泰勒公式及其应用论文)

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泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述，可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便。

关键词：泰勒公式;误差分析；近似计算；数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数，进行函数值的计算；而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用。

§2泰勒（Taylor)公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1）其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ (2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式，()n R x 的表达式(2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3）公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式（1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =，则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5）§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

泰勒公式的应用范文

泰勒公式的应用范文泰勒公式是一种在微积分中用来近似计算函数值的方法。

它将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以通过计算级数中的有限项来近似计算函数的值。

泰勒公式广泛应用于数学、物理学、工程学和计算机科学等领域，并对数值计算和数学建模等重要任务具有重要意义。

以下将介绍泰勒公式在这些领域的一些应用。

一、在数学领域的应用：1.函数近似：泰勒公式可用于近似计算一个函数在其中一点的函数值，特别是在点附近的小区间内。

这对于无法直接计算的复杂函数或含有未知变量的函数是非常有用的。

2.导数和高阶导数的计算：泰勒公式可以通过计算级数中的有限项来近似计算一个函数在其中一点的导数。

这对于无法直接计算导数或高阶导数的函数是非常有用的。

3.极限计算：泰勒公式提供了一种计算函数在一个点的极限的方法，特别是对于无法直接计算的函数或复杂函数而言。

二、在物理学领域的应用：1.运动学和动力学：泰勒公式可用于近似计算运动学和动力学中各种物理量的变化率，如速度、加速度和力。

2.波动学：泰勒公式可以近似计算波函数随时间和位置的变化，从而帮助解决波动学相关的问题，如声波、光波和电磁波等。

3.热力学：泰勒公式可用于计算物体在热力学过程中的温度、能量和熵等的变化。

三、在工程学领域的应用：1.信号处理：泰勒公式可以用于近似表示信号在时间域和频域中的变化，从而帮助处理和分析各种类型的信号。

2.控制理论：泰勒公式可用于近似表示控制系统中各种变量的变化，从而帮助设计和优化控制器，以实现稳定和可靠的系统性能。

3.电路分析：泰勒公式可用于近似计算电路中各种元件的电压、电流和功率等的变化，特别是在非线性电路和非稳态电路的分析中。

四、在计算机科学领域的应用：1.数值计算：泰勒公式可用于近似计算各种数学函数的值，从而帮助实现高效和准确的数值计算方法，如数值积分、数值微分和数值优化等。

2.图像处理：泰勒公式可以用于近似表示图像中各个像素值的变化，从而帮助实现图像增强、图像压缩和图像恢复等处理算法。

泰勒公式的应用论文

泰勒公式的应用论文泰勒公式是一个非常重要的数学工具，在物理、工程和其他科学领域都有广泛的应用。

本文将介绍一篇关于泰勒公式应用的论文，通过该论文的介绍，读者可以了解泰勒公式的具体应用以及其在该领域的重要性。

题目：《利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法研究》摘要：本文研究了一种利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法。

通过将非线性方程展开成泰勒级数的形式，可以近似地求解非线性方程，并得到更加精确的解。

本文通过对该数值方法进行理论推导和实验证明，证明了该方法的有效性和准确性。

引言：非线性方程是很多科学问题中常见的数学模型，然而求解非线性方程通常比线性方程复杂得多。

泰勒公式是一种在求解非线性方程时常用的近似方法。

通过将非线性方程进行泰勒级数展开，可以将非线性方程转化为线性方程或更简单的形式，从而得到近似的解。

方法：本文首先对泰勒公式进行了简要的介绍和推导。

然后，根据泰勒公式的展开形式，将非线性方程的各阶导数代入泰勒级数中，得到更简单的形式。

接下来，研究了如何选取适当的展开点和截断误差来提高近似解的精确性。

最后，利用MATLAB编写了求解非线性方程的数值算法，并通过多个实例进行了验证。

结果与讨论：通过对多个不同类型的非线性方程进行求解，得到了较好的结果。

与传统的数值方法相比，利用泰勒公式进行求解的方法具有更高的精确性和更快的收敛速度。

此外，通过调整展开点和增加泰勒级数的项数，还可以进一步提高解的精确度。

结论：本文研究了一种利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法，并通过理论推导和实验证明了该方法的有效性和准确性。

该方法可以准确地求解非线性方程，并且具有更高的精确性和更快的收敛速度。

因此，该方法在实际应用中具有很大的潜力，可以应用于物理、工程和其他科学领域中。

展望：虽然本文对利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法进行了研究和验证，但仍然有一些问题需要进一步探讨。

例如，如何选择展开点和确定截断误差的更准确方法，以及将该方法应用于更复杂的非线性方程等。

Taylor公式的发展及其应用论文文档

Taylor 公式的发展及其应用摘要：数学中Taylor 公式是分析和探究相关数学问题的有力工具。

本文将简要介绍Taylor 公式的概念，发展，基本内容式及其简单的应用。

关键词：Taylor 公式发展余项应用一、基本概念在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f(x)在0x 可导，则有)())((')()(0000x x o x x x f x f x f -+-+=即在点0x 附近，用一次多项式))((')()(000x x x f x f x f -+=逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量。

然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x o )(0-，其中n 为多项式的次数。

为此，我们考察任一n 次多项式n n n x x a x x a x x a a x p )(.......)()()(02020100-++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到00)(a x p n =,10)('a x p n =,20!2)(''a x p n =,……()n n n a n x p !)(0=由此可见，多项式)(0x p n 的各项系数都由其在0x 的各阶到数值唯一确定。

