最优控制习题及参考答案
最优控制胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
最优控制习题答案
最优控制习题答案最优控制习题答案最优控制是一门研究如何在给定的约束条件下，使某个系统的性能指标达到最优的学科。
在实际应用中，最优控制被广泛应用于工程、经济、生态学等领域。
然而，最优控制问题通常非常复杂，需要运用数学方法进行求解。
在本文中，我们将探讨一些最优控制习题，并给出相应的答案。
习题一：一辆汽车行驶在一条直线上，其速度v(t)满足以下微分方程：m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，其中m为汽车的质量，F(t)为外部施加的力，k为阻力系数。
求使得汽车行驶时间最短的外部力F(t)。
解答：首先，我们需要确定行驶时间的数学表达式。
设汽车的初始速度为v0，行驶时间为T，根据题意，我们可以得到以下约束条件：v(0) = v0，汽车的初始速度为v0；v(T) = 0，汽车的最终速度为0。
根据最小时间原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：minimize T，使得v(T) = 0；subject to m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，v(0) = v0。
通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。
最终，我们可以得到外部力F(t)的解析表达式。
习题二：一个农民想要将一块矩形土地分成两块，使得两块土地的总面积最大。
该农民只能在土地的一条边上建立一道直线围栏。
求最优划分方案。
解答：设矩形土地的长为a，宽为b。
我们需要确定如何划分土地，使得两块土地的总面积最大。
根据题意，我们可以得到以下约束条件：2a + b = L，L为围栏的长度。
根据最大面积原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：maximize A = ab，使得2a + b = L。
通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。
最终，我们可以得到最优划分方案的解析表达式。
习题三：一架飞机要从A地飞往B地，途中需要经过一个位于C地的雷达站。
飞机的速度恒定为v，雷达站可以通过调整飞机的航向角度来监测飞机的位置。
最优控制第五章习题答案
1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
最优控制期末考试题精华版
解：
设拉格朗日乘子为 、 ，根据非线性K-T条件定理：
考虑到约束条件：
分三种情况考虑式(1)~(5)的解：
1．若(5)式等号不成立，则由(2)式有 ，再代入(1)式得 ，这和(4)式矛盾。因此，(4)式等号一定成立。
2．若(6)式等号不成立，则由(3)式有 ，代入(1)式得
由 和(7)式以及(5)式可得： .
3.若(6)式等号成立，则由(5)、(6)式可解得：
及
由(4)式、(1)式可知， 不能取 ，而若取 ，则 就应该为 ，此时(1)式不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一K-T点 ，根据最优条件，最优点必定是K-T点，即 。
七、（10分）用惩罚函数法求下列问题的最优解：
八、（10分）试求 的有效解和弱有效解
一、（10分）用图解法求解：
二、（10分）用单纯形法求解：
三、（10分）求函数 的极值。
四、（15分）用0.618法解下列问题：
，初始区间为 ，
五、（15分）设 ，求在以下各点处的最速下降方向：
， ，
解：函数在某一点处的最速下降方向即为函数在该点方向导数最小的方向
令
由已知条件可得：
所的表达式求出它们的最优解：
最优控制测试题
1. 已知受控系统1)0( ),()(==x t u t x，试求)(t u 和f t ，使系统在f t 时刻转移到坐标原点0)(=f t x ，且使dt t u t J ft f ⎰+=022)(最小。
2．设系统状态方程为),()(11t u t x= 0)0()0(21==x x ， (t))()(212u t x t x += ， 1)1()1(21==x x 。
其中)(1t u 无约束，41)(2≤t u 。
求)(1t u *，)(2t u *，)(1t x *，)(2t x *，使得系统从的0=t 初始态转移到1=t 的末态，并使性能指标 dt t u t u t x J ⎰++=122211)]()()([为最小值。
3. 在重量为10 kg 的禁止物体上，加一个垂直方向的力)(t F ，物体允许的最大加、减速度为5 m/2s ，欲使物体以最短的时间升高100 m ，并停留在这一位置，求)(t F 的变化规律，并求出最短时间。
取重力加速度为2/10s m g =。
4. 生产库存的状态方程为)()()()1(k s k u k x k x -+=+，其中)(),(),(k s k u k x 分别是库存量，生产速度和销售速度。
