第二章 参数估计与假设检验

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案例 1 解答：
设新钢丝的平均抗拉强度为 ， 2 未知，故使用 t 检验。由题意，本案例为右边检验问题， H0： =0， H1： >0
.4, S = 81， 由所给样本数据， 可求得：x 10631 n =10， =0.05， t0.05(9)=1.8331
10631 .4 10560 t 2.7875 S/ n 81/ 10
§5.3 单个总体均值的检验 · · , Xn 为总体 设 X～N( , 2 )， 2 未知，X1, X2, · X 的样本，给定水平 ，原假设为 H0： =0 ( 0为某一给定值) 当 H0 为真时，统计量
X 0 t ～t (n -1) S/ n
1. H1：≠0 (双边检验) 当 H0 为真时， 由 P{-t/2 (n-1)≤t≤t/2 (n-1)}=1- f ( x) 可得： 若 |t|> t/2 (n-1) 就拒绝 H0，接受 H1； 否则接受 H0。
0.7 –1.6 –0.2 –1.2 –0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0
(1)哪种安眠药的疗效好？ (2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分 别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上 表，此时结论如何？
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【案例5】某一系列电视剧是否获得成功
如果能够证明某一系列电视剧在播出的头 13周其观众的收视率超过了25％，则可以 断定它获得了成功。假定由400个家庭组成 的样本中，有112个家庭在头13周看过了某 系列电视剧。现在要判断这部电视剧是否 获得了成功。
8Hale Waihona Puke Baidu
§5.2 假设检验的原理
一、实际推断原理 假设检验的理论是小概率原理，又称为实际推断 原理，其具体内容是：小概率事件在一次试验中是 几乎不可能发生的。 二、假设检验推理的思想方法 假设检验推理的思想方法是某种带有概率性质的 反证法。
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. §5.2 假设检验的原理
三、基本原理和步骤 例1：统计资料表明，某电子元件的寿命 X～N(0 , 2 )， 其中 0 已知， 2 未知。 现采用了新工艺生产，测得新工艺生产的 n 个元件寿命 为 x1 , x2 , · · · , xn。 问： 新工艺生产的元件期望寿命 是否比原工艺的元件期望寿 命 0 有显著提高? 此问题要推断的是： 是否 > 0? 这可用假设检验的方法解决，步骤如下：
实际情况
H0 真 1- H0 假 Type II Error ( ) Power (1 - )
Type I Error ( )
Relationship Between a & a & 间的联系
两个错误有反向的关 系


两类错误的关系
H0：μ=μ0 H1：μ=μ1
β
0
t(n-1)
课堂练习 3
一台自动包装奶粉的包装机，其额定标准为每 袋净重 0.5 kg。某天开工时，随机抽取了 10 袋产 品，称得其净重为： 0.497，0.506，0.509，0.508，0.497 0.510，0.506，0.495，0.502，0.507 (1)在水平 = 0.20下，检验该天包装机的重量设 定是否正确?（ x 0.5037 ，S= 0.00554 ） (2)在本题的检验问题中，为什么要将 取得较 大？
x 0
∵
t =2.7875 >t(n-1) = t0.05(9) =1.8331
故拒绝 H0，即在水平 =0.05下， 显著高于 0。 说明新工艺对提高钢丝绳的抗拉强度是有显著 21 效果的。
在案例1中，若取 = 0.01，问结论如何?
【解】∵ t0.01(9) = 2.8214， t =2.7875 < t0.01(9) = 2.8214 故不能拒绝 H0。即在水平 = 0.01下，新钢 丝平均抗拉强度并无显著提高。 通常，在 =0.05 下拒绝 H0，则称检验结 果为一般显著的； 若在 =0.01 下拒绝 H0，则称检验结果为 高度显著的； 若在 =0.001 下拒绝 H0，则称检验结果为 极高度显著的。 22
S/ n
4. 给定一个小概率 ，
称为显著性水平
显著性水平 是当 H0 为真时， 拒绝 H0 的概率 (即犯“弃真”错误的概率)。也即当检验结果拒绝 H0 时， 不犯错误的概率为 1-， 从而可以有1- 的可信度接受 备择假设 H1。 5. 确定要拒绝 H0 时统计量的取值范围， 称为拒绝域，
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§5.4大样本单个总体比例的检验
设总体成数为 P， 则当 nP 和 n (1-P) 都大于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P， 方差为 P (1-P)/n 的正态 分布。 从而当原假设 H0：P = P0 为真时， 统计量 p P0 Z ～ N (0, 1) P0 (1 P0 ) / n
f ( x)
间存在显著差异。 这就是称 为显著性水平的原因。

0 t (n-1) x
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右边检验的拒绝域
二.检验中可能犯的两类错误
设 t 为检验原假设 H0 所用的统计量，t(n-1)为检 验的临界值，由显著性水平 的定义(右边检验)
P{ t >t(n-1) | H0 为真}=
可知检验中可能出现以下两类判断错误： 第一类错误 ——当 H0 为真时拒绝 H0 的错误， 即“弃真”错误，犯此类错误的概率为 。 第二类错误 ——当 H0 不真时接受 H0 的错误， 即“取伪”错误， 记犯该类错误的概率为 ，即
第5章 假设检验
本章教学目标
了解和掌握统计推断中的另一个基本问题：参 假设检验及其在经济管理中的应用； 掌握运用 Excel 的“数据分析”及其统计函数 功能求解假设检验问题。