对于一般函数f(x)，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，有这些导数构造一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f T )(!)(........)(!2)('')(!1)(')(00)(200000-++-+-+=称为函数f （x ）在点0x 处的Taylor 多项式,)(n x T 的各项系数!)(0)(k x fk （k=1,2……n ）称为Taylor 系数。

关于泰勒公式的论文

关于泰勒公式的论文
泰勒公式是一个强大的数学工具，可以用来计算函数在其中一点的极
限或求解微分方程。

它最初由英国数学家约翰·泰勒于1715年发明，已
经被广泛使用了近300年。

从统计学、物理学和控制工程到经济学、医学
研究，泰勒公式都可以起到巨大的作用。

由于泰勒公式的重要性，关于它的研究也越来越多。

从1825年以来，论文和文章就一直在研究该公式和它的应用，以便更好地理解它背后的原理。

今天，有关泰勒公式的文献有数不清，可以用来帮助研究者们更好地
理解该公式。

首先，1825年，英国数学家兼物理学家莱斯利·卡罗尔发表了他的
论文“泰勒公式:一种新的数学理论”，该论文发表在英国物理学家詹姆斯·牛顿的《英国科学院学报》上。

这是关于泰勒公式的最早研究，主要
介绍了泰勒公式的原理，以及如何使用这一理论来解决复杂的数学问题。

随后，1945年，美国数学家蒂姆·麦克法兰发表了他的论文“基于
泰勒公式的信号分析技术”，该论文发表在《应用数学评论》上。

麦克法
兰的论文主要讨论了使用泰勒公式来进行信号分析的新技术，从而为计算
信号波形提供了一种新的方法。

此外，2024年，美国数学家胡安·德鲁伊斯·戈麦斯发表了他的论
文“泰勒公式在理论物理学中的应用”。

泰勒公式的作用范文

泰勒公式的作用范文泰勒公式是一种用于求解函数在一些点的近似值的方法。

它的作用范围非常广泛，可以应用在数学、物理、工程等许多领域中。

下面将详细介绍泰勒公式的作用范围。

首先，泰勒公式在数学中起到了非常重要的作用。

数学中的许多函数无法精确地表示成有限次幂级数表达式，而泰勒公式可以将这些函数近似为无穷级数。

通过泰勒公式，我们可以用有限次幂级数来近似表示复杂函数，这对于研究函数的性质和求解方程都非常有帮助。

例如，在微积分中，我们可以利用泰勒公式来求解复杂函数的导数，从而简化计算过程。

其次，泰勒公式在物理中也有广泛的应用。

物理学中的很多现象可以通过数学函数进行描述，而泰勒公式可以帮助我们近似求解这些函数。

例如，在运动学中，我们可以利用泰勒公式来确定时刻速度和位移的近似值。

在力学中，我们可以应用泰勒公式来计算物体在受力下的运动轨迹。

这些应用使得泰勒公式成为解决物理问题的有力工具。

此外，泰勒公式在工程领域也得到了广泛应用。

在工程设计中，我们常常需要对复杂的函数进行近似计算。

泰勒公式可以帮助工程师们通过有限次幂级数来逼近原函数，从而简化计算过程。

例如，在电路设计中，我们可以通过泰勒公式来近似求解电流和电压的关系。

在机械工程中，我们可以利用泰勒公式来计算物体在力的作用下的变形。

这些应用使得泰勒公式成为工程实践中的重要工具。

此外，在金融领域，泰勒公式也有着广泛的应用。

金融学中的许多模型可以通过数学函数进行描述，而泰勒公式可以帮助金融学家们近似求解这些函数。

例如，在期权定价模型中，我们可以利用泰勒公式来近似计算期权价格。

在风险管理中，我们可以应用泰勒公式来估计资产的价值变动。

这些应用使得泰勒公式成为金融学研究和实践中的重要工具。

总之，泰勒公式在数学、物理、工程和金融等领域都有着广泛的应用。

它可以帮助我们近似求解复杂函数，从而简化计算过程和问题求解。

无论是在理论研究还是在实践应用中，泰勒公式都起到了重要的作用。

对于研究者和工程师们来说，了解和掌握泰勒公式的方法和技巧是非常重要的。

泰勒公式及其应用论文)

泰勒公式及其应用摘要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-，是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证：由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间）由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-，所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以<所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>=-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用许雁琴【摘要】泰勒公式是高等数学的重要内容，借助它可以解决很多问题。

本文针对泰勒公式的应用讨论了9个问题，即应用泰勒公式定义某些非初等函数，近似计算和误差估计，对某些定积分进行近似计算，求某些复合函数的极限，求高阶导数在某些点的数值，研究函数的极值，证明不等式，利用泰勒公式判断级数的敛散性，求行列式的值。

%Talyor Formula is of great importance in advanced mathematics ,and very helpful to the solutions of many other mathematical problems .This article will discuss some applications of Talyor Formula ,i .e .defining some elementary functions ,approximate calculation and error estimation ,ap‐proximately calculating of some definite integrals ,get ting the limits of some composite functions ,get‐ting the numerical value of some points in higher derivatives ,studying the extremums of functions ,pro‐ving the inequalities ,testing of convergence and divergence of series ,and getting the values of deter mi‐nants .【期刊名称】《河南机电高等专科学校学报》【年(卷),期】2015(023)006【总页数】5页(P11-15)【关键词】泰勒公式;非初等函数;近似计算;极限;导数;积分;不等式;敛散性【作者】许雁琴【作者单位】河南机电高等专科学校，河南新乡 453000【正文语种】中文【中图分类】O174泰勒公式是高等数学中的一个重要内容,但一般教材中仅介绍了泰勒公式和求函数的泰勒展开式,而对泰勒公式在数学问题中的作用并未说明,在教学中学生常因学用脱离而难以理解。