设生产费用为)(005.02k u ，库存费用为)(k x ，那么四季度的总费用为)]()(005.0[302k x k u J k +=∑=现设初始库存量0)0(=x ，四季度的订货分别为1200)3(,500)2(,700)1(,600)0(====s s s s 。
求最优生产速度)(k u )3,2,1,0(=k 使0)4(=x （年底无积压），并且使总费用J 最小。
5. 已知系统方程为)()( ),()(221t u t x t x t x== ，其中1)(≤t u ，试求最优控制)(t u *，把系统从初始状态1)0( ,1)0(21==x x 转移到原点，且使性能指标dt t u J ft ⎰+=0])(4[取最小。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
最优控制作业
解：不显含 x ，由欧拉方程可得： L y
L c1 ，代入整理可得 y 2 (1 y 2 ) c1 ，进 y
一步得 y
c1 积分整理可得 y 2 c1 ( x c2 )2 ， 再由横截条件：y(0) y0 ， 1 ， y2
(( y )
2)
L L) 0 ， 即为 ( x 9)2 2 y 2 9 ，联立解得。 y xf
(( y )
L L) 0 ， 即为 y x 2 5 ，联立解得。 y xf
第4周 1、求最优轨线及控制规律
11 a、 系统 x x u ， J [u ] u 2 dt ， x(0) 10 ， x(1) 0 ，求最优 x (t ) ， u (t ) 0 2 11 x x2 x (0) 0 b、系统 1 ，J [u ] u 2 dt ， 1 ， 终点约束 x1 (1) x2 (1) 1， 求 x (t ) ， 0 2 x2 u x2 (0) 0
z (c1 2c4 )sin x (c2 2c3 ) cos x c3 x sin x c4 x cos x ，其中 c1 ， c2 ， c3 ， c4 为待
定系数；若给出具体的横截条件即可解得待定系数。 4、试写出最优问题模型 球面两点最短路径问题和定周面积最大问题 解：(1)、设过球面两定点 x0 ( x(t0 ), y(t0 ), z (t0 )) 和 x f ( x(t f ), y(t f ), z(t f )) 的参数 曲线为 x x(t ) ， y y(t ) ， z z (t ) ；球面半径为 R ，则球面两点最短路径问题 可 描 述 为 求 泛 函 J [ x(t ), y(t ), z (t )]
最优控制习题及参考答案
1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫ (x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J =∫1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + Cx * (t )由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t= 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
20 1 0 ∫ ⎩ λ= −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t)dt2取极小值的最优控制 u * (t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT fH = 1u 2 + λ x+ λ u⎧λ = 0 由协态方程： ⎨ 12 1 21 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C ④22由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1 C t 3− 1C t 2+ C t + C ⑤16 122 3 41⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t− 29， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x * (t ) = 5 t 3−t 2 + t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制第五章习题答案
1. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
现代控制理论习题之线性二次型最优控制
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
p11 − p12 p 22 = 0
2 µ + 2 p12 − p 22 =0
将这 3 个方程联立，解出 p11 、 p12 、 p 22 ，且要求 P 为正定的，可得
⎡p P = ⎢ 11 ⎣ p12
最优反馈增益矩阵 K 为：
p12 ⎤ ⎡ µ + 2 =⎢ p 22 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣
