运筹学第五章 图与网络分析

[8,v2]
v3
[6,v7] v5
[3,v1]
反向追踪：v8-v5-v7-v4-v1 v1到v10的最短路径为v1—v4—v7—v5—v8，最短路长度 为10。
例6 设备更新问题
某厂使用一种设备，每年年初设备科需要对该设 备的更新与否作出决策。五年内： 购买新设备---购置费；13，14，16，19，24；
4 7 1 4 3 3 2 3 5 2 4
6 2 4 5 7
1
2 6
例３ 校园局域网问题
某大学准备把所属７个学院办公室的计 算机联网．这个网络的可能联通的途径 如图所示．边上权数为这条边的长度， 单位为百米．试设计一个网络联通７个 学院办公室，并使总长度为最短．
v2
3
1
v3 7 4
v1
3
v7 5
边e1与e2 有公共节点，称边e1与e2相邻。
e1
V1 V2
e2
V3
4. 链、圈与连通图 ■链:由图G中的某些相连的边构成的图形（首尾 不能相接），称为图G中的一条链。 如：μ ={(1,2),(3,2),(3,4)} 2
1
4 3
2
■圈 封闭的链称为圈 如：μ={(1,2),(2,4),(3,4),(1,3}
V1
3
V2 4
7 V4
的最小支撑树。
V2 V1 V3
5
V3 1
8
V2 V4
V1 V4 V1
V2 V4 V3 V2
V3
总权数=3+4+1=8
V1 V3
V4
5.2.2 求解最小支撑树的避圈法
方法：选边的过程。 步骤：1）从网络中任意选一点vi，找出 与vi相关联的权最小的边[vi,vj]，得第二个 顶点vj。 2）把顶点集V分为互补的两部分 A,Ā，其中： A：与已选边相关联的点集
使用老设备---维护费。8，10，13，18，27。
问：在5年内如何制定更新计划，以便使新设备 购置费和老设备维修费的总费用最小？
2 21 1 31 3 34 22
32 63 45 24 47 5
4 27
37
44 89 62
6
32
v1-v3-v6 minL=78
例7火车调度问题
某火车货运调车场，主要调运建筑材料中 的黄沙、碎石和水泥。该调车场有3个装运 点：黄沙装运点、碎石装运点和水泥装运 点；另有2个机车挂钩处（挂火车头的地方 ），即图1中的节点1、2、5和9、10。货运 火车的各节车厢在一个装运点装货后，必 须由调车场的火车头把装好货的车厢拉走 ，按调车场的铁路网络的某一路线运行到 某一机车挂钩处，由那里的火车头把满载 的车厢拉走。网络图中，各条弧代表铁路 线，节点代表铁路交叉口，弧旁的数字代
3 V1 5
V2 4
7
8
V4
V3
1
从边（ v1,v2）,（ v1,v3）, （ v4,v2）, （ v4,v3） 中选权最小的边（ v1,v2）。 ③A= {v1,v2 ,v4},Ā={v3} 从边（ v1,v3）, （ v2,v3）, （ v4,v3） 中选 权最小的边（ v2,v3）。 ④ A= {v1,v2 , v3， v4}
[3，V1]
考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7),(v6,v7)
计算 min { 2+6, 2+5, 1+2, 3+4}=min {8,7,3,7}=3
v7:[3,v4]
(6)A={V1,V2,，V4,V6,V7}
[0,v1] [2,v1] 2 1 10
V1
V2
5
6 9
V3
[1,v1] V4
分别求出结点1、2、5到结点9和10的最短路径 及最小路径值。
结果分析
黄沙装运点、水泥装运点、碎石装运点到两个机车 挂钩处的最短路径及最短路径值，如下
பைடு நூலகம்
①—④—⑥—⑨
①—③—⑦—⑩
30；
35；
②—⑧—⑨
网络的生成树和线性规划的关系
■网络的一个生成树对应于线性规划的 一个基
■生成树上的边对应于线性规划的基变 量 ■生成树的弦对应于线性规划的非基变 量 ■生成树的变换对应于线性规划单纯形 法的进基和离基变换
破圈法举例
4 7 1 4 3 3 2 3 5 2 4
6 2 4 5 7
1
2 6
7
避圈法举例
[8,v2]
v3
[6,v7] v5
考虑边（v3,v8),(v5,v8),(v7,v8)
计算 min {8+6, 6+4,
v8:[10,v5]
3+7}=min {14,10,11}=10
