最优控制习题及参考答案

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最优控制习题及参考答案

习题1 求通过x(0) = 1 ，x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：

J = ∫(x+1)dt

解：由已知条件知：t= 0 ，t = 1

d

由欧拉方程得：(2x) = 0

dt

x= C

x = Ct + C

将x(0) = 1，x(1) = 2 代入，有：

C= 1，C= 1

得极值轨线：x(t) = t +1

习题2 求性能指标：J =

(x+1)dt

∫

在边界条件x(0) = 0 ，x(1) 是自由情况下的极值曲线。

x(t)

解：由上题得：x(t) = C t

+ C Array由x(0) = 0 得：C= 0

∂L

由

= 2x(t ) = 2C= 0 t ∂

于是：x(t) = 0

【分析讨论】对于任意的x(0) = x，x(1) 自由。

∫ ⎩ λ

=

有： C = x ， C = 0 ，即： x (t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x

(t ) = x (t ) ， x (t ) = u (t )

边界条件为： x (0) = x (0) = 1 ， x (3) = x (3) =

0 ，

1

试求使性能指标 J =

u (t )d t

2

取极小值的最优控制 u (t ) 以及最优轨线 x (t ) 。

⎩ x ⎩ 解：

由已知条件知： f = ⎩ ⎩

⎩⎩ u ⎩⎩

Hamiton 函数： H = L + λf

H = 1

u + λ x

+ λ u

⎩λ = 0

由协态方程： ⎩

2

⎩λ = C

①

得： ⎩

⎩λ= −Ct + C ② ∂H

由控制方程： ∂u

= u + λ= 0

得： u = −λ= Ct − C ③

由状态方程： x = u = Ct − C

得： x (t ) = 1

C t − C t + C

④

2

由状态方程： x = x

得： x (t ) = 1 C t − 1

C t + C t + C

⑤

6 2

⎩ ⎩

=− =− ∫

⎩1⎩ ⎩0⎩

将 x (0) = ⎩ ⎩ ， x (3) = ⎩0

⎩ 代入④，⑤,

⎩1⎩ ⎩ ⎩

10

联立解得： C =

由③、④、⑤式得：

u (t ) = 10

t

− 2

9

，

C = 2 ， C = C = 1 9

x (t ) = 5

t −t + t +1 27 x (t ) = 5

t − 2t +1 9

习题 4 已知系统状态方程及初始条件为

x =u ， x (0) = 1

试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

J = 解： H = xe + ue + λu

⎩x

= u 列方程： ⎩λ

= −2xe ⎩2eu + λ = 0 (x + u )edt

①

②

③

由③得， u

代入①得，

x 1 e λ

④

2

1

e λ

=−

2

x 1 e λ e λ =− +

2

将②，③代入，并考虑到 u = x

x 1 e (−2xe ) + e (−2ex ) 2

整理可得： x + 2x − x = 0

) = u =

⎩

特征方程： s + 2s −1 = 0

s = −1+s = −1−

于是得： x (t ) = C e + C e

λ(t

③ −2e ①

−2ex

λ(t ) = −2e

(Cse + C s e )

由 x (0) = 1 ，得： C + C = 1

⑤

由 λ(t ) = λ(1) = 0 得： Cse

+ Cse = 0

⑥

⑤、⑥联立，可得 C 、C

代回原方程可得 x → u

（略）

习题 5 求使系统： x = x ， x = u

由初始状态 x (0) = x (0) = 0

出发，在 t = 1 时转移到目标集

1 x (1) + x (1) = 1，并使性能指标 J =

∫

u (t )dt

2

为最小值的最优控制 u (t ) 及相应的最优轨线 x (t ) 。

解： 本题 f (i)，L (i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同

⎩λ= C ，λ= −Ct + C

⎩

⎩x = 1 C t − 1 C t + C t + C 有： ⎩ 6 2

⎩x = 1 C t −C t + C ⎩2

⎩

⎩u = Ct −C