1 ⎤ ⎥ µ + 2⎦ ⎥
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
所导出的闭环系统为：
= − 2x x
显然，闭环系统是渐近稳定的。 7.2 研究如题 7.2 图 1 所示的系统。假设控制信号为： u (t ) = − Kx(t ) 确定最优反馈增益矩阵 K ，使得下列性能指标达到极小：
第七章
线性二次型最优控制
第七章
线性二次型最优控制
7.1 考虑一阶系统
=x+u x
最优控制期末试题及答案
最优控制期末试题及答案一、选择题1. 在最优控制理论中，最优控制是指：A. 使系统性能指标最优的控制策略B. 使系统参数最优的控制策略C. 使系统动态特性最优的控制策略D. 使系统输出响应最优的控制策略答案：A2. 最优控制问题可以通过以下哪种方法求解：A. 动态规划法B. 遗传算法C. 神经网络算法D. 一般化最小二乘法答案：A3. 以下哪个问题不属于最优控制问题：A. 线性二次最优控制问题B. 无约束非线性最优控制问题C. 约束非线性最优控制问题D. 无约束线性最优控制问题答案：D4. 最优控制问题的目标函数通常是：A. 系统状态变量B. 控制输入变量C. 控制输入和状态变量D. 系统输出变量答案：B5. 最优控制问题中，状态方程描述的是：A. 系统的输出响应B. 系统的输入信号C. 系统的状态变化D. 系统的性能指标答案：C二、判断题1. 优化问题是最优控制问题的一种特殊情况。
答案：正确2. 在最优控制问题中，约束条件通常是线性的。
答案：错误3. 动态规划法可以用于解决一般化最小二乘最优控制问题。
答案：错误4. 最优控制问题中的状态方程一般是非线性的。
答案：正确5. 最优控制问题中的目标函数可以是系统性能指标的函数。
答案：正确三、简答题1. 请简要介绍最优控制问题的基本概念。
最优控制是指在给定约束条件下，使系统性能指标达到最优的控制策略。
最优控制问题包括线性和非线性、有约束和无约束等不同类型。
在最优控制问题中，通过选择合适的控制输入来使系统状态达到最优，同时满足系统约束条件。
最优控制问题通常使用目标函数来量化系统性能指标，并使用状态方程来描述系统的动态特性。
常用的解决方法包括动态规划法、最优化方法等。
2. 动态规划法在最优控制问题中的应用原理是什么？动态规划法是解决最优控制问题的一种经典方法。
其基本思想是将原始问题分解为一系列子问题，并利用最优子结构的性质，通过递归的方式求解子问题，最终得到整体最优解。
最优控制理论作业1
问题3-6 已知无阻尼振荡二阶系统的状态方程为()()()()()1221x t x t x t x t u t ⋅⋅⎧=⎪⎨⎪=-+⎩(0.1)式中控制变量()u t 满足约束条件()10,f u t t t ⎡⎤≤∀∈⎣⎦，(0.2)要求最优控制()u t *，使系统(0.1)由任意初态()()1102200,0x x x x ==(0.3)以最短时间转移到状态空间原点。
应用最小值原理，最优解的必要条件为： ①正则方程()()()()()()()()()1221121122x t x t x t x t u t H t t x H t t x λλλλ⋅⋅⋅⋅⎧=⎪⎨⎪=-+⎩∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩ (0.4)式中()()()()()()()12221,,=1H x u t x t t u t t x t λλλλ++-(0.5)②边界条件()()1102200,0x x x x ==()()120,0f f x t x t ==③极值条件()()()()()()()()(),,min ,,u t VH x t u t t H x t u t t λλ***∈=即()(){}2sgn u t t λ*=-(0.6)④沿最优轨线()()()()()()1222110f f f f f f t x t t u t t x t λλλ***++-=(0.7)由于协态方程与()x t ()u t 无关，若令()110c λ=，()220c λ=，则协态方程的解为()()112212=cos sin sin cos t c t c t t c t c tλλ+=-+ (0.8)于是，协态分量()()20cos t D t λα=+(0.9)式中D =10020=arctanλαλ 因此，最优控制律可表示为()(){}0sgn cos u t D t α*=-+(0.10)由()2t λ与()u t *随时间变化的图形，见无阻尼振荡二阶系统的最优控制()u t *具有如下特点：①()ut *切换次数的上限值不能确定，因此无法确定候选的最优控制序列。
自动化最优控制作业
最优控制年级：姓名：学号：库存管理决策问题设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：一季 二季 三季 四季 600件700件500件1200件生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元。
