南昌大学 数值分析考博真题
数学博士试题及答案解析
数学博士试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a, b]上恒等于0B. 存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0C. f(x)在[a, b]上至少有一个极大值或极小值D. f(x)在[a, b]上单调递增或递减答案：B解析：根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
因此，选项B是正确的。
2. 假设随机变量X服从标准正态分布，那么P(|X| < 1)的值是多少？A. 0.5B. 0.6827C. 0.8413D. 0.9772答案：C解析：标准正态分布的累积分布函数（CDF）表或计算器可以告诉我们，P(|X| < 1) = P(-1 < X < 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6827，其中Φ表示标准正态分布的CDF。
因此，选项C是正确的。
3. 假设矩阵A是一个3x3的奇异矩阵，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的行列式为正C. A可逆D. A的秩小于3答案：A解析：奇异矩阵是指行列式为零的矩阵，因此选项A是正确的。
选项B不正确，因为奇异矩阵的行列式可以是正数、负数或零。
选项C不正确，因为奇异矩阵不可逆。
选项D不正确，因为奇异矩阵的秩可以是0、1或2，但不一定是小于3。
4. 假设函数g(x) = x^3 - 3x + 1，那么g'(x)的表达式是什么？A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 - 3x + 1D. x^3 - 3x^2 + 1答案：A解析：对g(x) = x^3 - 3x + 1求导，得到g'(x) = 3x^2 - 3。
南昌大学 数值分析10-11年第二学期 期末考试 考点
数值分析第一章：1.2，计算第二章：2.1、2.3概念；2.2，2.4、2.5理解并会使用；第三章：3.1，最佳平方逼近，理解，并知道推导过程；3.3，概念第四章：4.1.1,4.1.2,4.3理解；4.2,4.4,4.6概念第五章1、高斯消去法利用增广矩阵，变为一个上三角矩阵。
2、LU分解A=LUL为下三角，对角线为1；U为上三角。
步骤：（1）求Ly=b,得y（2）求Ux=y,得x会求L和U矩阵。
3、主元素消去法PAx=Pb （P为置换矩阵）步骤：（1）写A的同阶单位矩阵（2）A第一列找最大，交换（单位矩阵也交换）（3）消去第一列（4）A的第二列开始，重复（2）（3）步骤4、向量范式（书上的公式）（小题）会求一范式，无穷范式。
5、矩阵范式（小题）会求一范式，无穷范式。
6、相容条件（小题）7、条件数（小题）第六章1、迭代法雅克比、高斯-赛德尔（能写出计算公式）2、会写出收敛的原因：严格对角占优第七章1、二分法（了解）2、不动点及收敛性（大题）3、P阶收敛的概念（小题）4、牛顿迭代法（大题）。
第一章1.2数值计算的误差第二章2.1引言拉格朗日插值均差与牛顿插值多项式埃尔米特插值分段低次插值第三章最佳逼近最佳平方逼近及其计算第四章数值积分与数值微分数值积分的基本思想迭代精度的概念牛顿-柯特斯公式复合求积公式龙贝格公式数值分析复习重点（第5~8章）一、解线性方程组的直接方法（第5章）1）、高斯消去法即用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax=b为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解，高斯消去法的可行条件是A的各阶主子式不为0。
2）、列主元消去法第九章关系查询处理和查询优化１、查询处理的步骤：查询分析，查询检查，查询优化，查询执行２、查询优化的基本概念３、代数优化在高斯消元法中，如果在一列中选取规模最大的元素，将其调到主干方程位置再做消元，则称为列主消元法，此法克服了高斯消元法的额外限制（要求A的各阶主子式不为0）只要方程组有解列主元消去法就能畅通无阻地顺利求解，在有限位字长运算时又提高了解的精确度。
《数值分析》杨大地答案(第五章)考博
5 位有效数字。
-?? ′ -?? （ 1 ）证明 : 设 ???? = ??- ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? 恒大于 0 ；
∵ 又 ∵ ∴
????在（ 0,1）的导数恒大于 ??0 = - 1， ??1 = 1 1 ??
0 ，∴
????在（ 0,1）单调递增。
= 0.63212 ;
??在（ 0,1）有且只有一个实根。
??
