2020届高考二轮复习第二部分专项二专题三第2讲专题强化训练含解析

[A 组 夯基保分专练]

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( ) A.1403 B ．60 C ．80

D ．160

解析：选C.a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3

(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a

1

q 2×

1－（q 3）291－q 3＝

q 2

1＋q ＋q 2

×a 1（1－q 87）1－q

＝47×140＝80.故选C.

2．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，

2a n

，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为

( )

A ．1 121

B ．1 122

C ．1 123

D ．1 124

解析：选C.由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×9

2×2

＝1 123.选C.

3．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和

为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )

A.110

B.15

C.111

D.211

解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)， 所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －

1a n －1＝n －1(n ≥2)，

两式相减得2n a n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝1

2n ，

故

1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

，

S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n

n ＋1

，

所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝1

11

，故选C.

4．(2020·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x

的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )

A ．S n ＝2T n

B ．T n ＝2b n ＋1

C ．T n >a n

D ．T n

解析：选D.因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，所以S n ＝3·2n －3，所以a n ＝3·2n －

1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －

1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q ＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －

1，T n ＝2n －1，所以T n

5．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2

(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

＜t ，

则实数t 的取值范围为( )

A ．(1

3，＋∞)

B ．[1

3，＋∞)

C ．(2

3

，＋∞)

D ．[2

3

，＋∞)

解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2 n 2

2(n －1)

2＝2 n 2－(n －1)2＝22n －

1，又a 1

＝21＝22

×1－1

，因此a n ＝22n －

1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14

为公比的等比数列，等

比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )＜23，因此实数t 的取值范围是[2

3

，＋∞)，

故选D.

6．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )

A ．3 971

B ．3 972

C ．3 973

D ．3 974

解析：选B.由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有

n （n ＋1）2个数．由于 2 016＝63×（63＋1）

2

<2 018<64×（64＋1）

2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后

一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.