《泰勒公式的应用综述2800字》

泰勒公式的应用综述首先, 给出常见的泰勒公式.设函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数,x0∈(a,b),则对任意x∈(a,b), 有:f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+R n(x).其中Rn(x)为余项, 常见的余项有:(1)佩亚诺型余项: R n(x)=o((x−x0)n);(2)拉格朗日型余项: R n(x)=f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1;(3)柯西型余项: R n(x)=f(n+1)(ϑ)n!(x−x0)(x−ϑ)n, 其中ϑ在x与x0之间.根据实际的学习情况, 我们知道遇到的大多数有关泰勒公式的问题是, 泰勒公式在x0=0时的特殊形式( 见文献[15]), 即:f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+∙∙∙+f(n)(0)n!x n+o(x n) (1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1(2)(1)式及(2) 式就是分别带佩亚诺型及拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 类似的常见函数的余项不同的麦克劳林公式有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m);cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+o(x2m+1);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nno(x n);(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+o(x n);111−x=1+x+x2+∙∙∙+x n+o(x n).e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1;cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nn+(−1)n x n+1(n+1)(1+θx)n+1,0<θ<1,x>1;(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+α(α−1)∙∙∙(α−n)(n+1)!(1+θx)α−n−1x n+1,0<θ<1,x>1;1 1−x =1+x+x2+∙∙∙+x n+x n+1(1−θx)n+2,0<θ<1,|x|<1.1.1泰勒公式在数学分析中的应用1.1.1泰勒公式在求极限上的应用求极限limx→0cos x−e−x22x4讨论:观察发现针对于此题, 我们当然可以采用之前学习过的方法进行解答，但是我们发现由于题中出现指数幂的形式, 求解过程较繁琐, 在上面泰勒公式的证明中, 我们知道带有佩亚诺型余项的泰勒公式可以在极限求解中使用, 因此我们不妨一试(见文献[14]).根据前面我们可以写出余弦函数和底数为e的幂指数麦克劳林公式, 并做差有:cos x=1−x22+x224+o(x5);e−x 22=1−x22+x48+o(x5);cos x−e−x 22=−x412+o(x5);故而求得:lim x→0cos x−e−x22x4=limx→0−x412+o(x5)x4=−112.1.1.2泰勒公式在近似计算上的应用2例1: 计算e的值, 使其误差不超过10−6;解一开始我们不妨写出函数f(x)=e x的麦克劳林公式形式, 这个可以由泰勒公式写出, 即: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n), 紧接着对于把麦克劳林公式, 我们可以直接换写为, 带有拉格朗日型余项的形式. 故由f(n+1)=e x, 得到e x=1+x+x2 2!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 故R n(1)=eθ(n+1)!<3(n+1)!, 又n取值为9时, 可得R9(1)<310!=33628800<e−6. 则e的近似值为:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+19!≈2.718285.例2:证明e 为无理数.证明常见函数f(x)=e x它的麦克劳林公式, 就是: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n).写成拉格朗日型余项的时候就有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 当x=1时有:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+1n!+eθ(n+1)!(0<θ<1).即由上式得: n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=e θ(n+1). 倘若e=pq(p,q为正整数), 则当n>q时, n!e为正整数, 从而式子n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=eθ(n+1)左边是正整数. 且我们可知:一方面e θ(n+1)<e(n+1)<1(n+1), 另一方面n大于等于2时右边不是整数, 故而e是无理数.1.2泰勒公式在数值分析中的应用(见文献[4])1.2.1泰勒公式在数值微分上的应用设步长ℎ>0, 把函数f(x+ℎ), 以及函数f(x+ℎ)在x点泰勒展开, 即:f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ ∙∙∙+ℎkk!f(k)(x)+ℎk+1(k+1)!f(k+1)(ϑ1)3(1)f(x−ℎ)=f(x)−ℎf′(x)+ ∙∙∙+(−ℎ)kk!f(k)(x)+(−ℎ)k+1(k+1)!f(k+1)(ϑ2)(2)其中x−ℎ<ϑ2<x<ϑ1<x+ℎ.当k=1时, 由(1) 式可得:f′(x)=f(x+ℎ)−f(x)ℎ−ℎ2f′′(ϑ1),所以,一阶导数的向前差分公式近似为: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x)ℎ, 同时−ℎ2f′′(ϑ1)是产生的误差. 即k取值为2时,(1) 式和(2) 式作差可得f′(x)=f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ−ℎ26f′′′(ϑ3).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ是一阶中心差分公式, 其中−ℎ26f′′′(ϑ3)是误差. 又k取值为3时,(1) 式和(2) 作和可得:f′′(x)=f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ−ℎ212f′′′′(ϑ4).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′′(x)≈f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ是二阶中心差分公式, 其中−ℎ212f′′′′(ϑ4)是误差.除了上述之外, 我们进行近似求导时, 不妨使用积分来实现, 即有:Dℎf(x)=32ℎ3∫f(x−t)dt ℎ−ℎ.对函数f(x+t),t∈[−ℎ,ℎ]. 在x点进行泰勒展开可得:f(x+t)=f(x)+tf′(x)+t22f′′(x)+t36f′′′(ϑ5),并由上式可知: x−ℎ<ϑ5<x+ℎ, 且把(4) 式代入(3) 式有:Dℎf(x)=f′(x)+ℎ210f′′′((ϑ5),即:f′(x)≈32ℎ3∫tf(x+t)dt ℎ−ℎ,且其误差为−ℎ210f′′′((ϑ5).1.2.2泰勒公式在常微分方程数值解上的应用(见文献(4))4考虑一阶常微分方程初值问题:{p′=f(x,p),x∈[a,b],p(a)=p0,的数值解.解首先我们要知道, 数值解就是将一般函数p(x), 在离散的节点上的近似值p n≈p(x n)求解出来.其次考虑在[s,t]上, 建立等距的且离散的节点: s=x0< x1< ∙∙∙ <x N=t, 步长为r,即x n=x0+nr,n=0,1,∙∙∙,N.将p(x)在x n点泰勒展开, 可得(8) 式:p(x n+1)=p(x n)+ℎp′(x n)+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)=p(x n)+ℎf(x n,p(x n))+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)即得求解上述问题的欧拉法:p n+1=p n+ℎf(x n,p n),n=0,1,∙∙∙,N−1.假设p n是正确的, 即p n=p(x n), 则(8) 式减(9) 式, 可得局部截断误差(10) 式:p(x n+1)−p n+1=ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)对泰勒公式截断误差, 我们还可以在局部进行分析. 下面, 以辛普森(Simpson) 方法:p n+1=p nℎ3[f(x n,p n)+4f(x n+1,p n+1)+f(x n+2,p n+2)](11)为例, 且当它的近似值是准确值时展开分析, 即:p n+2=p(x n)+ℎ3[p′(x n)+4p′(x n+1)+p′(x n+2)](12)分别将p(x)和p′(x)在x n点泰勒展开, 可得:p(x)=p(x n)+(x−x n)p′(x)+∙∙∙+(x−x n)kk!p(k)(x)+o[(x−x n)k+1]5(13)p′(x)=p′(x n)+(x−x n)p′′(x)+∙∙∙+(x−x n)k−1p(k)(x)+o[(x−x n)k](k−1)!(14)又k取值为5时, 在(13) 式中取x=x n+2, 在(14) 式中分别取x=x n+1和x=x n+2, 代入(12) 式得, 辛普森(Simpson) 公式的局部截断误差:p(x n+2)−p n+2=ℎ5p(5)(x n)+o(ℎ6).906参考文献[1]徐会林, 刘智广, 肖中永. 从多项式逼近函数引出泰勒公式[J]. 高师理科学刊, 2018, 38(02): 57-60.[2]张笛. 罗尔中值定理及其应用[J]. 数学学习与研究, 2014(01): 122-123.[3]李晟威. 泰勒公式的证明及应用[J]. 课程教育研究, 2018(42): 129-130.[4]徐会林. 泰勒公式在数值分析中的应用[J]. 韶关学院学报, 2019, 40(12): 5-8.[5]阙凤珍, 温少挺. 柯西中值定理的应用[J]. 数学学习与研究, 2016(21): 19+21.[6]王建云, 全宏波, 赵育林. 浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J]. 数学学习与研究, 2021(07): 150-151.[7]陈天戈. 泰勒的著作与成就[J]. 语数外学习(高中版下旬), 2021(04): 63-64.[8]胡有婧. 向量函数的泰勒公式的不同形式及其证明[J]. 数学学习与研究,2021(29): 140-141.[9]韩树新, 何军, 王钥, 王炜卿. 浅谈拉格朗日对数学的贡献[J]. 教育教学论坛,2020(32): 322-323.[10]何锐, 春光. 数学“ 诗人” ——柯西[J]. 课堂内外(小学智慧数学), 2021(12):24-27.[11]Ian Tweddle. The prickly genius – Colin MacLaurin (1698–1746)[J]. TheMathematical Gazette,1998,82(495).[12]迟炳荣, 王秀红. 用数学归纳法证明泰勒公式[J]. 中学数学杂志, 2008(09):13-14.[13]姚海燕. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J]. 教育教学论坛, 2014(20):120.[14]胡汉章. 泰勒公式在数学分析解题中的应用探讨[J]. 教育教学论坛, 2020(52):281-282.7[15]何小芳. 浅谈泰勒(Taylor) 公式的应用[J]. 企业家天地(理论版), 2011(07):192-194.8。

