx与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线PB的斜率k2的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意得c=3，2a+2c=16，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由，得．由此利用韦达定理、AB、EF 互相平分且共圆，向量的数量积，结合已知条件能求出离心率．
（Ⅲ）由椭圆方程为，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），求出
，由此能求出直线PB的斜率k2的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，
且|F1F2|=6，直线y=kx与椭圆交于A，B两点．
∴由题意得c=3，…根据2a+2c=16，得a=5．…
结合a2=b2+c2，解得a2=25，b2=16．…
∴椭圆的方程为．…
（Ⅱ）（解法一）由，得．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，…
由AB、EF互相平分且共圆，∴AF2⊥BF2，
∵，，
∴．
即x1x2=﹣8，∴，
结合b2+9=a2．解得a2=12，∴离心率．…
（若设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1）相应给分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆方程为，…
由题可设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），，
∴，…
又，即，
由﹣2＜k1＜﹣1可知，．…
21．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式
恒成立，求m的最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（1）=3，求出a，代入f（x）求出b即可；
（Ⅱ）根据x=1是极值点求出a，检验即可；
（Ⅲ）问题可化为，设，
根据函数的单调性求出m的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，…
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，
∴1﹣a=3，f（1）=0，∴a=﹣2，，∴a=﹣2，．…
（Ⅱ）∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=1﹣a=0，∴a=1；…
当a=1时，，定义域为（0，+∞），
，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，a=1．…
（Ⅲ）因为﹣2≤a＜0，0＜x≤2，
所以，故函数f（x）在（0，2]上单调递增，
不妨设0＜x1≤x2≤2，则，
可化为，…
设，则h（x1）≥h（x2）．
所以h（x）为（0，2]上的减函数，即在（0，2]上恒成
立，
等价于x3﹣ax﹣m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x3﹣ax在（0，2]上恒成立，又﹣2≤a＜0，所以ax≥﹣2x，所以x3﹣ax≤x3+2x，
而函数y=x3+2x在（0，2]上是增函数，
所以x3+2x≤12（当且仅当a=﹣2，x=2时等号成立）．
所以m≥12．即m的最小值为12．…
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．
（Ⅰ）证明：AB∥CD；
（Ⅱ）证明：AC•MD=BD•CM．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）证明∠TCD=∠TAB，即可证明AB∥CD；
（Ⅱ）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明，由AB∥CD知，
即可证明AC•MD=BD•CM．
【解答】（Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…
同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，
所以，AB∥CD．…
（Ⅱ）连接TM、AM，
因为CD是切内圆于点M，
所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，
又由（Ⅰ）知AB∥CD，
所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，
所以∠MTD=∠ATM．…
在△MTD中，由正弦定理知，，
在△MTC中，由正弦定理知，，因∠TMC=π﹣∠TMD，
所以，由AB∥CD知，
所以，即，AC•MD=BD•CM．…
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐
标方程：再向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开利用
即可得到曲线C2的极坐标方程．
（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t
为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，利用|TM|•|TN|=|t1t2|及其三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．
则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．
切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos
（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，
∴t1t2=1﹣2sinθ，
∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，
∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知“∀a＞b＞c，”是真，记t的最大值为m，“∀n∈R，
”是假，其中．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求n的取值范围．
【考点】全称．
【分析】（Ⅰ）问题转化为，利用基本不等式的性质求出即可；
（Ⅱ）问题转化为∃n∈R，”是真，根据三角函数以及绝对值的意义求出n的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为“∀a＞b＞c，”是真，
所以∀a＞b＞c，恒成立，
又a＞b＞c，所以恒成立，
所以，．…
又因为=，
“=”成立当且仅当b﹣c=a﹣b时．
因此，t≤4，于是m=4．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“∀n∈R，”是假，
所以“∃n∈R，”是真．…
因为|n+sinγ|﹣|n﹣cosγ|=|n+sinγ|﹣|cosγ﹣n|≤|sinγ+cosγ|（），
因此，，此时，即时．…
∴，
由绝对值的意义可知，．…
2016年7月6日。