江西省九江市都昌一中、湖口中学、彭泽一中、瑞昌一中、修水一中、永修一中、德安一中高三数学上学期七校联

九江市都昌一中 湖口中学彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中德安一中2014届高三七校联考数 学 试 题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i ia z ++=1（其中i 是虚数单位）在复平面内对应的点Z 落在第二象限，则a 的范围( )A ．(-1, )∞+ B. (-1. 1) C. (-∞,-1)D.(1, )∞+)2.函数)3(log 2+=x y 的反函数是( )A ．)(32R x y x∈-=B ． )3(32->+=x y xC ． )(23R x y x ∈=-D ．)3(23->=+x y x 【答案】A 【解析】试题分析：函数)3(log 2+=x y 的值域为R ，由)3(log 2+=x y 得，32yx +=，即23y x =-，互换,x y 得：23xy =-，故函数)3(log 2+=x y 的反函数是()23x y x R =-∈．考点：反函数的求法．3.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，若N N M =⋂,则a 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－15.已知函数()sin()(0,)2f x xπωϕωϕ=+><的部分图像如图，则=∑=20141)6(nnfπ( ) A．1-B．12C．1 D．0cb a ==，所以22cos ,cos ,2aa b a b a b a a b ⋅=-=⋅〈〉=〈〉r r r r r r r r r r ，所以1cos ,2a b 〈〉=-r r ，故3sin ,2a b 〈〉=r r ．考点：向量的运算．7.美不胜收的“双勾函数”1y x x =+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e=( )A ．2B ． 21+C ． 3D ． 224-8.已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aaa aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若222=a ，则这9个数的和为( )A ．16B ．18C ．9D ．8【答案】B 【解析】试题分析：已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aaa aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若222=a ，有等差数列的性质得：11121321222331323322918a a a a a a a a a a ++++++++==．考点：等差数列的性质．9.已知不等式02≥++c bx ax 的解集[]3,1-，则函数m cx ax bx x f +++-=2361)(单调递增区间为( )A. (-），（∞+∞3),1-,B. (-1,3)C.( -3,1)D.(），（∞+-∞-1),3,DCO Oa321S (a )321S (a )a10.图1中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图1中阴影部分介于平行线0y =及y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为( )BO O aS (a )123321S (a )a第Ⅱ卷（共100分）图1yxO 33211y=a二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点123456,,,,,A A A A A A 其中1A 落在x 正半轴上，且这六个点分别落在以原点O 为始点，X 非负半轴为始边的∠α的终边上，所有的∠α可表示为__________________ （用一个含)(,z k k ∈的式子表示）.【答案】()3k k Z πα=∈【解析】试题分析：圆周上的六个等分点123456,,,,,A A A A A A 其中1A 落在x 正半轴上，且这六个点分别落在以原点O 为始点，X 非负半轴为始边的∠α的终边上，故∠α是3π的整数倍，所以()3k k Z πα=∈．考点：角的表示方法.12.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m na a 使得14m n a a a =，则14m n +的最小值为 . 【答案】3213.已知函数()sin f x x ω=（ω＞0）.在[)5,0π内有7个最值点，则ω 的范围是______.【答案】133,102⎛⎤ ⎥⎝⎦14.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A=【答案】6π【解析】试题分析：由sin 23C B =得，3c b =，由223a b bc -=得，222233,7a b b b a b -==，由余弦定理得，2222223cos 22223b c a A bc b b +-===，所以6A π=．考点：解三角形．15.已知一正整数的数阵如下 1 3 2 4 5 6 10 9 8 7 …则第7行中的第5个数是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（12分）在ABC ∆中，32 , 1 , cos . 4AB BC C ===（Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）求CA CB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）A sin =814；（Ⅱ）32CB CA ⋅=u u u r u u u r ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）在ABC ∆中，32 , 1 , cos4AB BC C ===，可得72 , 1 , sin4c a C ===，已知两边和其中一边的对角，求另一角，显然符合利用正17.（12分）已知向量x ),1,(sin -=)23,(cos x =，)()(x f ⋅+=（Ⅰ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的值域； （Ⅱ）不等式)(x f ≤42)1(a a ++，当R a ∈时恒成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[2-；（Ⅱ）Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈,245,2411ππππ．【解析】试题分析：（Ⅰ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的值域，首先求函数)(x f 的解析式，而()()f x m n m =+⋅u r r u r ，因此需求出向量m n +u r r，才能计算数量积，而由已知m n x ),1,(sin -=)23,(cos x =，由向量的加法可求出m n +u r r ，从而得21()sin sin cos 2f x x x x =+-，通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，18.（12分）已知函数()2(0)f x kx k =+≠的图象分别与x 轴、y 轴交于,A B 两点，且)2,1(=，函数2()6g x x x =--，当x 满足不等式4)()(+≥x g x f ，时，求函数()1()2g x y f x +=+的值域.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈127,23y ． 【解析】19.（12分）斜三棱柱11B CA OAB -，其中向量,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r,三个向量之间的夹角均为3π，点,M N 分别在11,BA CA 上且111,2CM MA BN NA ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，2,2,OA OB OC==u u u u r u u u r u u u r=4，如右图（Ⅰ）把向量AM 用向量,a c r r表示出来，并求AM u u u u r ；（Ⅱ）把向量ON 用,,a b c r r r 表示；（Ⅲ）求AM 与ON 所成角的余弦值.=•AM 326,11ON =u u ur ,COS 〈=〉,AM ONAM ON⋅⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u u r =1547713即为AM 与ON所成的角的余弦值．O1A 1B CBAMN考点：向量加法与减法的几何意义，向量的夹角．20.（13分）已知,Ra∈函数Rxaxexfx∈+-=,)(2.（Ⅰ）求)(xf的单调区间和极值；（Ⅱ）当),0(+∞∈x时，不等式x e≥122+-axx恒成立，求a的范围.(ln4)2ln4f a=-+，无极大值；（Ⅱ）原不等式可化为：≥a2xex x12+-，令21()xx eg xx-+=可得2'1)1()(xexxxgx-+⋅-=，令xexxM-+=1)(，可得x exM-=1)('在),0(+∞∈x上恒小于等于零，所以函数g(x)= x e x x 12+-在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减，所以函数g(x)在),0(+∞∈x 上有最大值g(1)=2-e ，所求a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,22e a 考点：函数与导数，函数极值，单调区间，导数与不等式．21.（14分）函数)1ln()(+-=x x x f ，数列{}n a ，满足0＜1a ＜1，)(1n n a f a =+ ，数列{}n b 满足++∈+==N n b n b b n n ,)1(21,2111，（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求证：0＜1+n a ＜na ＜1；（Ⅲ）若221=a 且1+n a ＜22n a ，则当n≥2时，求证：n b ＞!n a n ⋅知0＜1a ＜1，)(1n n a f a =+ ，显然无法求通项公式，可考虑利用数学归纳法来证，结合函数)(x f 的单调性易证，证数列{}n a 单调递减，可用作差比较法)1ln(1n n n a a a +-=-+＜0证得，从而的结论；（Ⅲ）若221=a 且1+n a ＜22n a ，则当n≥2时，求证：n b ＞!n a n ⋅，关键是求n b 的通项公式，由211=b ，n n b n b )1(211+=+，所以211+=+n b b n n ，可得!2112211n b b b b b b b n n n n n n •=•=---Λ，只要证明1!2n n •＞!n a n ⋅，，即证12n n a <，因为221=a 且1+n a ＜22na ，则21nn n a a a <+，由此可得1312121111111212222222n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ----=•<•<•••=L L L ，所以211121222n n n n na a a -<≤=，即证得．。