第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s因此有：下季度库存是 ：)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量本季生产量本季度库存量是+=+且要求年初、年终都没有存货即销售已空。
x （0）＝x （5）＝0最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小。
即：求 {})i (*u 使[][][]∑=+=≤41i 240)i (x )i (u005.0)i (u J )i (*u J （1）⎪⎩⎪⎨⎧===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3i s(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s解：使用动态规划的办法：1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+= 由（2） 0 x(5))4 )4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得２００u(4)－(4)－1x(4)0+=得 )4(x 1200)4(*u -=代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 22*4+-=+-= 2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：一季 二季 三季 四季 600件700件500件1200件()()[]{}(){}{})4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 22)3(u *12)3(u *1)3(u *2+-++=++=+=其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：()()(){}22)3(u *2500)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=∂∙∂即：{}0)3(x 01.016)3(u 02.0)3(u =+-=∂∙∂即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2()()())3(x 0025.0)3(x 77550500)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 22*2+-=-++-+-++=3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：()()(){}{})3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 22)2(u *2)2(u *3+-++=+=其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *3()()(){}22)2(u *3700)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=∂∂ 得(){}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)2(u )2(u )2(x J *3=-+-=∂∙∂=∂∂得 )2(x 31700)2(*u -= 再代 ())2(x J *3 得 ())2(x 3005.0)2(x 6000,10)2(x J 2*3+-= 4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22)1(u *3)1(u *4 又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=并代入上式 ())1(x J *4得：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++=22*4600)1(u 3005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J 令 ()0)1(u )1(x J *4=∂∂ 得()0600)1(u 301.06)1(u 01.0=-+- 得 600)1(*u =得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+=可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 31700)2(*u -= 于是由600)1(*u 0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+及 )4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 31700)2(*u -=-=-=可得900)4(*u ,800)3(*u ,700)2(*u ,600)1(*u 0)5(x ,300)4(x ,0)3(x ,0)2(x ,0)1(x =========即有以上最优决策序列：{})i (*u 若不按以上最优决策，按每季销售量生产1200)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========则显然总有存为总量0，但总费用： ()∑=+=4124700,12)i (x )i (u005.0J 要多用900元。
