第六章方差分析
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第六章 方差分析
6.2 单因素方差分析
• 解决的问题类型
设有k个教学方案，各个方案的效果如表6.1所示。 问：怎样判断这k个方案的效果是否有显著区别 （均值是否相同）？
所谓的单因素是指只有“方案”这个变量（因素）。 不同方案就是“方案”这个变量的不同取值。这 些不同的“取值”又称为“方案”这个因素的不 同“水平”。
受不同因素的影响，研究所得数据会不同。造成 差异的原因可分为两类：1）随机误差，如测量误差 造成的差异或个体间的差异，称为组内差异；2）实 验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。 方差分析的目的是分析分组的平均数是否相等。 如果相等，说明组间没有差别；如果不相等，说明组 间平均数有差异，这时分组（或处理）是有效的。
但其独特的地方是，它并不直接利用平均数来比 较，而是利用与方差有关的统计指标总变差（SST）、 组间变差（SSB）、组内变差（SSW）的关系来进行 判别。
收 入Biblioteka 男 女Y总=800元
Y女=800元
Y男=800元
收 Y男=1000元 入
男 女
Y总=800元
Y女=600元
收 入 Yi－
男 女
y
Yi－
表 单因素方差分析的已知条件
方案1 方案2 X11 X21 X12 X22 „ „ X1n X2n
„
方案k
„
Xk1
„
Xk2
„
„
„
Xkn
注：表中ni表示方案i的实验个数。
6.2 单因素方差分析实例
P120 研究3个组（分别接受了3种不同的教学方法）在 英语成绩上是否有显著差异，如表6.3所示。 方法1/group1 99 88 79 方法2/group2 70 72 87 方法3/group3 79 56 89
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
第六章 方差分析
t 检 验
适用于样本平均数与总体平均数及两样本平 均数间的差异显著性检验。 多个处理平均数的显著 性检验该如何进行呢？
方差分析 ！！！
举例说明
饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g）
饲料
鱼的增重（xij）
31.9 24.8 22.1 27.0 27.9 25.7 23.6 30.8 31.8 26.8 27.3 29.0 28.4 27.9 24.9 24.5 35.9 26.2 25.8 28.5
在计算总平方和时，资料中各观测值要受 ( xij x ) 0
i 1 j 1 k n
这一条件约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减 1，即 nk 1 。总自由度记为 dfT ，即 dfT nk 1 。 在计算处理间平方和时，各处理均数 x i. 要受 ( xi. x ) i 1 这一条件的约束，故处理间的自由度为处理数减1， 即 k 1 。处理间的自由度记为 dft ，即 dft k 1 。 在计算处理内平方和时要受个 条件的约束， 即 ( x x ) 0 , i 1,2,...k 。故处理内自由度为资料中观测值总 个数减k，即 nk k。处理内自由度记为 dfe ， 即 dfe nk k k (n 1) ，这实际上是各处理内的自由度之和。
A1 A2 A3 A4
检验过程烦琐；
无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低；
推断的可靠性低，检验的I型错误率大。
累积 I 型错误的概率计算
当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共有c c＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2 设每次检验所用Ⅰ类错误的概率水准为α，累积Ⅰ 类错误的概率为α´，则在对同一实验资料进行c次检验时 ，在样本彼此独立的条件下，根据概率乘法原理，其累积 Ⅰ类错误概率α´与c有下列关系：
适用于样本平均数与总体平均数及两样本平 均数间的差异显著性检验。 多个处理平均数的显著 性检验该如何进行呢？
方差分析 ！！！
举例说明
饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g）
饲料
鱼的增重（xij）
31.9 24.8 22.1 27.0 27.9 25.7 23.6 30.8 31.8 26.8 27.3 29.0 28.4 27.9 24.9 24.5 35.9 26.2 25.8 28.5
在计算总平方和时，资料中各观测值要受 ( xij x ) 0
i 1 j 1 k n
