高一数学月考试卷及答案

高一数学月考试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上． 1．ABC ∆的内角,,C A B 的对边分别为,,a b c ，若,2,3,sin 3
A a b
B π
=
===（ ）
A ．33
B ．43
C ．
33
4
D ．
43
3
2．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为( )
A ．900
B ．1200
C ．1500
D ．1800
3．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）
A ．π2
B ．π3
C ．
32π D ．3
3π 4．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是( )
A ．至少有一次中靶
B ．两次都中靶
C ．两次都不中靶
D ．恰有一次中靶
5．若坐标原点在圆x 2
+y 2
﹣2mx +2my +2m 2
﹣4＝0的内部，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣1，1）
B ．（−√2，√2）
C ．（−
√2
2
，
√2
2
） D ．（−√3，√3） 6．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，136
ABC A b S π
∆∠=
==，，，则
2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于（ ）
A ．
239
3
B ．2633
C ．
833 D ．237
7．P 是直线20x y +-=上的一动点，过点P 向圆22C (2)(8)4x y ++-=：引切线，
则切线长的最小值为( ) A ．22 B ．23 C ．2 D ．222- 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线D B 1与截面D C A 11所成的角
正弦为( ) A ．
6
6
B ．
33
C ．
16
D ．
13
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每题至少有两个正确答案，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案直接填涂在答题卡相应位置上． 9．下列说法正确的是( )
A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)
B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-
C ．直线310x y ++=的倾斜角为60°
D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 10. 在∆ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( )
A ．若A
B <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <
C ．若A B >，则
11
tan 2tan 2A B
> D ．若A B <，则22cos cos A B >
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13
B ．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
23
C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察
向上的点数，则点数之和是6的概率是5
36
D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12
EF =，则下列结论中
正确的是（ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF 平面ABCD
C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等
D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 答案
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线260ax y ++=与直线2
(1)10x a y a +-+-=平行，则a =
14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x (厘米)和体重y (千克)的数据如下表：
x 165 160 175 155 170
y
58
52
62
43
根据上表可得回归直线方程为y ＝0.92x －96.8，则表格中空白处的值为 ． 15．△ABC 中，AB =3,BC =4,AC =5,将△ABC 绕AB 边旋转一周，所得的三棱锥体积为 。

过顶点A 作一个截面AEF ，则截面AEF 面积最大值为
16．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b
2a ＋c
，则△ABC 的面积的最大值为
B
E
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机调查了5对父子的身高，统计数据如
下表所示．
M =“两对父子中儿子的身高都不低于父亲的身高”发生的概率；
②由表中数据，利用“最小二乘法”求y 关于x
的回归直线的方程．
参考公式： b ＝1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b
x x ==--=-∑∑，a ＝y －b x .
18．（本小题满分10分）已知直线:220l x y +-=．
①求直线1:2l y x =-关于直线l 对称的直线2l 的方程； ②求直线l 关于点(1,1)A 对称的直线方程．
19．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+．
①求A 的大小；
②若a =，12c =，求ABC ∆的面积S ．
20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，11A B AB M =，
N 是B 1C 1的中点．
①求证：MN ⊥平面A 1BC ；
②求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．
21．（本小题满分14分）某一圆形时钟秒针长度MP =6cm ，在其末端P 处装有一拍摄装置，拍摄其右侧装饰条BC 。