泰勒公式的几种证明法及其应用-毕业论文

泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤-毕业论⽂泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤ -毕业论⽂【标题】泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤【作者】张廷兵【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应⽤【指导⽼师】陈波涛【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1引⾔泰勒公式在分析和研究数学问题⽅⾯有着重要的应⽤。

但是它的证明⼤多数是重复运⽤柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有⼀定的困难。

为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供⽅便。

本⽂研究不同的证明⽅法，给学习者提供了选择的余地。

归根结底，使学习者更好运⽤泰勒公式，为此就对泰勒公式的应⽤及技巧的总结。

2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明⽅法在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很⽅便。

如果将⼀类复杂的函数⽤多项式来近似表⽰出来，其误差⼜能满⾜⼀定的要求。

那么，我们就可以表⽰出此函数。

若函数是n次多项式令 .于是对任意⼀个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出⼀个相应的多项式称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a的邻域上有什么联系呢,下⾯的定理回答了这个问题(定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.2.1⽅法⼀证明:将上式改为，有分⼦是函数 ,分母是函数 .应⽤n-1次柯西中值定理[2]其中其中其中 (⾄此已应⽤了n-1次柯西定理)当根据右导数定义,有同法可证:于是 , 表⽰余项是佩亚诺型. 证毕.2.2⽅法⼆证明在的⼀个邻域内有⼀阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与⽆穷⼩量的关系有:( 是⽆穷⼩量),⼜则 (2—1) 从(2—1)式推出:⽐较⽆穷⼩量与== (因为⼆阶可导) ⼜由极限与⽆穷⼩量的关系有:将上边代⼊(2—1)式:设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:+ (2—2)从(2—2)中推出⽐较与 :=则: 即将上述代⼊(2—2)得:即当时, 仍可表⽰的阶多项式与之和，故对⼀切⾃然数n均有:2.3⽅法三证:设 [3]现在只要证显然可知,并易知因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使⽤洛⽐达法则n-1次,得到=0证毕 .3带拉格朗⽇型余项的泰勒公式的证明⽅法定理1只是给出余项的定性描述,还不能进⾏定量的估计,下⾯定理解决了定性的估计.定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得3.1⽅法四在《⾼等数学》中，泰勒公式⼀般都是⽤柯西定理证明的，然⽽拉格朗⽇定理作为泰勒公式的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。

(整理)毕业论文泰勒展开式及其应用伟

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-，是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证：由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间）由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-，所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2．讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解：因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式：2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。

泰勒公式和运用范文

泰勒公式和运用范文泰勒公式（Taylor series）是数学中一个非常重要的工具，它被用于在给定函数的其中一点附近近似展开这个函数。

泰勒公式的运用广泛，既用于数学推导，还用于物理、工程等领域中的问题求解。

本文将介绍泰勒公式的原理，并给出一些常见的应用例子。

一、泰勒公式的原理泰勒公式可以用来近似表示一些函数在其中一点附近的值。

公式的具体形式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)代表原函数在点x处的值，f(a)代表原函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别代表原函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数的值。

x-a表示x相对于点a的偏移量。

泰勒公式可以通过不断添加高阶导数项来提高近似的精度。

当阶数无限逼近时，就得到了原函数的精确表达。

大多数情况下，我们只需要保留前几项就能够得到足够精确的近似结果。

二、泰勒公式的应用举例1.正弦函数的泰勒展开正弦函数是一个周期为2π的函数，我们可以将其在其中一点进行泰勒展开。

假设我们要在点a附近展开正弦函数，那么泰勒公式的表达式为：sin(x) = sin(a) + cos(a)(x-a) - sin(a)(x-a)²/2! - cos(a)(x-a)³/3! + ...当a=0时，泰勒展开简化为：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...这个公式可以用来计算比较小角度范围内的正弦值，由于幂函数和阶乘函数的增长速度很快，展开后的结果准确度相对较高。

2.自然指数函数的泰勒展开自然指数函数e^x是一个在整个实数域上定义的函数，我们可以将其在点0附近进行泰勒展开。

泰勒公式的表达式为：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...这个公式可以用来计算自然指数函数的近似值，只需要保留前几项即可得到足够精确的结果。

论文---泰勒公式的应用

泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是我们大学数学分析中一个很重要的公式，也是必资必学的一个公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这使得我们在解题的时候更加方便快捷，它不仅在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足很高的精确要求。

如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在 1712 年的一封信里首次叙述了这个公式。

泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

除此之外，泰勒公式在应用于求极限，判断级数的敛散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用，拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作用。

关键词：泰勒公式；近似计算；函数；敛散性；极限一、引言1715 年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒 f （x ）=f （x ）+f ′(x )(x − x ) + f ′′(x 0) (x − x )2 + ⋯ + f (n )(x 0)(x − x )n 当 x = 0 时2!n !O便称作麦克劳林公式。

1772 年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。

在初等函数中，多项式是最简单的函数。

因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。

如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。

那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢? 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函 . 数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是非常有用的工具。

泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)

摘要 (2)1 引言 (4)2 泰勒公式 (5)2.1 n次泰勒多项式 (5)2.2 泰勒公式 (6)2.3 泰勒公式的种类 (6)2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)2.33 特殊的泰勒公式 (7)3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)3.2 一些实例分析 (9)4 结论 (17)参考文献 (18)在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation1 引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的.2.1 n 错误!未找到引用源。