这一条件约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减 1，即 nk 1 。总自由度记为 dfT ，即 dfT nk 1 。 在计算处理间平方和时，各处理均数 x i. 要受 ( xi. x ) i 1 这一条件的约束，故处理间的自由度为处理数减1， 即 k 1 。处理间的自由度记为 dft ，即 dft k 1 。 在计算处理内平方和时要受个 条件的约束， 即 ( x x ) 0 , i 1,2,...k 。故处理内自由度为资料中观测值总 个数减k，即 nk k。处理内自由度记为 dfe ， 即 dfe nk k k (n 1) ，这实际上是各处理内的自由度之和。
A1 A2 A3 A4
检验过程烦琐；
无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低；
推断的可靠性低，检验的I型错误率大。
累积 I 型错误的概率计算
当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共有c c＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2 设每次检验所用Ⅰ类错误的概率水准为α，累积Ⅰ 类错误的概率为α´，则在对同一实验资料进行c次检验时 ，在样本彼此独立的条件下，根据概率乘法原理，其累积 Ⅰ类错误概率α´与c有下列关系：
教育与心理统计学 第六章 方差分析六 多因素方差分析、事后检验、协方差分析、统计功效与效果量、重要
第六章方差分析(六)第五节多因素方差分析一、多因素方差分析的定义多因素方差分析是用来研究两个及两个以上控制变量是否会对观测变量产生显著影响。
多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量 的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用是否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
多因素 方差分析包括完全随机设出随机区组设计。
二、平均数差异检验、单因素方差分析、多因素方差分析比较当需要比较两个以上平均数的差异时，要使用单因素方差分析，而不进行多次平均数差异检验，这样就可以降低统计误差。
如果单次进行 平均数比较率，即显著性水平是a ,进行两两平均数比较的次数是N ,多次两两平均数差异的错误率：P N =l-(l-a)n o 同理多因素方差由于 同时进行两个因素以上的方差分析，亦能降低统计误差，同时，也能处理交互作用。
第六节事后检验(多个平均数之间的比较)一、事后检验[事后多重比较]事后检验的定义：方差分析所要检验的零假设是所有k 个处理的总体平均数没有显著性差异，相应的备择假设是k 个处理中至少有2个处 理的总体平均数之间存在显著差异。
但方差分析不拒绝零假设时，表明至少有2个处理的总体平均数不等，若方差分析F 检验的结果表明 差异显著就必须对各实验处理组的多对平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟哪一对或哪几对的差异显著，确定两变量关系的本质。
事后检验也被称作事后多重比较，在这也叫做多个平均数之间的比较。
事后检验的目的：当方差分析表明一个主效应显著时，它只能提供几个变量之间是否存在显著差异的结果，又因为多重t 检验会使得I 型 错误发生的概率大大增加[吃1-Q ：业L 因而我们只能采取事后检验。
二、事后检验的方法[1]N-K 法，也叫q 检验法；[2]HSD 检验(又叫Turkey 真实检验，更敏感，统计检验力更强，要求各组容量相等);[3]Scheffe 检验(匕啜保守，适用于样本容量不等，最大限降低了第一类误差a 水平，可能最安全);⑷费舍的最小显著差异法(LSD);一、协方差分析协方差分析的定义：协方差表示的是交互效应项，将处理引起的变异分解为处理在变量x 上引起的变异、在变量y 上引起的变异和在交互效应项xy 上引起的 变异。
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
方差分析I单向分类资料
合计 平均
X1. X1. X 2. X 2. X i. X i.
Xk. Xk. X .. X
平方和与自由度旳计算
k ni
总平方和：SST
i1 j1
X ij X
2
k i 1
ni j 1
X ij 2
X
2 ..
N
校正项(correction
factor)：CF
X
2 ..
N
k
组间平方和 : SSA＝
8
II 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8
7
III 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 9
IV 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5
8
32
–零假设：1= 2= 3= 4
sum 119.80
单向分类资料旳数据构造
组别 • 观察值
A1 A2
X 11 X 12 X X 21 X 22 X
1 2
j j
X X
1n1 2 n２
Ai X i1 X i2 X ij X ini
Ak X i.XXik总1jn i1X总和n1Xik平2：ijj ni1均XX ..：＝ijXXikkj1＝ XN1i.XXkn.k.