最优控制(考试题)2013
考试题一、简答题：（25分）1、最优控制的三要素是什么？答：优化目标，优化参数，约束条件。
2、如何才能够将有约束优化问题转化为无约束优化问题？答：可以利用惩罚函数将有约束优化问题转化为无约束优化问题。
3、简述遗传算法的计算过程。
答：先确定种群个数，交叉率，变异率，编码方式和适应度函数，已完成初始化后产生第一代种群，然后进行交换，由交换概率挑选的每两个父代通过将相异的部分基因进行交换（如果交换全部相异的就变成了对方而没什么意义），从而产生新的个体。
再进行适应度值评估检测，计算交换产生的新个体的适应度。
接着进行选择，选择的目的是为了从交换后的群体中选出优良的个体，使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。
变异，变异首先在群体中随机选择一定数量个体，对于选中的个体以一定的概率随机地改变串结构数据中某个基因的值，变异为新个体的产生提供了机会。
4、什么是泛函。
答：泛函是一种映射，是一个由向量空间到标量空间的映射。
泛函是一种变换，它把向量空间N R 的一个子集投影到R 标量空间中的一个元素。
泛函是函数的函数。
5、什么是鲁棒控制。
答：由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。
如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制。
二、问答题（20分）1、试述最优控制在控制领域中所处的位置。
答：最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 ，由贝尔曼提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
最优控制是现代控制理论的核心，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
2、试述菌群优化算法的工作原理。
答：菌群优化算法主要通过趋向性操作、复制操作和迁徙操作这三种操作迭代计算来求解问题。
大肠杆菌的整个生命周期就是在游动和旋转这两种基本运动之间进行变换（鞭毛几乎不会停止摆动），游动和旋转的目的是寻找食物并避开有毒物质。
最优控制习题及参考问题详解
标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制第三章课后习题答案
1. 2**'2**'*'*01min ()2y J y y y y y y dx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰,若(0)y 与(2)y 任意，求*y 及(*)J y 。
解：这是端点自由问题，相应的欧拉—拉格朗日方程为：()0f d f y dt y∂∂-=∂∂即''1(1)0d y y y dt +-++=得''1y =则'1y x c =+，21212y x c x c =++由横截条件：0f y∂=∂得'1y y ++=0即21121(1)102x c x c c +++++=0x =，1210c c ++=；2x =，12350c c ++=。
联立得122,1c c =-=所以*21212y x x =-+，*'2y x =-代入得2**'2**'*'*02321()21(221)243J y y y y y y dxx x x dx⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰2.电枢控制的直流电动机忽略阻尼时的运动方程：()u t θ=式中，θ为转轴的角位移，()u t 为输入。
目标函数为221min ()2u J dt θ=⎰，使初态(0)1θ=及(0)1θ=转移到终态(2)0θ=及(2)0θ=，求最优控制*()u t 及最优角位移*()t θ，最优角速度*()t θ。
解： 设12,x x θθ==则122,x x x u ==。
哈密顿函数：212212H u x u λλ=++ 协态方程: 121120,0H Hx x λλλ∂∂=-==-=-=∂∂ 控制方程：20Hu uλ∂=+=∂即*2()()u t t λ=-将*()u t 代入状态方程，可得 1222121(),(),0,()x x t x t t λλλλ==-==-边界条件为1212(0)1,(0)1,(2)0,(2)0x x x x ==== 可见这是两点边值问题，对正则方程进行拉氏变换，可得11222211221()(0)()()(0)()()(0)0()(0)()sX s x X s sX s x s s s s s s λλλλλλ-=-=--=-=-联立以上四式，可解出43211221()(0)(0)(0)(0)s X s s x s x s