泰勒公式及其应用论文)

泰勒公式及其应用论文)

泰勒公式及其应用

摘 要

文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.

关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.

一．引言

近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

()20000000()()

()

()()()()(),1!2!!

n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+

+-

称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有

0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即

()200000000()

()()()()()()()(()).2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+

+-+-

称为泰勒公式.

我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函

数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.

二．预备知识

2.1泰勒公式的定义

定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有

'''200000()()

()()()()1!2!

f x f x f x f x x x x x =+-+-+

()

00()

()(),!

n n n f x x x r x n +-+ （1）

其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足

上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.

当0x =0时,（1）式变成)(!

)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n

n x o x n f x f x f f x f +++++= ,

称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则

''()'

2

0000000()()()()()()()...()()2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）

这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()

()()(1)!

n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）

为f 在0x 的泰勒公式.

当0x =0时,（2）式变成''()'

2(0)(0)()(0)(0)...()2!!

n n

n f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

常见函数的展开式：

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ .

)()!

12()1(!5!3sin 221

253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 246

22cos 1(1)()2!4!6!(2)!

n

n

n x x x x x o x n =-+-+

+-+.

23

1

1ln(1)(1)()231

n n

n x x x x x o x n +++=-+-

+-++.

)(111

2n n x o x x x x

+++++=- ， +-+

+=+2

!

2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

00)(μ=x f .

2.2泰勒公式的意义

泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.

泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.

当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，

是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点

00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.

当n =2时，有2020000()

()()()()()2!

f x P x f x f x x x x x '''=+-+

-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型

泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项

(1)101

()()(1)!

n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.

佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当

0x x →时）高阶的无穷小.如33

sin ()6

x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -

近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.