（ 5 ）迭代格式 ?? ?? +1 =
2 3
?? ??+
1
2 ?? ??
收敛于根 α=
3
3 ，此迭代格式是二阶收敛的。
5.3 方程 ?? - 9?? + 18 ?? - 6 = 0, ??? [0, + ∞) 的根为正实根，试用逐次扫描法（ 的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到 解：由上式为一元三次方程可知，方程最多存在 由于 ??? 0, + ∞ ，因此使用逐次扫描（ x f(x) 对最大根区间（ k 0 -6 1 4 2 2 0.01. 3 个解。 3 -6 4 -14 5 -16
α=
5 , 则 C 取值范围为
-
5/5 < ??< 0 ;
3 2 （ 4 ）用迭代格式 ?? ???? }是二 ?? +1 = ?? ?? - ?? ?? ?? 求解方程 ???? = ?? - x - x - 1 = 0 的根， 要使迭代序列 {?? ??
阶收敛，则 ?? =3?? 2 ?? -
1 2?? - 1 ??
-???? ∴ ?? ?? +1 = ?? , ??= 0,1, ? ，在（ 0 ， 1）区间内收敛。 -?? ′ -?? （ 3 ）设 ???? = ?? - ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? ，
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
北理工考博数值分析——试卷
一、填空题：(共20分)1.非奇异矩阵的条件数为，条件数的大小反映了方程组的。
2.的相对误差和的相对误差之间的关系是。
3．给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式，说明如何获得及收敛理由。
4. 设为互异节点，为对应节点上的拉格朗日插值基函数，则, 。
5．设互异，则当时，；。
6．数值积分公式的代数精确度是，____Gauss型求积公式。
二、（10分）设阶矩阵对称正定，用迭代公式求解。
问实数取何值时迭代收敛？三、（13分）设有线性方程组， (1)将系数矩阵A分解为，求；(2)求解方程组。
四、（10分）用最小二乘法确定中的参数和，使该函数曲线拟合于下列形式的数据（推导满足的正则方程组）。
五、（10分）求四次插值多项式，使其满足条件，并写出插值余项。
六、（10分）设，考虑方程，证明求解该方程的牛顿法产生的序列（其中）是收敛的；并求，使得。
七、（15分）对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式及复化抛物线公式计算近似值时，所需节点数及步长分别为多少？计算满足精度要求的近似值。
八、（12分）试求系数，使3步公式的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差的主项。
一、（12分）设有线性方程组，（1）将系数矩阵A分解为L和U的乘积，其中L是单位下三角阵，U是上三角阵；（2）解线性方程组。
二、（18分）（1）已知数据：试分别用线性及二次插值计算的近似值，并估计误差。
（2）设，试求三次插值多项式使得,并对任一写出误差估计式。
三、（20分）（1）设线性方程组的系数矩阵试写出收敛的迭代计算公式；（2）若线性方程组的系数矩阵，用表示迭代法和迭代法收敛的充分必要条件。
四、（15分）（1）若用复化梯形、复化辛普森公式计算积分的近似值，要求计算结果有5位有效数字，分别应取多大？（2）选一复化求积公式计算积分的近似值，要求截断误差小于。
五、（10）确定，使求积公式的代数精确度尽可能高，并指出是否是型求积公式。
六、（15分）试用法推导出求近似值的迭代格式, 并用导出的公式计算的近似值，要求误差不超过。
南昌大学诊断学2016年考博真题考博试卷
医学考博真题试卷
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南昌大学
2016 年攻读博士学位研究生来自学考试试题考试科目：诊断学 注意：所有答案一律写在答题纸上，写在试题纸上或其他地方一律不给分。 一、名词解释（5 分/题，共 20 分） 1.肺泡呼吸音 2.肝震颤 3.异型淋巴细胞 4.脑膜刺激征 二、简答题（6 分/题，共 30 分） 1.缺铁性贫血的血象和骨髓象 2.病理性蛋白尿的分类和病因 3.尿糖阳性的病因 4.湿性啰音的产生机制及特点 5.热型的定义和分类 三、论述题（25 分/题，共 50 分） 1.肝硬化的病因？肝硬化失代偿期的体征？侧支循环形成？ 2.左心衰竭致呼吸困难的机制？左心衰竭呼吸困难的特点？
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(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
南昌大学理学院602数学分析历年考研真题专业课考试试题
目 录