λλ=+-+代入初始条件12(0)1,(0)1x x ==，可得1212341111()(0)(0)X s s s s sλλ=+-+ 故 2312111()1(0)(0)26x t t t t λλ=+-+同样可解得 22212322221111()(0)(0)(0)1()(0)(0)(0)2X s x s s sx t x t t λλλλ=-+=-+利用终端条件12(2)0,(2)0x x ==可得2121432(0)(0)0312(0)2(0)0λλλλ-+=-+=解得127(0)3,(0)2λλ== 1111(0)(),()(0)s t s λλλλ==；221221211()(0)(0),()(0)(0)s t t s sλλλλλλ=-=-即 127()3,()32t t t λλ==-所以：最优控制*27()()32u t t t λ=-=-+最优角位移*23171()142x t t t t θ==+-+最优角速度*2273()122x t t t θ==-+3. 222201min (2)()22.,(),(0) 1.()u s J x u t dt s t x u t x s =+==⎰为常量试求出最优控制*u ()t 及相应的轨线*()x t 。
最优控制 (5)1
线 x(t ) ，使性能指标取极小值。 ˆ
离散系统最优控制：
在离散时刻 0，1,…，N-1 上寻找 N 个最优控制向量
u (0) ，u (1) ，…，u ( N 1) 和相应的 N 个最优状态向量 (1) ， ˆ x ˆ ˆ ˆ
x(2) ，…, x(k ) 以使(2-90)式表示的性能指标取极小值。 ˆ ˆ
11
定理 2-4 设离散系统的状态方程是
x(k 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
k 0,1, N 1
(2-109) (2-110) (2-111)
则为把状态 x(k)自初态
x (0x( N ), N ] 0
的终态，并使性能指标
(k 1) A1 (k )
得
u ( k ) 10 BT ( k 1) 10 BT AT ( k )
代入状态方程可得
x(k 1) Ax (k ) 10 BBT AT (k )
16
由协态方程
(k ) AT (k 1)
和状态方程
由 x(2)可以求得 (1) ，随之确定 (0) 。
由于
0 1 A 0.1 1 1 0.1 0 0 0.01 T 10 ABB 10 0.10 0.1 0 0.10 0 1
2 T
1 0.2 A 0 1
x(k 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
k 0,1,2 N 1
(2-96) (2-97)
其状态初值已知是
x (0) x0
则为使性能指标
J [ x( N ), N ]
N 1 k 0
L[ x(k ), u (k ), k ]
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2
x2
x2 1
1
（2 t）=- Ae2sint
3 t ，由所给状态方程及初始条件解得：
2
………………………………………………………………………
………………………………
3-7 已知二阶系统方程
x&1(t ) x2 (t ) 1 ， x1(0)
1
4
4
x&2(t) u(t ) ， x2(0)
1
4
式中控制约束为
欧拉方程： L d L 0
x dt x&
横截条件： x t0
x0 ，
L x& t f
0， L
x&T
L x&
tf
0
易得到 x& t a
其通解为： x t at b
代入边界条件 x& t f a ， x 0 0 ， t f 1，求出 a 0 ， b 0
将 t f ， a ， b 代入 J 可得 J*
1
1
0 ，即 x&& 0
故 x& c1 其通解为： x c1t c2
代入边界条件 x(0) 1 ， x(1) 2 ，求出 c1 1， c2 1
极值曲线为 x* (t) t 1
2-6 已知状态的初值和终值为
x(1) 4 ， x(t f ) 4
式中 t f 自由且 tf >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线
2
将 u* (t ) 代入状态方程，得
x 1, 0 t ln e
x&(t)
2
x 1, ln e t 1
2
解得 x(t)
c1e t
1, 0
t
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[最优控制习题及参考答案习题1 求通过x(0) = 1 ，x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：J = ∫(x+1)dt解：由已知条件知：t= 0 ，t = 1d由欧拉方程得：(2x) = 0dtx= Cx = Ct + C将x(0) = 1，x(1) = 2 代入，有：C= 1，C= 1得极值轨线：x(t) = t +1习题2 求性能指标：J =(x+1)dt∫在边界条件x(0) = 0 ，x(1) 是自由情况下的极值曲线。