已知秒针最低点A 与装饰条底端B 处于同一水平位置，且距离AB =12cm ，记拍摄视角∠BPC =θ， ①当秒针末端P 运动到最高点D 时 30θ=︒，求装饰条BC 的高度；
②经测算当拍摄视角θ=45︒时，拍摄效果最好．若该装置秒针在旋转过程中能拍摄到最佳效果，求装饰条BC 的最低高度是多少．
22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆222
:(0)O x y r r +=>相切．
①直线l 过点(2,1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；
②已知直线y =3与圆O 交于A 、B 两点，P 是圆上异于A ,B 的任意一点，且直线AP 、BP 与y 轴相交于,M N 点，判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
θ
B
C
M
A
P D
M C
A 1
1
B N
高一数学月考试卷参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．ABC ∆的内角,,C A B 的对边分别为,,a b c ，若,2,3,sin 3
A a b
B π
=
===（ C ）
A ．33
B ．43
C ．
33
4
D ．
43
3
2．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为( B )
A ．900
B ．1200
C ．1500
D ．1800
3．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ D ）
A ．π2
B ．π3
C ．
32π D ．3
3π 4．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是( B )
A ．至少有一次中靶
B ．两次都中靶
C ．两次都不中靶
D ．恰有一次中靶
5．若坐标原点在圆x 2
+y 2
﹣2mx +2my +2m 2
﹣4＝0的内部，则实数m 的取值范围是（ B ）
A ．（﹣1，1）
B ．（−√2，√2）
C ．（−√2
2，√2
2
） D ．（−√3，√3）
6．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，136
ABC A b S π
∆∠=
==，，，则
2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于（ D ）
A ．
239
3
B ．2633
C ．
833 D ．237
7．P 是直线20x y +-=上的一动点，过点P 向圆22C (2)(8)4x y ++-=：引切线，
则切线长的最小值为( C ) A ．22 B ．23 C ．2 D ．222- 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，求直线D B 1与截面D C A 11所成的角正弦．( D )
A ．
6
6
B ．
33
C ．
16
D ．
13
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列说法正确的是( ABD )
A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)
B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-
C ．直线310x y ++=的倾斜角为60°
D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 10. 在∆ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( ABD )
A ．若A
B <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <
C ．若A B >，则
11
tan 2tan 2A B
> D ．若A B <，则22cos cos A B >
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是( BCD )
A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13
B ．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
23
C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察
向上的点数，则点数之和是6的概率是5
36
D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12
EF =，则下列结论中
正确的是（ ABD ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF 平面ABCD
C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等
D ．三棱锥A BEF -的体积为定值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，第15题第一空
2分，第二空3分，共20分）
13．直线260ax y ++=与直线2
(1)10x a y a +-+-=平行，则a = -1 14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x (厘米)和体重y (千克)的数据如下表：
x 165 160 175 155 170
y
58
52
62
43
根据上表可得回归直线方程为y ＝0.92x －96.8，则表格中空白处的值为 60 ．
15．△ABC 中，AB =3,BC =4,AC =5,将△ABC 绕AB 边旋转一周，所得的三棱锥体积为 16π 。

过顶点A 作一个截面AEF ，则截面AEF 面积最大值为
25
2
16．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知b =2且cos B cos C ＝－b
2a ＋c ，则△ABC 的面积的最大
值为 。

3
3
四、解答题（本题共6小题，共70分）
B E
17．（本小题满分10分）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机调查了5对父子的身高，统计数据如
下表所示．
编号 A B C D E 父亲身高x (cm ) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm )
175
175
176
177
177
①从这五对父子任意选取两对，用编号表示出所有可能取得的结果，并求随机事件M =“两对父子中儿子的身高都不低于父亲的身高”发生的概率；
②由表中数据，利用“最小二乘法”求y 关于x 的回归直线的方程．
参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b
x x ==--=-∑∑，a ＝y －b x .
【解析】（1）全部基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E B C B D (,),(,),(,),B E C D C E
(,),D E 共10个．其中事件M 所包含基本事件有(,),(,),(,)A C A D C D ，共3个，
所以3
()10
P M =
．………………………………………4分 （2）由题可得1741761761761781765x ++++==， 175175176177177
1765
y ++++=
= 6分． 所以5
1
5
2
1
(176)(176)
(2)(1)000211
ˆ400042
(176)
i
i
i i
i b
x y x ==---⨯-++++⨯==
=++++-∑∑， ……8分
所以1ˆ176176882a
=-⨯=，
所以回归直线的方程为1
ˆ882
x y =+．…………………………………10分
18．（本小题满分10分）已知直线:220l x y +-=．
①求直线1:2l y x =-关于直线l 对称的直线2l 的方程； ②求直线l 关于点(1,1)A 对称的直线方程．
【解析】 （1）由2
220
y x x y =-⎧⎨
+-=⎩解得交点P (2，0)．………………………………………1分
在l 1上取点M (0，－2)，
M 关于l 的对称点设为N (a ，b )，
则22202212()12
a b b a -⎧+⋅-=⎪⎪⎨+⎪-⋅=-⎪⎩，
解得1214
(,)55N ．………………………………………………………………………………4分
则2140571225
l k -==-，又直线l 2过点P (2，0)， 所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0．…………………………………………………………5分 （2）直线l 关于点A (1，1)对称的直线和直线l 平行，
所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0．……………………………………………………7分 在l 上取点B (0，1)，则点B (0，1)关于点A (1，1)的对称点C (2，1)必在所求的直线上， 所以2210m +⨯+=，所以m ＝－4，
即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0．……………………………………………...………… 10分
19．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+．
①求A 的大小；
②若413a =，12c =，求ABC ∆的面积S ． 【解析】
（1）因为2cos 2a B c b =+，
由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin A B C B =+， 由三角形内角和定理和诱导公式可得，
sin sin(())sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin =+A B A B ，
代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =++，
所以2cos sin sin 0A B B +=．………………………………………………………………2分 因为sin 0B >，所以2cos 10A +=，即1
cos 2
A =-．…………………………………4分 由于0A π<<，所以23
A =
π
．……………………………………………………………5分 （2）因为413a =，12c =，23A =π
所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
得2
2208144212cos 3
b b π=+-⨯，
解得4b =或16b =-（舍）. ……………………………………………….………………8分
所以112sin 412sin
123223
S bc A π
==⨯⨯=.……………………….………………… 10分 20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，11A B AB M =，
N 是B 1C 1的中点．
①求证：MN ⊥平面A 1BC ；
②求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．
【解析】
(1)证明 如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，得BC ⊥平面ACC 1A 1．
连接AC 1，则BC ⊥AC 1．
由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC ∩A 1C ＝C ， 所以AC 1⊥平面A 1BC ．
因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连接AB 1， 则点M 是AB 1的中点．
又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1．故MN ⊥平面A 1BC ．……………6分
(2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ， 连接BD ，则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角． 设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝
2
2
a ，BC 1＝2a ． 在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝1
2，
所以∠C 1BD ＝30°，
故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．…………………………………………………………12分
D
M A
B
B 1
A 1
C 1
C
N
22．（本小题满分14分）某一圆形时钟秒针长度MP =6cm ，在其末端P 处装有一拍摄装置，拍摄其右侧装饰条BC 。