2010年南昌大学数学分析考研真题2009年南昌大学数学分析考研真题2008年南昌大学数学分析考研真题2007年南昌大学数学分析考研真题2004年南昌大学数学分析考研真题2003年南昌大学数学分析考研真题2002年南昌大学数学分析考研真题
2010年南昌大学数学分析考研真题
南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一、判断题（每小题6分，对的请证明，错的请举反例）
1．若
2．若函数上连续且在内可导，则在上必可导。
3．若数值级数
4．若无穷积分
二、计算题（每小题12分，共60分）
1．求
2．求二重积分
3．用斯托克斯公式计算被平面z=1截下一块光滑球面S的边界，C逆时针方向为正向。
4．设z=，求
5．求曲线的切线方程与法平面方程
三、证明题（每小题12分，共60分）
1．从定义出发证明数列的极限不是0。
2．证明：若函数
3．从定义出发证明上非一致连续。
4．设函数满足条件
5．证明（1）函数级数的收敛域为
（2）函数级数在上非一致收敛
（3）若令。
南昌大学考研真题(含部分答案)
2015年一、名解10’×61.骨结合2.前伸髁导斜度3.sialolithiasis（涎石病）4.附着丧失5.功能性印模6.牙列指数：指一种采用牙列宽度和牙列长度比值来描述上下牙列大小关系的方法，牙列指数等于牙列宽度/牙列长度*100%二、简答题15’×61.简述X线头影测量分析意义2.切开引流的指征3.白色念珠菌口炎临床表现、类型、并指出癌变类型。
念珠菌性口炎（candidal stomatitis）临床表现：主要症状为口干、黏膜烧灼感、疼痛、味觉减退等，按病变部位分（两急两慢）：(1)急性假膜型: 可发生于任何年龄，新生儿多见，又叫鹅口疮。
发生率4％，好发于颊、舌、软腭及唇，最初受损粘膜充血水肿，继而出现散在色白如雪的帽针头大小斑点，并逐渐扩大而相互融合，形成色白微凸的片状假膜，假膜可擦去露出糜烂面、渗血。
全身症状一般较轻，拒食、啼哭不安等症状较为多见。
(2) 急性红斑型：又称抗生素口炎，多见于成年人。
常由于长期应用抗生素所致，大多数患者患有消耗性疾病，表现为黏膜出现外形弥散的红斑，红斑是由于上皮萎缩加上黏膜充血所致，舌黏膜多见，严重时舌背黏膜鲜红色伴有舌乳头萎缩。
若继发于假膜型则可见假膜。
（3）慢性红斑型：又称义齿性口炎，多见于女性。
本病病损部位常位于上颌义齿的腭、龈黏膜接触面。
黏膜亮红色水肿.或黄白色的条索状或斑点状假膜。
（4）慢性肥厚型：又称慢性增殖型念珠菌口炎、念珠菌性白斑。
多见于颊黏膜、舌背及腭部。
颊黏膜病损，对称位于口角内侧三角区，呈结节状或颗粒状增生。
或为固着紧密的白色角质斑块。
腭部损害可由义齿性口炎发展而來，呆乳头状增生。
组织学检查可见4.牙周牙髓联合病变的治疗原则答：牙周一牙髄联合病变的治疗原则：尽量查清病源，以确定治疗的主次。
在不能确定的情况下，死髄牙先做牙髄治疗，配牙周治疗；活髓牙先做牙周治疗和调 ，若疗效不佳，再行牙髄治疗。
(1)牙髄病引起的牙周病：彻底的根管预备+刮治牙周——完善的根充。
博士研究高等数值分析试题
一、写出5n =时 Lagrange 插值基函数2()l x 的表达式；解：0134522021232425()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -----=-----二、设)(f x 的函数值及导数值为：312110='==)(f ,)(f ,)(f ，试求次数不超过2的插值多项式。
解：因为若)(x f 在],[b a 上有三阶连续导数，已知)(x f 在],[b a 上两个互异点10,x x 上的函数值)(0x f ，)(1x f 和一阶导数值1()f x '，则次数不超过二次的插值多项式为2010*********010110()(2)()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x L x f x f x f x x x x x x x --+---'=-+--- 并且插值余项为2011()()()(),(,)6R x x x x x f a b ξξ'''=--∈所以本题的插值多项式为222()(1)2(2)3(1)12L x x x x x x x x =---+-=-+ 三、x的插值二次式)(x p 2，使得15225p 13,169p 11121222===)()(,)(p ，解：0(169)(225)1()(169)(225)(121169)(121225)4992x x l x x x --==----1(121)(225)1()(121)(225)(169121)(169225)2688x x l x x x --==-----2(121)(169)1()(121)(169)(225121)(225169)5824x x l x x x --==----插值多项式为2111315()(169)(225)(121)(225)(121)(169)499226885824L x x x x x x x =-----+--2111315(145)(145169)(145225)(145121)(145225)(145121)(145169)499226885824L =-----+--2112024960864012.032967499226885824=+-≈四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线2210)(x a x a a x y ++=解：取()1x ω=，0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，22()x x ϕ=，22012()p x a a x a x =++，由于 5115i ==∑，510i i x ==∑，52110ii x ==∑，5310ii x ==∑，54134ii x ==∑，5122i i y ==∑，511i ii x y==-∑，52179i i i x y ==∑，从而可得法方程组为012501022010011003479a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解次方程组可得00.6a =- 10.1a =- 2 2.5a = 故所求二次拟和合曲线为20.60.1 2.5y x x =--+。
数学考博试题
数学考博试题一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，那么f(-1)的值为：A. -6B. 0C. 2D. 62. 已知等差数列的公差为2，前两项之和为10，则这个等差数列的第一项是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 若a、b为正整数，且满足a^2 + b^2 = 25，那么a和b的值可以是：A. (3, 4)B. (4, 3)C. (5, 2)D. (2, 5)4. 设平面直角坐标系中，直线L1的斜率为2，与x轴的交点为(-2,0)，则L1的方程是：A. y = 2x + 2B. y = 2x - 2C. y = -2x + 2D. y = -2x - 25. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5}，则A与B的交集为：A. {3, 4}B. {1, 2}C. {3, 4, 5}D. {1, 2, 3, 4, 5}二、填空题1. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -2)，则a + b + c的值为______。
2. 设集合A = {2, 4, 6, 8}，集合B = {1, 3, 5, 7}，则A与B的并集的元素个数为______。
3. 设直线L1的斜率为-3，过点(2, 4)，则L1的斜截式方程为y =______。
4. 若复数z = 3 + 4i，则z的共轭复数为______。
5. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，那么f'(x)的表达式为______。
三、解答题1. 解方程组：{ 2x + y = 7{ x - y = 32. 某公司在倒闭前共发行1000张彩票，每张彩票单价为100元。
中奖规则为：前500张彩票中有1张中奖，后500张彩票中有2张中奖。
中奖者获得总奖金150000元。
求中奖彩票的单价和中奖者分别得到的奖金。
3. 已知函数y = f(x)在区间[1, 5]上连续，且在区间(1, 5)内可导，求函数y = f(x)在区间[1, 5]上的极值点及极值。
博士笔试考试题及答案
博士笔试考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 以下哪项是量子力学的基本原理之一？A. 经典力学B. 相对论C. 波粒二象性D. 热力学第一定律答案：C2. 根据热力学第二定律，下列哪项描述是正确的？A. 能量守恒B. 熵增原理C. 能量转化和守恒定律D. 能量耗散答案：B3. 在统计学中，标准差是用来衡量什么？A. 数据的中心趋势B. 数据的离散程度C. 数据的相关性D. 数据的正态分布答案：B4. 以下哪项是线性代数中的基本概念？A. 微分B. 积分C. 矩阵D. 概率5. 在计算机科学中，算法的时间复杂度通常用来描述什么？A. 算法的空间需求B. 算法的执行速度C. 算法的内存使用D. 算法的可读性答案：B6. 以下哪项是经济学中的基本概念？A. 供需平衡B. 牛顿定律C. 欧拉公式D. 热力学定律答案：A7. 以下哪项是心理学中的认知理论？A. 行为主义理论B. 精神分析理论C. 认知失调理论D. 社会学习理论答案：C8. 在物理学中，哪个方程描述了电磁波的传播？A. 麦克斯韦方程组B. 薛定谔方程C. 牛顿运动定律D. 相对论方程答案：A9. 以下哪项是化学中的基本概念？B. 相对论C. 量子场论D. 牛顿力学答案：A10. 在生物学中，细胞分裂的过程被称为什么？A. 有丝分裂B. 无丝分裂C. 减数分裂D. 细胞凋亡答案：A二、简答题（每题10分，共2题）1. 简述相对论的两个基本原理。