(9)A={v1,v2,v3,v4,v6,v7,v8}
[0,v1] v1 1 3 5 v6 4 2 10 [1,v1] v4 2 v7 [3,v4] 7 3 8 [2,v1] v2 5 6 9 6 4 v8 [10,v5]
v6
v7
v8
考虑边（v1,v2),(v1,v6),(v4,v2),(v4,v7)
计算 min{0+2, 0+3, 1+10, 1+2}=min {2,3,11,3} =2
v2:[2,v1]
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1] [2,v1] 2 1 10 [1,v1] v4 5 v6 [3,v1] 4 2 v7
表距离（单位：百米），这里需注意 的是，网络图只是描述了各换轨点(即 交叉口）、装运点和机车挂钩处之间 的关系，并不表示铁路线的实际走向。 调车场的调度室需要解决的问题是： 各车厢在某一装运点装好货后应把它 拉到哪一个机车挂钩处，而且应走哪 一条运行路线最短，从而提高调车场 作业的效率，减少装载的车厢等候挂 钩时间而尽快拉离调车场。
Ā ：不与已选边相关联的点集
3) 考虑所有这样的边[vi,vj]，其中 vi∈A,vj∈Ā,挑选其中权最小的。 4）重复3），直至全部顶点均属于A即 可。
3 V2 4 7 V4
例２：用避圈法求图的最小 支撑树。
V1
5
V3 1
8
①任选点v1，挑与之相关 联的权最小的边（ v1,v4） . ②A= {v1,v4},Ā={v2,v3}
[6,v7] V5
3
5 V6 [3,v1]
7
2 3 V7
6
4
4
8
V8
[3,v4]
考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v7,v5),(v7,v8)
计算min {2+6, 2+5, 3+3, 3+8}=min {8,7,6,11}=6
v5:[6,v7]
(7)A={V1,V2,V4,V6,V7}
[0,V1] [2,V1] 2 1 10 [1,V1] v4 5 v6 [3,V1] 4 2 v7 [8,v2] 6 5 9
v1
v2
v3
[6,V7] v5
3
7
3
6
4
8
v8
[3,V4]
考虑边(v2,v3),(v5,v3),(v5,v8),(v7,v8)
计算min { 2+6,
v3:[8,v2]]
6+9,
6+4,
3+8}=min {8,15,10,11}=8
(8)A={v1,v2,v3,v4,v6,v7}
[0,v1] v1 1 3 5 v6 [3,v1] 4 2 10 [1,v1] v4 2 v7 [3,v4] 7 3 8 [2,v1] v2 5 6 9 6 4 v8 [10,v5]
2
v4
8 10 3 4 v6 v5
v2
3
1
v3 7
v1
3
v7
2
v4
3 v6
v5
权和＝１９
例４ 电话线网架设问题
某６个城市之间的道路网如图所示．要 求沿着已知长度的道路联结６个城市的 电话线网，并使电话线的总长度最短．
v3 6 v1 1 5 4 v2 2 v4 7 3 v6 5 v5 4
v3
v5
简单图：无环、无多重边的图。
2.有向图与无向图 有向图：有方向的图。
无向图：无方向的图。
3.关联与相邻 关联(边与节点的关系):若e是v1、v2两节点间 的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。 v1 e v2 相邻（边与边、节点与节点的关系）：
点v1与v2有公共边，称节点v1与v2相邻；
最短．
最小支撑树的求法
1 破圈法 2 避圈法
5.2.1 求解最小支撑树问题的破圈法
方法：去边破圈的过程。 步骤：1）在给定的赋权的连通图上任找 一 个圈。 2）在所找的圈中去掉一条权数最 大的边。 3）若所余下的图已不含圈，则计 算结束，余下的图即为最小支撑
树，否则返回 1）。
例１：用破圈法求右图
v1
e5 e2 e3
v2
e6
e7
v4
e4
v3
子图：图的一部分，记为Ｇ１．
G1 (V1 , E1 ), 其中V1 V , E1 E。
e1
v1
e5
e2 e3
v2
e6
v1 e5 v4
e2 e3 e4 图Ｇ１
v2 e6 v3
e7