已知秒针最低点A 与装饰条底端B 处于同一水平位置，且距离AB =12cm ，记拍摄视角∠BPC =θ，
①当秒针末端P 运动到最高点D 时 30θ=︒，求装饰条BC 的高度； ②经测算当拍摄视角θ=45︒时，拍摄效果最好．若该装置秒针在旋转过程中能拍摄到最佳效果，求装饰条BC 的最低高度是多少．
【解析】
（1）当P 在最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以
105BCD ∠=︒．在等腰三角形ABD 中，122BD =．…….…1分
由正弦定理得
sin105sin 30BD BC
=︒︒
，所以
122
12312
62
24
BC =
=-+⨯
． 所以BC 的高度为12312-．……………………………………… 6分 （2）设BC 的高度为h ，建立如图所示的直角坐标系，
圆2
2
:(6)36M x y +-=， 由正弦定理可知
2sin 45h R =︒，所以2
2
R h =，即PBC ∆的外接圆的半径为2
2
R h =
． 由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为
12,22h h ⎛⎫-
⎪⎝
⎭，……………………………………7分 所以点P 在圆22
2:12,12
222h h h N x y x ⎛
⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上，……………………………………9分
而点P 又在圆22
:(6)36M x y +-=上，
所以2
2
22612662222h h h h ⎛⎫⎛⎫
-≤-+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，……………………………………10分 解得
24(32)24(32)
77
h -+≤≤
．.............................................................................................14分 答： BC 的最低高度为24(32)
7
-时，可以拍摄到效果最好的照片．………12分
21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆2
2
2
:(0)
O x y r r +=>θ
B
C
M A
P D
x
y
高一数学阶段性测试（三）数学试卷 第 11 页 共 11 页
相切．
①直线l 过点(2,1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程； ②已知直线y =3与圆O 交于A 、B 两点，P 是圆上异于A ,B 的任意一点，且直线AP 、BP 与y 轴相交于,M N 点，判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】
∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切，
∵圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为r=10
1019=+．………………….……………1分
（1）记圆心到直线l 的距离为d ，∵d=1062-=．……………………………..………2分 当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；…………………………...……3分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0． ∵21221k
d k -==+，解得k=﹣34
，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0．………………5分 综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；………………………………………………6分 （2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．…………………………………………………… 7分 设P （x 1，y 1），
∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），
∵直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=
()11311y x x ---，y ﹣3=()11311y x x -++． 令x=0，得M （0，11131x y x --），N （0，11131
x y x ++）， ………………………………………9分 则221111112111339111
M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∵221110x y +=，即221110y x =-，
代入（*）式，得()221121910101M N x x y y x --⋅=
=-为定值．………………………………14分。