x(t)解：由上题得：x(t) = C t+ C Array由x(0) = 0 得：C= 0∂L由= 2x(t ) = 2C= 0 t ∂于是：x(t) = 0【分析讨论】对于任意的x(0) = x，x(1) 自由。
∫ ⎩ λ=有： C = x ， C = 0 ，即： x (t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x(t ) = x (t ) ， x (t ) = u (t )边界条件为： x (0) = x (0) = 1 ， x (3) = x (3) =0 ，1试求使性能指标 J =u (t )d t2取极小值的最优控制 u (t ) 以及最优轨线 x (t ) 。
⎩ x ⎩ 解：由已知条件知： f = ⎩ ⎩⎩⎩ u ⎩⎩Hamiton 函数： H = L + λfH = 1u + λ x+ λ u⎩λ = 0由协态方程： ⎩2⎩λ = C①得： ⎩⎩λ= −Ct + C ② ∂H由控制方程： ∂u= u + λ= 0得： u = −λ= Ct − C ③由状态方程： x = u = Ct − C得： x (t ) = 1C t − C t + C④2由状态方程： x = x得： x (t ) = 1 C t − 1C t + C t + C⑤6 2⎩ ⎩=− =− ∫⎩1⎩ ⎩0⎩将 x (0) = ⎩ ⎩ ， x (3) = ⎩0⎩ 代入④，⑤,⎩1⎩ ⎩ ⎩10联立解得： C =由③、④、⑤式得：u (t ) = 10t− 29，C = 2 ， C = C = 1 9x (t ) = 5t −t + t +1 27 x (t ) = 5t − 2t +1 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
J = 解： H = xe + ue + λu⎩x= u 列方程： ⎩λ= −2xe ⎩2eu + λ = 0 (x + u )edt①②③由③得， u代入①得，x 1 e λ④21e λ=−2x 1 e λ e λ =− +2将②，③代入，并考虑到 u = xx 1 e (−2xe ) + e (−2ex ) 2整理可得： x + 2x − x = 0) = u =⎩特征方程： s + 2s −1 = 0s = −1+s = −1−于是得： x (t ) = C e + C eλ(t③ −2e ①−2exλ(t ) = −2e(Cse + C s e )由 x (0) = 1 ，得： C + C = 1⑤由 λ(t ) = λ(1) = 0 得： Cse+ Cse = 0⑥⑤、⑥联立，可得 C 、C代回原方程可得 x → u（略）习题 5 求使系统： x = x ， x = u由初始状态 x (0) = x (0) = 0出发，在 t = 1 时转移到目标集1 x (1) + x (1) = 1，并使性能指标 J =∫u (t )dt2为最小值的最优控制 u (t ) 及相应的最优轨线 x (t ) 。
解： 本题 f (i)，L (i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同⎩λ= C ，λ= −Ct + C⎩⎩x = 1 C t − 1 C t + C t + C 有： ⎩ 6 2⎩x = 1 C t −C t + C ⎩2⎩⎩u = Ct −C∫⎩0⎩ x (0) = ⎩ ⎩⎩0⎩由，有： C = C = 0①由 x (1) + x (1) = 1，有：1 C– 1 C+ 1 C − C = 1 6 2 22 C −3 C = 1②3 2∂ϕ ∂ψ由 λ(1) = + ⋅γ = 0 ，ψ = x + x −1∂x ∂x⎩1⎩有： λ(1) = ⎩ ⎩ γ = 0 ⇒ λ (1) = λ (1) ⎩⎩1⎩⎩于是： C = −C + C2C = C ③3 6 ②、③联立，得： C =- 、C = -77于是： u = − 3 t + 67 7x =− 1 t + 3 t 14 7x =− 3 t + 6t 14 7习题 6 已知一阶系统： x (t ) = −x (t ) + u (t ) ， x (0) = 3（１）试确定最优控制 u (t ) ，使系统在t = 2 时转移到 x (2) = 0 ，并使性能泛函J = (1+ u )dt = min⎩ ⎩⎩ C C4（２）如果使系统转移到 x (t ) = 0 的终端时间 t 自由，问 u (t ) 应如何确定解：H = 1+ u + λu − λ x⎩x = −x + u 列方程： ⎩λ= λ ⎩2u + λ = 0由协态方程得： λ = C e ①1由控制方程： u=− Ce ②2① t1 代入状态方程： x = −x −Ce2= 2，x (2) = 0 ⇒ x (t ) = Ce – 1 C e 4⎩− 1 C = 3 ⎩ 4 ⎩⎩C e − 1 C e = 0 ⎩⎩ 412解得： C = ，e −13eC =e −1 代入②得： u (t ) =−② x (t ) = 2，t 自由6ee −1⎩− 1 C = 3 ⎩ 4 ⎩ C e – 1C e = 0 ⎩⎩⎩H (t ) = 0 ⎩ ⎩解得：C=40 − 6 =∫u (t ) = −习题 7 设系统状态方程及初始条件为x (t ) = u (t ) ， x (0) = 1试确定最优控制 u (t ) ，使性能指标1J = t + 2 u dt 为极小，其中终端时间 t 未定， x (t ) = 0 。