泰勒公式及其应用论文.doc

泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数)(x f 在0x 处存在n 阶导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n +-++-''+-'+ , (1)])[()(0n n x x x R -=ο,)(0x x →,即)(x R n 是比n x x )(0-的高阶无穷小. (1)式称为)(x f 在0x 处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项])[()(0nn x x x R -=ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项])[(0n x x -ο只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项)(x R n 的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)()()(00)(2000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+= , (2) 1)1()()!1()()(0++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项,其中ξ在x 与0x 之间,称(2)式为)(x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式.当00=x 时, (2)式变成)(!)0(!2)0()0(')0()()(2x R x n f x f f f x f n nn ++++= ,1)!1()()()1(++=+n n x n f x R n ξ,其中ξ在0与x 之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (3))()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ,其中ξ在x 与0x 之间,称(3)式为)(x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时, (3)式变成)(!)0(!2)0()0()0()()0(2x R x n f x f x f f x f n n+++''+'+= ,1)1()1(!)()(++-=n n n n x n x f x R θθ,其中10<<θ,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (4)⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(,称(4)式为)(x f 在0x 带积分余项的泰勒公式.3.常见函数的展开式12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nx o n x x x x x ；24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+；)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x ； )(1112n n x o x x x x+++++=- ；+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算e 的值,使其误差不超过610-.解 x e x f =)(,由x n e x f=+)()1(,得到12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ,10,<<θ)(∞+-∞∈，x .有: )!1(!1!2111++++++=n e n e θ,故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有691036288003!103)1(-<=<R , 从而略去)1(9R 而求得的近似值为.718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e例2 2128x x ≈+-,[0,1]x ∈的绝对误差.解设()f x =则因为1)0(=f ,21)1(21)('-+=x x f , 21)0('=f ,23)1(41)(''-+-=x x f , 41)0(''-=f ,.)1(83)('''25-+=x x f所以x x f +=1)(带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：2532)1(168211-++-+=+x x x x x θ,)10(<<θ.从而：161)1(16)(2532≤+=-x x x R θ ,]1,0[∈x . 2.利用泰勒公式求极限正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的00、∞∞型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求30)1(sin lim x x x x e x x --→的极限. 解因为分母为3x ,故分子的泰勒展开式中取3=n .)(!3!21332x o x x x e x++++= , )(!3sin 43x o x x x +-=.30)1(sin lim x x x x e xx --→3433320)1()](!3)][(!3!21[lim x x x x o x x x o x x x x --+-++++=→324320)(!3lim x x x x o x x x x --+++=→3430)(!3limx x o xx +=→ 31=. 例4 设函数)(x ϕ在],0[+∞上二次连续可微,如果)(lim x x ϕ+∞→存在,且)(''x ϕ在],0[+∞上有界.求证：0)('lim =+∞→x x ϕ.证明要证明0)('lim =+∞→x x ϕ,即要证明:0>∀ε,0>∆∃ ,当∆>x 时, εϕ<)('x .利用泰勒公式,2)(''21)(')()(,0h h x x h x h ξϕϕϕϕ++=+>∀, 即 2)(''21)]()([1)('h x h x h x ξϕϕϕϕ--+=, (5)记)(lim x A x ϕ+∞→=,因''ϕ有界,所以0>∃M ,使得)()(''a x M x ≥∀≤，ϕ,故由(5)知221))()((1)('Mh x A A h x h x +-+-+≤ϕϕϕ, (6) 对0>∀ε,首先可取0>h ,充分小,使得2212ε<Mh ,然后将h 固定. 因A x x =+∞→)(lim ϕ,所以0>∆∃,当∆>x 时2))()((1εϕϕ<-+-+x A A h x h , 从而由(6)式即得.22)('εεεϕ=+<x3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)('0=x f ,0)(''0≠x f .证明(i)若0)(''0<x f ,则f 在0x 取得极大值； (ii) 若0)(''0>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明由条件,可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)('')(!1)(')()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)('0=x f ,因此2000))](1(2)(''[)()(x x o x f x f x f -+=-. (7) 又因0)(''0≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(''210x f 与)1()(''210o x f +同号. 所以,当0)(''0<x f 时, (7)式取负值,从而对任意)';(0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(''0>x f ,可得f 在0x 取得极小值.例6 判定)4,0(是否是x e e x f x x cos 2)(++=-的拐点？解 x e e x f x x sin 2)('--=-,0)0('=f ；''()2cos x x f x e e x -=+-,0)0(''=f ； '''()2sin x x f x e e x -=-+,0)0('''=f ； (4)()2cos x x fx e e x -=+-,(4)(0)40f =≠.因为4n =,所以)4,0(不是)(x f 的拐点.注：用泰勒公式可证明：若)(x f 在某个),(0δx u 内n 阶可导,且满足0)()('')('0)1(00=+==-x f x f x f n ,且，0)(0)(≠x f n )2(>n ,若：（1）n 为奇数,则))(,(00x f x 为拐点；（2）n 为偶数,则))(,(00x f x 不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数)1111(22nn n a n n n ---=∑∑∞-∞-的敛散性. 解由比较判别法可知：若11lim =∞→pnn n a ,+∞<<p 0,则正项级数∑∞-2n na和正项级数∑∞-21n pn同是收敛和发散.