无穷级数小结

2.当l 1时，失效
5 Cauchy 判别法（根值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
n un ,
则
(1) 1（含0）时收敛 (2) 1（含）时发散
注意： 根值审敛法比较适合an
当 1时，失效
交错级数： 设un 0， (1)n1un 或 (1)nun
n1
n1
交错级数判别法（Leibniz 判别法) 若 (1)n1un 满足
n1 n1
n1
(2) 若 an 收敛 , bn发散， (an bn ) 肯定发散。
n1
n1
n1
性质 3 若级数 un 收敛(发散),则 un 也收
n1
n k 1
敛（发散）(k 1).且其逆命题也成立.
结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
特殊情况
n1
n1
(1)lim un 0, n vn
相当于 un vn
(2)lim n
un vn
, 相当于 un
vn
4 (D'Alembert)（比值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
un1 l un
则
(1) l 1（含0）时收敛
(2) l 1（含）时发散
注意:
1.比值 审敛法比较适合an及n!
n1
2.
比较判别法： un (un 0)、
vn ( n 0),
un vn ,
n1
n1
则
vn 收敛
un 收敛 un 发散 vn 发散
n1
n1
n1
n1
3.
比较法极限形式： un (un 0)、 vn ( n 0),
n1
n1
lim
n
un vn
l
则 0 l 时， un、 vn 具有相同的敛散性
uu11((xx0)u22(x)0)uu3(3x(x)0) unu(xn()x0)
称 这个为常定数义项在级区数间或I 上者的 收(敛函或数者项发)级散数 记为
un
(x)
n 1
❖函数项级数的和函数 在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x) 它称
为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x) 和函数的定义域就是级数的收敛域
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括号后所成的级数发散,则
原来级数也发散.
性质5 级数收敛的必要条件:
un收敛
lim
n
un
0.
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结论：当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零,
注意
1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,
则级数发散;
lim
n
un
常用来证明级数发散
0
n1
un发散
例如
(1)n1
n
1 2 3 L (1)n1
n
L
n1
n1 2 3 4
n1
2.必要条件而非充分条件.
1 发散，但 lim 1 0
n1 n
n n
正项级数审敛法
若 un 0, 则称 un是正项 级数
n1
1. un(un 0)收敛 部分和数列有界
n1
n1
结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛
注意:
| un | 收 敛 un 收 敛
n1
n1
| un | 发散 un发散
n1
n1
补充定理 如果任意项级数
un u1 u2 L un L
n1
满足条件
lim un1 l u n
n
当l 1时级数绝对收敛，当l 1时级数发散
正项级数 ? 是
无法判断
否
否
绝对收敛 ?
否
比较法及极限形式
正项级数判别法
比值法,根值法 部分和数列有界
是
积分判别法
发散
是
lim an1 1 ?（补充定理）
a n n
(liman 0 )
否
交错级数?
是 Leibniz 法
否
否
是
lim Sn S ?
狄利克雷判别法，
收敛
阿贝尔判别法
❖函数项级数 函数项级数的概念
定理（Dirichelet判别法） n
若
(1)
lim
n
an
0,且{an }单调；
(2)
{ bi }有界；
i 1
则 akbk收敛。
k 1
定理（Abel判别法）
若（1） an 为单调有界数列， (2)
则 akbk收敛。 k 1
bk收敛，
k 1
判断级数 an 的敛散性
n1
lim an 0 ? 是
无穷由级其数构(成简的称和级的数表):达设式给定 u数n 列 u1u1
, u2 ,
u2 L
un
,
un
L
n1
常数项级数：若 un 常数
函数项级数：若 un为函数u（n x）
幂级数：若 un an xn ,或un an ( x x0 )n 形式
n
部分和数列： Sn ui u1 u2 un
i 1
敛散性：若
lim
n
Sn
S,
则称 un 收敛，且称S为其和
n1
记为 S un u1 u2 u3 un n1
若
lim
n
Sn极限不存在，则为发散
级数的基本性质(四则运算法则)
性质1 若级数 an 收敛 ,常数c 0 ,则级数 can 也收敛,
n1
n1
且 can c an 若 an 发散 , c 0 ,则 can 也发散。
n1
(1)un 0
(2) un un1
(3)
lim
n
un
0
则其收敛, 且和 s u1;
注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散
绝对收敛： 若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n1
n1
条件收敛：若
un 发散，
un收敛，则称 un条件收敛
n1
n1
n1
关系：
若 un 收敛, 则 un 收敛
❖函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收敛域上有sn(x)s(x)(n)
un(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) xI
n 1
❖收敛点与发散点
使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点
收敛点的全体称为收敛域 发散点的全体称为发散域
提示: 对由于定每义一在个区确间定I上的的值函x0数I列 函{u数n(x项)}级所数构成成为的常表数达项式级数
n1
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s an ,s bn ,
n1
n1
则级数 (an ±bn )收敛,其和为s ±s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
注意
(1) 若 an 及 bn 都发散 , (an bn ) 未必发散。