答案：相对论的两个基本原理是：（1）相对性原理，即物理定律在所有惯性参考系中都是相同的；（2）光速不变原理，即光在真空中的速度对于所有观察者来说都是恒定的，不受光源和观察者的运动状态影响。
2. 描述DNA复制的过程。
答案：DNA复制是一个精确的过程，包括以下几个步骤：（1）解旋，DNA双螺旋结构被解旋酶解开；（2）合成，以解开的单链为模板，通过DNA聚合酶合成新的互补链；（3）修复，DNA修复酶识别并修复复制过程中的错误；（4）新DNA分子形成，最终形成两个相同的DNA分子，每个分子包含一条原始链和一条新合成的链。
南昌大学-数值分析试题
一、单项选择题（每小题3分，共15分）i1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分 评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩L得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---%[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩%()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=%2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3. 解()331f x x x =--，()130f =-<，()210f =>()233f x x '=-，()12f x x''=，()2240f =>，故取2x =作初始值迭代公式为()()3111112113133n n n n n n n n f x x x x x x f x x ---------=-=-'-()312121()31n n x x --+-或， 1,2,...n =02x =，()312231 1.88889321x ⨯+==⨯-，()3222 1.888891 1.879453 1.888891x ⨯+==⨯-210.009440.0001x x -=>()3322 1.879451 1.879393 1.879451x ⨯+==⨯-，320.000060.0001x x -=<方程的根 1.87939x *≈4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案4 解 梯形公式()()()2bab af x dx f a f b -≈⎡+⎤⎣⎦⎰应用梯形公式得101111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰辛卜生公式为()()()[4()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰应用辛卜生公式得()()1011010[04()1]162dx f f f x -+≈+++⎰1111[4]16101112=+⨯++++2536=得分 评卷人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得1011123112()02()3A A A h h A A h A A h ---⎧⎪++=⎪--=⎨⎪⎪+=⎩得1113A A h -==，043hA =。
数值分析试题(卷)与答案解析
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y =f (x )-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
数值分析考博必考课程研一考试复习专用21
2
§1 高斯消去法与列主元消去法
一、高斯消去法
1、三角形方程组
定义 系数矩阵是三角形矩阵的方程组，例如
a11 x1 a12 x2 a1n xn ห้องสมุดไป่ตู้1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
当aii 0时，方程组有唯一解.
但是这种计算方法在实际应用中对于高阶方程组却不能用， 这是因为用此法解上方程组需计算n+1个n 阶行列式，每个行 列式的展开式有时候 n！项，每一项又是n个元素的乘积，不 难算出，计算一个 n 阶方程组的解需做乘除法
n 1 n!n 1 n 次
例如当 n=20 时，计算量为 21 20!19 20 9.71020
a (1) 12
a (1) 1k
k
a(1) 21
a (1) 22
a (1) 2k
0,
a(1) k1
a (1) k2
a (1) kk
则
a(i) ii
0
(i
1,2,, k;
1
k
n),
反 之 为 真.
14
证明对
k
采用归纳法.当 k
1 时, 因 为1
a(1) 11
0,
命题
显 然 成 立.