为了选取∑∞-21n pn中的p 的值,可以用泰勒公式研究通项0→n a ,)(∞→n 的阶.n n n a n 1111---=nnn n 1)1(11--⋅=n n n o n n n 11))1(()1(11[122--+++=n n n o n n n 11)1(1112/32/3--+++=)1(12/32/3n o n +=.因为当23=p 时11lim 23=∞→n a nn , 所以正项级数∑∞-21n pn收敛.故∑∞-2n na收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.)(x f 为正值函数,要判定dx x f a)(⎰+∞的收敛性.若能找到恰当的p xx g 1)(=,0>p 使l x g x f x =+∞→)()(lim ,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分dx x f a)(⎰+∞的收敛性.这里的问题也是如何选取0>p ,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究)(x f 的阶,就可以解决这类问题.例8 研究广义积分dx xx xx ⎰-1sin sin 的敛散性.解因为sin sin x xx x =∞-,所以0=x 是瑕点.由比较判别法可以知道,)(l dx x f x q =+∞<<l 0,则1q <时,()1f x dx ⎰收敛；当1q ≥时,()1f x dx ⎰发散. 因为 )(!3)](!3[sin sin 4343x o x x x x o x x x x x x x +--+-=- )](1[6)](611[32x o xx o x ++-=.所以 0sin lim 6sin x x xx x x+→⋅=-.因为1q =,所以广义积分dx xx xx ⎰-10sin sin 发散. 6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果)(x f 泰勒公式已知,其通项中的加项)()(n a x -的系数是)(!10)(x f n n ,从而可求高阶导数数值)(0)(x f n ,而不必依次求导.例9 写出22()x f x e-=的麦克劳林公式,并求)0()98(f与)0()99(f .解因)(!2122n nxx o n x x x e +++++= ， (8)用)2(2x -替换(8)中的x ,得)(!2)1(!22212224222n n nn x x o n x x x e+⋅-++⋅+-=- , 由泰勒公式系数的定义,在上述)(x f 的麦克劳林公式中,98x 与99x 的系数分别为!4921)1()0(!9814949)98(⋅⋅-=f ,0)0(!991)99(=f . 由此得到!492!98)1()0(4949)98(⋅⋅-=f ,0)0()99(=f . 例10 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解设1+=u x ,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++, 因此)!1001!992!981(!100)0(100++=e g ,10101)0(100⋅=e g , e g f 10101)0()1(100100==.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当0≥x 时,证明361sin x x x -≥.证明取361sin )(x x x x f +-=,00=x ,则 0)0(=f ,0)0('=f ,0)0(''=f ,x x f cos 1)(''-=,0)0(''≥f .带入泰勒公式,其中3=n ,得3!3cos 1000)(x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故当0≥x 时,361sin x x x -≥. 例12 设)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,且0)(''≥x f ,则nn n nnn p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤++++2122121221)()()()(11，其中n p p p ,,21 均为正数；),(,,21b a x x x n ∈ .证明记nnn p p p x p x p x p x ++++=2122101,则),(0b a x ∈.由于)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.20000)(!2)(''))((')()(x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,ξ在x 与0x 之间. 因为 0)(''≥x f ,),(b a x ∈,所以 0)(''≥ξf ，))((')()(000x x x f x f x f -+≥.分别取n x x x x ,,21 =,则有))((')()(0001x x x f x f x f -+≥； ))((')()(0002x x x f x f x f -+≥；).)((')()(000x x x f x f x f n -+≥以上各式分别乘以12,,,n p p p ,得))((')()(000111x x x f x f p x f p -+≥； ))((')()(000222x x x f x f p x f p -+≥；))((')()(000x x x f x f p x f p n n n -+≥.将上面n 个不等式相加得].)()[(')()()()()()(02122110002012211x p p p x p x p x p x f x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n n n n ++-+++++++≥+++因为nnn p p p x p x p x p x +++++=2122110,所以)()()()()()(002012211x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n +++≥+++ .即nn n p p p x f p x f p x f p x f +++++≤2122110)()()()(，从而nn n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤+++++212211212211)()()()(.即证.注：利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数)(x f ,选一个展开点0x ,然后写出)(x f 在0x 处带有拉格朗日余项的泰勒公式； (2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对),(b a ∈ξ进行放缩. 设函数)(x f 在点0x 附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论：（a ）若0)(''≥x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≥；（b ）若0)(''≤x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≤.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导,且0)(>a f ,0)('<a f ,对),(+∞∈a x ,0)('<x f ,证明：0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根.分析：这里)(x f 是抽象函数,直接讨论)(x f =0的根有困难,由题设)(x f 在[,)a +∞上二阶可导且()0,'()0f a f a ><,可考虑将)(x f 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明因为0)('≤x f ,所以)('x f 单调减少,又0)('<a f ,因此a x >时,0)(')('<<a f x f ,故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有)()(2)('))((')()(2x a a x f a x a f a f x f <<-+-+=ξξ.由题设0)('<a f ,0)('≤ξf ,于是有-∞=+∞→)(lim x f x ,从而必存在a b >,使得0)(<b f ,又因为0)(>a f ,在],[b a 上应用连续函数的介值定理,存在),(0b a x ∈,使0)(0=x f ,由)(x f 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在),(+∞a 内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作)(x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求n 阶行列式D =xz z z y xzzyy x zyy y x. (9)解记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)('')(!1)(')()()(2--+-+-+= , (10)易知1)(0000000000--=-----=k ky z z y z y yz y y z y y z y y z D(11)由(11)得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有)()('1x nf x f n n -=,)()1()('2x f n x f n n --=,… ,)(2)('12x f x f =,1)('=x f n (因为x x f =)(1).