组间（处理） 85.8563
3
28.6188 16.855
Treatment
**
组内（误差） 47.5408
28
1.6979
error
总变异
133.3972 31
total F F (3,28) 否定H0 ,
F0.01(3,28) 4.57
第六章 方差分析-
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
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第6章 方差分析
２.Dunnett-t检验
它适用于k－１个试验组与一个对照组均数差 别的多重比较。 公式为：
t
Xi X0
1 1 MS 误差 （ ) ni n0
照组的均数，MS误差为方差分析中所计算的误差均 方，ni和n0分别为第i个试验组和对照组的例数。 v＝v误差
X 为第i个（i=1,2,…k-1)试验组的均数， 0 为对 X i
两两比较计算表
对比组 两均数 之差
XA XB
A与B (1) （2）
q值
(3) (2) 0.3899
组 数
a (4)
q界值
P
（3）
α=0.05 (5)
α=0.01 (6)
(7)
1与2 1与3 2与3
1.0323 2.7543 1.7220
2.65 7.06 4.42
2 3 2
2.83 3.40 2.83
方差分析
Analysis of Variance
本章内容
方差分析的基本思想 完全随机设计的单因素方差分析 随机区组设计的两因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 变量变换
例1.某研究者为研究核黄素缺乏对尿中氨基氮的 影响，将60只Wistar大白鼠随机分为核黄素缺乏、 限食量、不限食量三组不同饲料组。每组20只 大白鼠。一周后测尿中氨基氮的三天排出量， 结果如表1。
一、方差分析的基本思想
4. 方差分析的基本思想： 根据变异的不同来源将全部观察值总的 离均差平方和与自由度分解为两个或多 个部分，除随机误差外，其余每个部分 的变异可由某个因素的作用（或某几个 因素的交互作用）加以解释，通过比较 不同变异来源的均方，借助F分布作出 统计推断，从而了解该因素对观测指标 有无影响。
生物统计学 第六章 方差分析
（1）LSD法
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
第六章 方差分析
9.0 9.4 8.0 69.7 608.69
ΣR 39.3 38.5 39.8 36.2 36.1 38
41.9 35.7 305.5
ΣR2 387.87 371.61 397.70 328.60 326.61 361.38 441.25 319.89
2934.91
SSt 18.34 SSw 9.44 SSs 8.06 SSe 0.84 Fw 78.75 Fs 28.75
15
方差分析原理例题
A 10 14 12 (n=5) 8 11
X j 11
实验处理
B
C
15
10
20
12
17
6
8
12
15
10
15
10
(K=3)
X t =12
任意一个数据与总平均数的离差 等于
这个数与该组平均数的离差
加上
该组平均数与总平均数的离差
(Xij Xt ) (Xij X j ) (X j Xt )
• 总自由度： dft = nk - 1
•
dft = dfb + dfw
F检验
SSb F MSb dfb
MSw SS w dfw
方差分析的一般步骤
1、计算离差平方和 2、确定自由度 3、F检验 4、列方差分析表
方差分析的基本条件
1、总体服从正态分布 2、变异的可加性（可分解性，即数据的总
人先后进行四种角度下的判断，结果如下，问不同夹角对错觉量是否有显著 影响。
被试
夹角
15°
30°
45°
60° ΣR
ΣR2
A
10.5
10.3
9.7
8.8 39.3
第六章方差分析
108 98 114 126 80
∑Ti= 526
y =26.3
se2=6.73
24
变异来源
处理效应和试验误差
处理数k=5，每一处理观察值的个数n=4 1、各变异来源的平方和的计算：
T 2 5262 C 13833 .8 nk 5 4 2 SST yij C 242 302 212 C 402.2 (1082 982 802 ) SSt C C 301.2 n 4 SSe SST SSt 402.2 301.2 101.0
处理 1 2 ： j ： n 总和 平均 均方
1 y11 y12 ： y1j ： y1n T1
2
…
i … k
2 s1
y1
y21 … yi1 … yk1 y22 … yi2 … yk2 ： … ：… ： y2j … yij … ykj ：… ：… ： y2n … yin … ykn T2 … Ti … Tk T y T ij i y2 … yi … yij y k y 2 kn 2 2 s2 … si … sk
1 1 k n 2 nk 1
T y n
2 ij
2
i
(6.3)
17
（二） 自由度的分解 1、总变异的自由度：dfT=nk-1 2、处理间的自由度：dft=k-1 3、各处理的自由度
处理1（第1组）：df1=n-1
处理2 (第2 组) ：df2=n-1
： 处理 k (第k组）：dfk=n-1
32
方差用来表示样本的变异程度，在数学分 析上有许多优点，所以通常采用方差作为变异 的度量值，即 处理间方差 st2 F 2 处理内方差 se
chapter6方差分析PPT课件
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
.