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本章主要内容
§5.1 案例介绍 §5.2 假设检验的基本原理 §5.3 单个正态总体均值的检验 §5.4 单个正态总体方差的检验 §5.5 两个独立正态总体均值的检验 §5.6 成对样本试验的均值检验 §5.7 两个正态总体方差的检验 §5.5 总体比例的检验 本章重点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用 Excel―数据分析”功能的使用及其运行输出结果分析。 难点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用。
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【案例6】女企业家对成功的理解是否不同
对女企业家进行了一项研究来看她们对成功的 理解。给她们提供了几个备选答案，如快乐 / 自我 实现，销售/利润，成就/挑战。根据她们业务的总 销售额将其分为几组。销售额在 10 万 ~50 万元的在 一组，少于10万元的在另一组。 要研究的问题是：把销售 / 利润作为成功定义的 比率，前一组是否高于后一组？

x
由图可知，减少 会增大 ，反之也然。 在样本容量 n 不变时，不可能同时减小犯两类错误的概率。 应着重控制犯哪类错误的概率，这应由问题的实际背景决 定。 当第一类错误造成的损失大时，就应控制犯第一类错误的 概率 (通常取 0.05，0.01等)； 反之，当第二类错误造成的损失大时，就应控制犯第二类 错误的概率 。 17 要同时减小须犯两类错误的概率，必须增大样本容量 n。
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【案例2】机床加工精度是否符合要求? 某台加工缸套外径的机床，正常状态下所 加工缸套外径的标准差应不超过 0.02 mm。 检验人员从加工的缸套中随机抽取 9 个， 测得外径的样本标准差为 S = 0.03 mm。 问：该机床的加工精度是否符合要求?
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【案例3】两种轿车的质量有无差异？
新车的平均首次故障里程数是汽车的一个主要可 靠性指标。 现测得甲、乙两种品牌轿车的首次故障里程数数 据如下： 甲品牌 X1：1200, 1400, 1580, 1700, 1900 乙品牌 X2：1100, 1300, 1800, 1800, 2000, 2400 其中 x1 =1556, x2 =1733 问：能否据此判定乙品牌轿车的平均首次故障里 程高于甲品牌?
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6. 计算统计量 t 的值， 并作出检验结论
本例中，若计算结果为 t >t(n-1)， 则拒绝 H0， 接受 H1，即在水平 下， 认为 显著高于 0。
若 t < t(n-1)，就不能拒绝 H0，即认为 并不显 著高于 0。 当拒绝 H0 时，说明在给定的水平 下， 和 0
P｛ t≤t(n-1)｜H0 不真｝=
由于 H0 不真时与 H0 为真时，统计量 t 的分布是 14 不同的， 故 β≠1-。
Result Possibilities 结果的各种可能性
H0: 无辜 法官判决 实际情况 判决 无辜 有罪 无辜 Correct Error 有罪 Error Correct 决策 没有拒绝 H0 拒绝 H0 假设检验
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§5.1 案例介绍 【案例1】新工艺是否有效？
某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为 10560 (kg/cm2)。 现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取 10 根， 测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求得新钢丝的平均抗拉强度为 10631.4(kg/cm2)。 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢 丝，即新工艺有效的结论?
/2
- t/2(n-1) 0
1-
/2
x
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t/2(n-1)
2. H1： > 0 (右边检验)
当 H0 为真时，由 P { t ≤ t ( n-1) }=1- 可得：若 t > t ( n-1 ) 就拒绝 H0，接受 H1； 否则就认为 并不显著高于 0 。
f ( x) 3. H1： < 0 (左边检验) 1- 由 P { t ≥ -t (n-1) }=1- 可得：若 t < -t ( n-1 ) x -t(n-1) 就拒绝 H0，接受 H1； 左边检验的拒绝域 否则就认为 并不显著小于 0 。
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1.提出一个希望推翻的假设, 称为原假设, 记为 H0
本例中
H0： = 0
2. 按希望出现的结果提出一个与原假设对立的假设， 称为备择假设，记为 H1。 本例中 H1： > 0 3. 构造一个能用来检验原假设 H0 的统计量 本例中，要检验的是总体均值 ，而 X 是 的优良 估计, 故应使用 X 来构造检验 的统计量。 当 H0 为真时，统计量 X 0 t ～t (n-1) 11
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案例1. 检验新工艺的效果
某厂生产的一种钢丝抗拉强度服从均值为 10560(kg/cm2)的正态分布，现采用新工艺生 产了一种新钢丝，随机抽取10根测得抗拉强 度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 问在显著性水平 = 0.05下，新钢丝的平 均抗拉强度比原钢丝是否有显著提高?
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【案例4】哪种安眠药的疗效好？
为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失 眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人 安眠药
1 1.9
2 0.8
3 1.1
4
5
6
7
8
9
10
甲 乙
0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
与前面分析完全类似地，可得如下检验方法：
统计量
p P0 Z P0 (1 P0 ) / n
H1
P≠P0 P > P0 P < P0
拒绝域
| Z | Z / 2 Z Z
Z Z
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【案例5】某一系列电视剧是否获得成功
如果能够证明某一系列电视剧在播出的头13周其观众的 收视率超过了25％，则可以断定它获得了成功。假定由 400个家庭组成的样本中，有112个家庭在头13周看过了 某系列电视剧。在 = 0.01 的显著性水平下，检验这部。 系列电视剧是否获得了成功。 解：由题意，H0：P = P0 = 25%，H1：P > 25%， 样本比例 p = 112/400 = 0.28
拒绝域的边界点称为临界值。 本例中，由于 H1： > 0 (右边检验)， 而当 H0 为真时， 有 P{ t ≤t ( n-1 ) } = 1- 可知当统计量 t >t(n-1) 时，就可以有1- 的把握判定 故此时应拒绝 H0。 H0 不真 (犯错误的概率仅为 )， 从而拒绝域为 t >t(n-1)，临界值为 t(n-1)。