于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21)()(|)(')('--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 31)()1()('|)('')(''--=--===n n z x n y z z n n z nf z fn z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--,12)1()()(⋅-= n n z f n n .把以上各导数代入(10)式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算⎰<<∈-++b a n n b a N n dx x b x)0(),(,)(12.解设xx f 1)(=，则21)1()!1()1()(++++-=n n n x n x f ， dx x b x n dx xx b nn b a n ba n n )()1()!1()1()()1(12-+-=-+++⎰⎰ ])()1()(1)(111[!)!1()1(112321n n n n a b a a b a a b a a b n n --++---+-⋅+-=++ ba bn n n 11)1(1)1(++-⋅+-=. 注: 由带积分余项的泰勒公式可得以下引理.引理：若函数)(x U ,)(x V 在闭区间],[b a 上存在连续的1+n 阶导数，则有b a ban n n n n x V x U x V x U x V x U dx x V x U ⎰-++-=-+)]()()1()()(')()([)()()()1()()1(⎰++-+ban n dx x V x U )()()1()1(1，)3,2,1( =n .11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx给出初值),,(000t y x . 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx(12) 求方程组(12)通过点),,(000t y x 的特解,其中已知).,,(000t y x 我们设想用一种逼近计算求出在下列各点kh t t h t t h t t h t t k +=+=+=+=0030201,,3,2, 处y x ,的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.现在,设在k t t =处,已求出y x ,的近似值,且表示为).(),(k k k k t y y t x x == 由泰勒公式可知：,!3)('''!2)('')(')()(32 ++++=+h t x h t x h t x t x h t x++++=+!3)('''!2)('')(')()(32h t y h t y h t y t y h t y . (13) 令k t t =,即可得出计算11++k k y x 值的公式 3,2,1,0=k,!3)('''!2)('')(')()(321++++=+=+h t x h t x h t x t x h t x x k k k k k k++++=+=+!3)('''!2)('')(')()(321h t y h t y h t y t y h t y y k k k k k k . (14)其中),,('t y x F dtdxx ==, ),,('k k t y x F x k k =, ),,('t y x G dtdy y == , ),,('k k t y x G y k k =,,''t F dt dy y G dt dx x F x ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,''t G dt dy y G dt dx x G y ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x F y y t y x F x x t y x F x k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x G y yt y x G x xt y x G y k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=……,),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n t t y x F x x t F xk k.),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n tt y x G y y t G yk k 当给定了初值条件),,(000t y x 时,由方程(14),令0=k ,则得出：,!3'''!2'''3020001 ++++=h x h x h x x x .!3'''!2'''3020001 ++++=h y h y h y y y其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度.当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dtdx的解,其初始条件为,0=t 处, 2=x ,0=y .解首先,我们可选定步长1.0=h ,并依次计算 ,2.0,1.0=t 等处的近似值,由逐次求导得出)3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n x x x x x x t x x n n , )3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n y y y y y t y y n n .因此在0=t 处,有1,1,,1''',1''',0',2',0,200000000========nn y x y x y x y x ,令0=k ,则方程组(14)给出++++=6223012h h h x x=2052.20002.00050.02000.02=++++ .++++=6223012h h h y y2052.20002.00050.02000.02=++++= .接着在1.0=t 处,有2052.2,2052.211==y x ； 1052.2',1052.2'11==y x ；1052.1'',1052.1''11==y x ； 1052.1''',1052.1'''11==y x ；……令1=k ,由方程(14)：++++=!3'''!2'''3111122h x h x h x x x4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .++++=!3'''!2'''3111122h y h y h y y y4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁晓庆.工科数学分析[M].北京：科学出版社，2001：191-192.[3]孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法(上)[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：140-147. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2005：173-179. [5]邵剑，陈维新.大学数学考研专题复习[M].北京：科学出版社，2005:62-62. [6]丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,2003(13):56-58.[7]斯瑜.泰勒公式在计算中的应用[J].兰州理工大学学报,2005(10):13-16. [8]郑玉仙.泰勒定理的妙用[J].陕西省:高等数学研究，2006(01):46-47.[9]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（04）：24-25. [10]王三宝.泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报，2005:14-15.Application of Taylor formulaName:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli(Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000)Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation solution,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill.Keywords: Taylor formula；application；limit；inequality；convergence；the existence and uniqueness of the maximum root.。