假设命题对k 1 成 立, 即, 1 0, 2 0,, k1 0,
a(1) nn
xn
an(1,n) 1
( 2.1.9)
A(1) , b(1)
A(2) , b(2)
1
0
a(2) 12
a(2) 22
a(2) 13
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南昌大学2017年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：数值分析考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）一、求满足条件的埃尔米特（Hermite）插值多项式.二、求在区间]1,0[上，关于权函数=()W x )(),(),(210x g x g x g 。
解：设0()1g x =，1()g x x a=+22()g x x bx c=++则由()0x a dx +=⎰ 得2230,-535a a +==由20)0x bx c dx ++=⎰得2220753b c ++=由203-)()05x x bx c dx ++=⎰得1680359257b +=⨯⨯从而可得3105-,-,5921a b c ===故20123105()1,()-,()-5921g x g x x g x x x ===+三.给定经验数据试用形如bx ae y =（b a ,为常数0>a ）的经验公式来拟合。
解对bx ae y =两边取对数有ln ln y a bx =+，作变换ln Y y =，ln A a =，则有Y A bx =+，01ϕ=，1x ϕ=，()1x ω≡，为了求出A ，b ，将数据(,)i i x y 转化为(,)i i x Y ，从而有11(,)(1.00,1.629)x Y =，22(,)(1.25,1.756)x Y =，33(,)(1.50,1.876)x Y =44(,)(1.75,2.008)x Y =，55(,)(2.00,2.135)x Y =，由最小二乘法写出法方程组，由于()5001,15i ϕϕ===∑，()5011,7.5i i x ϕϕ===∑，()52111,11.875ii xϕϕ===∑，()501,9.404i i Y Y ϕ===∑，()5111,14.422i i Y x Y ϕ===∑，故法方程组为：57.59.4047.511.87514.422A b A b +=⎧⎨+=⎩解得1.122A =，0.5056b =， 3.071A a e ==，因此最小二乘拟合曲线为ix 12iy 23i y '1-1ix 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00iy 5.10 5.79 6.537.458.460.5056*3.071()x y e x ϕ==四、试证函数系0{(),,(),}n x x ϕϕL L 中函数01{(),(),,()}n x x x ϕϕϕL 线性无关的充要条件为Gram矩阵0001010111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L非奇异，即1det 0n G +≠。
证明对函数组01,,,n φϕϕ ，若有00110n n c c c φϕϕ+++= ，则01,,,n φϕϕ 线性无关的充要条件为010n c c c ==== .必要性：假设1det 0n G +=，则线性代数方程组10n G C +=存在非零解向量，记之为01(,,,)T n C c c c = ，从而有01101(,,,)(,,,)0T n n n c c c G c c c += 即有1(,)0nni i i i i i c c ϕϕ===∑∑由内积性质（1）可知00ni i i c ϕ==∑。
这与01,,,n φϕϕ 线性无关相矛盾。
故1det 0n G +≠。
充分性若01,,,n φϕϕ 线性相关，则存在不全为零的数01,,,n c c c ，使得00110n n c c c φϕϕ+++= 用()j x φ与上式进行内积(0,1,2,,)j n =L 则有(,)0nnj i i i i c ϕϕ===∑∑即(,)0njiii cϕϕ==∑(0,1,2,,)j n =L 故01,,,n c c c 是线性代数方程组10n G x +=的非零解。
从而齐次线性代数方程组有非零解的充要条件为1det()0n G +=，这与1det 0n G +≠相矛盾，故假设不成立。
五、试证明勒让德多项式系{()}n p x 在区间[1,1]-上关于权函数()1x ρ≡是正交多项式系，即对任意()()k j p x p x 和，有110 k j ()()2 21k j p x p x dx k j k -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰成立。
证明不妨设k j ≥，当k>j 时，按分部积分法有112()2()2(1)2(1)11[(1)][(1)][(1)][(1)]...k k j j k k j j x x dx x x dx -+----=---==⎰⎰112()2(2)2()11(1)[(1)][(1)](1)(2)![(1)]j k k j j j j k k j x x dx j x dx -------=--⎰⎰112()2(1)1-1(1)(2)(2)![(1)]0j k k j j k k j j x dx j x ----=--=--=⎰当k=j 时，由于12()212120[(x 1)](x 1) sin )(2)!!2(1)cos 2(1)(21)!!k k j k k k kdx dx x t k tdt k π--+-=-==-=-+⎰⎰⎰1-1令（从而可见k>j 时有12()2()111((),())[(x 1)][(x 1)]02!2!k k j j k j k j p x p x dx k j -=⋅--=⎰⎰1-1而k=j 有21(2)!!2((),())(1)(2)!2(1)(2!)(21)!!21k k k k k k p x p x k k k k =⋅-⋅-⋅=++。