24
某B水iosta产tisti研cs 究所为了比较四种不同配合饲料 对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼 20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一 个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
.
25
Biostatistics
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：
(xij xi.)分别eij是μ、（μi-.
14
Biostatistics
告诉我们：
（ 每个观或x测ij 值 都i)，包故含k处nx理i个j 效观xi.应测（值μ的i-总μ或变异可）x分i.，解与为x.误处. 差理
间的变异和处理内的变异两部分。
.
在单因素试验结果的方差分析中，无效假设
为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不 全相等，或H0 ：2 =0,H A2 : ≠0；
F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否
显著大于处理内(误差)均方。
如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，不 否定H0。
.
33
Biostatistics
次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，
即
k
SSt n (xi.x..)2
i1
.
18
式B中ios，tatisticsk n (为xij 各 xi处.)2 理内离均差平方和之和，
i1 j1
反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方
和或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi.)2
Biostatistics
第六章 方差分析 analysis of variance（ANOVA）
第六章 方差分析
班组
水平
观测值
因素
分析均值间是否有明显差异。
3、方差分析的基本假定
方差分析基本假定的一般性的表述为，设因
素 A 有个 k 水平，在每个具体水平下，总体分布
为 N j， 2 ，j 1， 2， ，k 。注意这里个总体
方差均相等，并且在每个水平下抽取一个样本，
所取得的个样本相互独立。
注：
最后，构造统计量： 不加证明的引入如下的结论： 1）SSA与SSE相互独立
2） SSE ~ 2 n k 2 3）原假设成立情况下 SSA ~ 2 k 1 2 因此构造统计量：
SSA 2 k 1 F = SSE 2 n k SSA H 0为真 k 1 ，则F ~ F k 1，n k SSE nk
实际计算中主要有如下计算流程 a）水平均值 水平均值是指根据具体水平下的观察值的均 值。有计算公式为 nj 1 xi xij ni j 1 b）总均值 总均值是指全部观察值的均值
x 1
ni
i 1
k
x
i 1 j 1
k
ni
ij
1
ni
i 1
k
x
i 1
k
i
ni
c）总离差平方和 反映了全部观察值离散程度的总规模。有
H1：1， 2， ， k 不全相等
2） 构造统计量及拒绝域 首先，分析三类离差平方和： a)总离差（总变差）平方和： 各样本观察值之间的差异称之为总差异，用总 离差平方和来表示。总离差平方和是每一观察值与 其总均值的离差的平方的总和。 b)组内离差（组内变差）平方和: 同一水平下观察值之间的差异，用组内离差平 方和来度量。 c)组间离差（组间变差）平方和： 不同水平观察值之间的差异，称之为组间离差， 用组间离差平方和来度量。
生物统计学 第六章 方差分析
【���������2���
=
���������2��� ������−1
=
(������������−������)���2��� ������−1
���������2��� 为效应方差，������������为处理效应】
方差分析
4.F检验
4.1 F值和F分布 F=������������������������������������=������2+���������2������������2���，自由度������������1 = k − 1, ������������2=������������������=kn-k 在������������1, ������������2确定条件下，F值对应的概率分布称为F 分布, 对应的密度函数为f(F)。������������1, ������������2决定F分布 的形状, 随着自由度的增加，曲线趋向对称。
������������. 各处理观测值之和。
方差分析
自由度的剖分
总自由度dfT=kn-1 处理间自由度dft=k-1 误差自由度 dfe=dfT-dft 均方
试验的总均方、处理间均方、处理内均方分别为：
MST=���������������2���
=
������������������ ������������������
第六章 方差分析
第一节 方差分析的基本原理和步骤
1.基本概念
试验指标 为衡量试验结果的好坏或处理效应 的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项 目。
试验因子 试验中所研究的影响试验指标的因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验 因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
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2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
二、对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用 t 检验法的缺点：
(1)检验过程烦琐。 (2)无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。 (3)推断的可靠性低，检验时犯α错误概率大。
三、试验指标（experimental index）：
为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA 含量等等。
2
1．固定模型与随机模型的比较
1. 两者在设计思想和统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与 df 的分解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数是不同的。