解： H = 1u + λu2由协态方程得： λ = 0→ λ = C ①由控制方程： u + λ = 0→ u = −C ②由状态方程： x = u =−C⇒ x (t ) = −Ct + C ③由始端： x (0) = 1→ C = 1由末端： x (t ) = 0→ −Ct +1 = 0④∂ϕ 考虑到： H (t ) =− t– ∂ψ t ⋅γ = −1∂ ∂1有： u + λu = −12 1C − C = −1 ⇒ C = 22C=⑤当C=时，代入④有：t = 1C⎩ 6当 C = −时，代入④有： t= 1= 1，不合题意，故有2C 最优控制u = −习题 8设系统状态方程及初始条件为x (t ) = x (t ) ， x (0) = 2 性能指标为x (t ) =u (t ) ，J =1∫ udtx (0) = 12要求达到 x (t ) = 0 ，试求：（1） t= 5 时的最优控制 u (t ) ；（2） t 自由时的最优控制 u (t ) ； 解：本题 f (i )，L (i )，H (i ) 与前同，故有 ⎩ ⎩λ= C ⎩λ= −Ct + C ⎩x = 1C t − 1 C t + C t + C ⎩ ⎩ 2⎩x = 1C t − C t + C ⎩ 2 ⎩⎩⎩u = Ct − C⎩2⎩⎩0⎩ ⎩C = 2 ⎩C = 1 ⎩125 25 ① 由 x (0) = ⎩ ⎩x (5) = ⎩0⎩ ，得： ⎩ C − C + 5C + C = 0⎩1⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 62 ⎩ 25C−5C + C = 0⎩⎩26 ∫ 2联立得： C = ，C = ，⇒ u = −② t 自由⎩⎩C = 1⎩ ⎩C = 2 ⎩ 1C t − 1 C t + C t + C = 0 ⎩ ⎩ 2⎩ 1C t − C t+ C = 0 ⎩ 2 ⎩ ⎩⎩H (t ) = 0联立有： C t − 2C t+ 2 = 0 ， 无论C 为何值， t 均无实解。
习题 9 给定二阶系统x (t ) = x (t ) + 1 ， x (0) = − 14 4 1x (t ) = u (t ) ， 1x (0) = −4控制约束为 u (t ) ≤ ，要求最优控制 u (t ) ，使系统在 t = t 2并使时转移到 x (t ) = 0 ，其中 t 自由。
J = u (t )dt = min解： H = u + λ x + 1λ+ λ u4⎩− 1λ λ ≤ 1 ⎩ 2 ⎩ 本题属最小能量问题，因此： u (t ) = ⎩−1λ > 1 ⎩⎩⎩ 1λ< −1⎩2⎩=− ⎩⎩λ= 0 → λ = C 由协态方程： ⎩⎩⎩λ = −λ → λ = −C t + C λ是 t 的直线函数。
当 u (t ) = − 1 λ = 1C t − 1 C时（试取） 2 2 2x (t ) = 1 C t − 1C t + C42x (t ) =1 C t − 1 C t + 1t + C t + C 124 41由始端条件 → C = C =4由末端条件 → 1 C t −1 C t+ 1 t + 1= 0 12 42 4 1 C t − 1 C t+ 1 = 0 42 4 另： H (t ) = 01联立解得： C =，C = 0，t = 39于是，λ1 t⎩λ= 1时，t < 0=−⎩ 9⎩λ= −1时，t = 9在 t 从 0 → 3 段， λ≤ 1满足条件。
故， u1 λ = 1 t2 180 1 2 3 4 t⎩−习题 10 设二阶系统x (t ) = −x (t ) + u (t ) ， x (0) = 1 x (t ) = x (t ) ， x (0) = 0控制约束为 u (t ) ≤ 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u (t ) ，使性能指标J = 2x (1) + x (1)取极小值，并求最优轨线 x (t ) 。
解：由题意， f ⎩−x + u ⎩ = ， ϕ = x+ x ,L = 0 ， ⇒ H = λ u − λ x + λ x ⎩ ⎩⎩ x ⎩由控制方程可得： u =⎩+1 ⎩ λ< 0 λ> 0 ⎩λ = λ − λ ⇒ λ = C e + C 由协态方程可得： ⎩⎩λ= 0 ∂ϕ ⎩2⎩⇒ λ= C由 λ(t ) = = ⎩ ⎩ ⇒ C = 1，C= e ∂x (t )⎩1⎩⎩λ = e +1 → 在t > 0的围λ > 1⇒ ⎩故： u = −1t ∈[0,1]⎩λ= 1若需计算 最优轨线 ，只需把 u = −1 代入状态 方程，可 得：⎩x (t ) = 2e −1 ⎩ ⎩ x (t ) = −2e − t + 2 ⎩⎩习题11 设系统状态方程为x(t) = x(t) ，x(0) = x∫⎩1 0⎩ ⎩0 0⎩ ⎩0⎩ ！性能指标为 J = 12x (t ) =u (t ) ，(4x +u )dt x (0) = x试用调节器方法确定最优控制 u (t ) 。