南昌大学2016年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：数值分析考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--一、写出5n =时Lagrange 插值基函数2()l x 的表达式；解：0134522021232425()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -----=-----二、设)(f x 的函数值及导数值为：312110='==)(f ,)(f ,)(f ，试求次数不超过2的插值多项式。
解：因为若)(x f 在],[b a 上有三阶连续导数，已知)(x f 在],[b a 上两个互异点10,x x 上的函数值)(0x f ，)(1x f 和一阶导数值1()f x '，则次数不超过二次的插值多项式为2010011201122010110()(2)()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x L x f x f x f x x x x x x x --+---'=-+---并且插值余项为2011()()()(),(,)6R x x x x x f a b ξξ'''=--∈所以本题的插值多项式为222()(1)2(2)3(1)12L x x x x x x x x =---+-=-+三、x 的插值二次式)(x p 2，使得15225p 13,169p 11121222===)()(,)(p的近似值。
解：0(169)(225)1()169)(225)(121169)(121225)4992x x l x x x --==----1(121)(225)1()(121)(225)(169121)(169225)2688x x l x x x --==-----2(121)(169)1()(121)(169)(225121)(225169)5824x x l x x x --==----插值多项式为2111315()(169)(225)(121)(225)(121)(169)499226885824L x x x x x x x =-----+--故的近似值为2111315(145)(145169)(145225)(145121)(145225)(145121)(145169)499226885824L =-----+--2112024960864012.032967499226885824=+-≈四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线2210)(x a x a a x y ++=k 12345kx -2-1012ky 101029解：取()1x ω=，0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，22()x x ϕ=，22012()p x a a x a x =++，由于5115i ==∑，510ii x==∑，52110i i x ==∑，5310i i x ==∑，54134i i x ==∑，5122i i y ==∑，511iii x y==-∑，52179i i i x y ==∑，从而可得法方程组为012501022010011003479a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解次方程组可得00.6a =-10.1a =-2 2.5a =故所求二次拟和合曲线为20.60.1 2.5y x x =--+。
五、设n x x x x ,,,,210⋅⋅⋅是互不相同的节点，)(x l i 是插值基函数，求证：对任何k=0,1,2,…,n 下式成立：（1）ki ni ki xx l x =∑=)(0（2）0)()(0=∑-=x l x x i ni k i证明：(1)令()k f x x =（0,1,2,,k n = ），则()f x 的Lagrange 插值多项式为()()()()nnki i i i i i Ln x l x f x l x x ====∑∑其中()(0,1,2,,)i l x i n = 为Lagrange 插值基函数。
插值余项为(1)11()()-()()()(1)!n n Rn x f x Ln x fx n ξω++==+其中()()i x x x ω=∏-nn+1i=0，ξ在01,,,n x x x 之间.由于()k f x x =(0,1,2,,)k n = 故(1)()0n f x +=，从而()0n R x ≡,即()()n f x L x ≡),故()(0,1,2,,)0nk k l x x x k n i i i ===∑=(2)根据二项式展开定理有：000(-)()(())()()()n n kk nk n j k jn k j jiij ii ji i i i j j i x x l x Cx x l x C x x l x --======-=-∑∑∑∑∑ (1)n k jk jjji C xx ---∑∑kni j=0i=0=l(x)(由(1)结论可得)00(1)(1)knnk jk jjn k j kjj j j C xx C x ---===-=-∑∑ 0(1)(1-1)0nknk j k k jj xCx -==-==∑六、证明：若,1)(xa x f -=则()f x 在节点01,,,n x x x 处的n 阶差商为012011[,,,,]()()()n n f x x x x a x a x a x =--- 证明：当n=1时，有01011001()()1[,]()()f x f x f x x x x a x a x -==---结论成立，假设当n=k-1时成立，对n=k 有0121120120[,,,,][,,,][,,,,]n n n nf x x x x f x x x f x x x x x x --=- 001112111[]()()()()()()()n n n x x a x a x a x a x a x a x -=-------- 1100111[]()()()()()n n n a x a x x x a x a x -=------ 011()()()n a x a x a x =--- 所以对任何n 上式都成立，证毕。