2. 模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一样，固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而 随机模型则侧重效应方差的估计和检验 3. 对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别 (三)混合模型(mixed model)：指多因素试验中既有固定因素又有随机因素时所用的模型． 在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少
平方和
处理间平均数n 的差异是由处理效应引起的：
(xi
x)
处2(理xi内的x变) 异是(x由随x机i )误差0引起： (x xi )
1
略
方差分析表
平方和
自由度
方差
处理间 处理内 总变异
SSt
1 n
Ti 2 C
dft k 1
SSe SST SSt
dfe k(n 1)
SST x2 C
（三）平方和与 df 的分解
方差是离均差平方和除以自由度的商
2
2 (x )2 ; s2 (x x)
N
n 1
方差分析的基本思想 引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。
要把一个试验的总变异依据变异来源分为相应的变异，首先要将总平方和和总 df 分解为各个变异来源的的
相应部分。
均方
F
处理间
Ti2 C
ni
k-1
st2
F
st2 se2
误差或处理内 SSe
∑ni-k
se2
总和
SST
∑ni-1
在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得
各 ni 的平均数 n0 ：
（各个处理的样本容量）
n0
2 ni
ni2
ni k1
s se2 (LSR检验)或s
1
1．方差分析的基本思想
处理效应
总变异
试验误差
2．方差分析的目的
确定各种原因在总变异中所占的重要程度。 处理效应 相差不大，应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。
3．方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
6
(1)平方和的分解：
C T2 abn
SST
2
( xijk x)
x2 C
SSA bn
2
(xi x)
Ti. 2 C bn
SSB an
2
(x j x)
T. j 2 C an
SSAB n
2
( xij xi. x. j x)
Tij2 n
C
SSA
SSB
六、试验处理（treatment）:
事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位 上的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。
七、试验单位（ experimental unit ）:
在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等 都可以作为实验单位。
四、试验因素（ experimental factor）：
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若 同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。
五、因素水平（level of factor）:
试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究 3 个品种奶牛产奶量的高低， 这 3 个品种就是奶牛品种这个试验因素的 3 个水平。
方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平上。 (二)随机模型(random model)：指各处理的效应值τi 不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。 这里τi 是一个随机变量，是从期望均值为 0，方差为σ2 的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结论 可以推广到多个随机因素的所有水平上。 在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相同的结果 方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上
是指在 k 组处理中，每一处理皆含有 n 个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方
差分析表的形式给出有关计算公式：
变异来源
平方和
自由度
均方
F
处理间
SSt
误差或处理内 SSe
总和
SST
k-1
st2
k(n-1)
se2
nk-1
F st2 se2
（2）组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
平方和
自由度
SS AB df AB
se 2
SSe dfe
（4）F检验
（a）固定模型
FA
s
2 A
se2
；FB
sB2 se2
；FAB
s
2 AB
se2
（b）随机模型
FAB
s
2 AB
se2
；FA
s
2 A
s
2 AB
；FB
sB2
s
2 AB
（c）混合模型（A固定B随机）
FA
s
2 A
s
2 AB
；FB
s
2 B
se2
；FAB
s
2 AB
SSe
2
(xijk xij ) SST SS A SSB SS AB
（2）自由度分解
dfT abn 1 df A a 1 dfB b 1 df AB (a 1)(b 1) dfe ab(n 1) （3）各项的方差分别为
sA2
SS A df A
sB 2
SSB df B
s AB 2
第六章 方差分析
一、方差分析(Analysis of variance，ANOVA):
又叫变量分析，是英国著名统计学家 R . A . Fisher 于 20 世纪提出的。它是用以检验两个或多个均数间 差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。 方差分析的基本功能:对多组样本平均数差异的显著性进行检验
（二）具有重复观测值的二因素方差分析 具有重复观测值的二因素试验的典型设计是：假定 A 因素有 a 水平，B 因素有 b 水平，则每 一次重复都包括 ab 次实验，设试验重复 n 次，资料模式在 p98 因试验共有 n 次重复，试验的总次数为 abn 次。方差分析步骤和前面介绍的相类似，唯一不 同的是 F 检验的方法。 154
7
实际分析时，可将三因素试验数据列成三个两向表（A、B 因素组合，B、C 因素组合，A、C 因素组合），把三因素方差分析化为二因素方差分析。因此可以计算出 SSA、SSB、SSC、SSAB、 SSBC、SSAC，其中 SSA、SSB、SSC 不需要重复计算。
（二）数学模型
假定有 k 组观测数据，每组有 n 个观测值，则共有 nk 个观测值