泰勒公式及其在解题中的应用毕业设计论文

毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：罗书云学号：08102209指导教师：蔡奇嵘二零一二年六月摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。

它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。

泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。

文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。

关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用ABSTRACTTaylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application东华理工大学毕业设计（论文）目录目录1. 绪论 (1)1.1综述 (1)1.2泰勒公式的研究背景 (2)1.3泰勒公式的研究意义 (2)1.4泰勒公式的研究目的 (2)1.5本论文所做的工作 (3)1.6本论文的基本思路与采用的方法 (3)2. 泰勒公式 (4)2.1泰勒公式的建立 (4)2.2泰勒公式的定义 (6)2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 (6)2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 (7)3. 泰勒公式的新证明及其推广 (8)3.1罗尔中值定理的两种推广形式 (8)3.2泰勒公式的新证明 (10)3.3泰勒公式的推广 (11)4. 泰勒公式在解题中的应用 (15)4.1利用泰勒公式求近似值 (15)4.2利用泰勒公式求极限 (16)4.3泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 (17)4.3.1 判断级数的敛散性 (17)4.3.2 判断广义积分的敛散性 (18)4.4泰勒公式在判别函数的极值中的应用 (19)4.5泰勒公式在不等式证明中的应用 (20)4.6泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 (22)4.6.1 判断函数凹凸性 (23)4.6.2 判别函数拐点 (24)4.7泰勒公式在行列式计算方面的应用 (25)结论及展望 (27)致谢 (28)参考文献 (29)东华理工大学毕业设计（论文）绪论11. 绪论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。

泰勒公式及应用论文

毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 0805010325 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)1.1带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)1.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)1.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)1.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)2.1利用泰勒公式求极限 (3)2.2利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)2.3 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)2.4利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)2.5研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。

关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

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泰勒公式及其应用论文)泰勒公式及其应用摘要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-，是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1.求极限sin 2limsin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x ,x e 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证：由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间）由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-，所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+- 3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x→+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=<-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。