v4
图Ｇ
e4
v3
多重边：两节点之间有多于一条边。 环：首尾相接的边
v1
v2
5
6 9 v5 3 8 4
v3
3
7
6
v8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, v6:[3,v1] 2+6, 2+5, 1+2} =min {3,8,7,3}=3
(5)A={V1,V2,V4,V6}
[0，V1] v1 1 3 5 v6 4 2 10 [1，V1] v4 2 v7 [3,v4] 7 3 8 [2，V1] v2 5 v5 4 v8 6 9 6 v3
1
4 3
■连通图 任意两个节点之间至 少有一条链的图称为连 通图
5.网络图 给图中的节点和边赋以 具体的含义和权数（如距离 、时间、费用、容量等）， 则称这样的连通图为网络图 。
2 1 3 4
2 50 1 20 3 45 70 4
典例:
会议日程安排
某单位要在今后的三天内召开6个会议,每天 上下午各安排一个会议，参加会议的领导如 下∶ 会议A: 朱、马、牛、姬、江、姚
会议B: 朱、杨、张、江
会议C: 马、姬、侯、王、姚
会议D: 朱、姬、张
会议E: 杨、侯、王
会议F: 刘、杨、王、江、姚
每位领导每天最多只参加一个会议。会议A要 安排在第一天上午,会议F安排在第三天下午， 会议B要安排在任何一天的下午。试根据上述 要求排出一个会议日程表，使各位领导都能 参加相应的会议
2
3 5 4
2
3 5
■ 在树中任意去掉一条边， 则不连通。
1
4
■如果树T有m个节点，则 边的个数为m-1。
2
1 4
3
5
图的支撑树 图G1和G2 的节点相同，但图G1边的集合包 含于G2边的集合，且 G1是树图，则 图G1 是G2 的支撑树。 一个图的支撑树不是唯一的。
图 G1
图 G2
最小支撑树 树枝总长最短的支撑树。 特点：各节点都连通且线路总长
2
10 [1,v1] v4 2
v2 5 7 3 v7
6 9 v5 4 8
v3
6
v8
(2)A={v1} 检查边（v1,v2),(v1,v4),(v1,v3)
计算min {0+2,
v4:[1.v1]
0+1,
0+3} = min {2,1,3}=1
(3)A={v1,v4}
[0,v1] v1 2 1 10 [1,v1] 3 5 v4 2 4 7 3 [2,v1] v2 5 v5 4 8 6 9 6 v3
(4) 重复（3），直至终点vt标上号 [αt,vk]，则α t即为vs至vt的最短距。 反向追踪可求得最短路。
例５：求v1至v8的最短路。
v1
1 2 10 v4 5 v6 4 2 v7
v2
5
6 9 v5 3 8 4
v3
3
7
6
v8
(1) v1:[0,v1]
[0,v1] v1 1 3 5 v6 4
解: 用节点表示会 议，若两个会议能 安排在一天， 则用连线连接。
A
B
F
E D
C
会议日程安排如下: 上午 午 第一天 会议A 第二天 会议C 第三天 会议D
下 E B F
5.2 最小支撑树问题
C1
根
C2
C3
C4
叶
树：无圈的连通图，记为T。
树的性质 ■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
1
第5章 图与网络分析
第５章 图与网络分析
５.１基本概念 ５.２最小支撑树问题 ５.３最短路问题 ５.４最大流问题
5.１ 基本概念
1.图、子图与简单图
图：由节点和线组成的图形． 记为： G = ( V, E ) V={v1,v2,…,vm}—节点集,表示研究对象. E={e1,e2,…,en}—边集，表示研究对象之 间的关系. e1
v1 1 5 4 v2 2 v4 3 v6
权和＝１５
5.3 最短路问题
问题：求网络中一定点到其它点的最短路。
5.3.1 最短路问题的Dijstra解法 方法：给vi点标号[αi,vk] 其中：αi：vi点到起点vs的最短距离 vk: vi的前接点
方法：(1) 给起点vs标号[0，vs]。 （2）把顶点集v分为互补的两部分A和Ā 其中：A：已标号点集 Ā：未标号点集 （3）考虑所有这样的边[vi, vj], 其中vi ∈A,vj ∈ Ā 挑选其中与vs距离最短的点vj标号 [min{αi+cij},vi]