从折纸引到N等分线段的探究杜梁衡-宁波外国语学校

从折纸引到N等分线段的探究

宁波外国语学校杜梁衡

（说明：本文中提到的未知数n、x、k均∈N）

用尺规作图等分一条线段，一直是数学作图题中经典中的经典。但在初中阶段只要求掌握对线段的二等分（或是2的N次方等分）。在一次讨论中，同学提出能否用尺规作图将一条已知线段三等分。随即引出了能否将一条线段无限等分（即在N等分中，N为任意正整数）。讨论陷入僵局。

这时，我突然想到最近在学习的折纸技法，其中就有将一张正方形纸九等分（即每边三等分）的方法。

探究一：将矩形纸片的一边三等分

D

如图，已知矩形纸片ABCD，并求1

3

AB

1）首先将正方形纸对折两次，即把AB四等分，得四等分线，记做L1、L2、L3；

2）如图保持A不动，将点B向上折使其交在L3上，得折痕AE；

3）再次沿L1、L2、L3折叠并在AB边上留下折痕交边AB于M、N

4）证明：易得AD∥L1∥L2∥L3∥BC

∴AM:MN:BN=AP:PQ:QR

又∵AP=PQ=QR

∴AM=MN=BN

AM即为所求

探究二：对于任意一张矩形纸片，可以对其一边进行n等分

证明：对于任意正整数n，可以使n=2x-k

1）一张矩形纸片对折x次后，可将其中一条边2x等分

2）参照探究一中的方法，将纸片的一角折起，使矩形的一顶点落在第n条折痕上3）沿原有的折痕翻折，根据平行线分线段成比例，可得n等分点

（图示为7等分矩形纸片一条边）

综上所述，矩形的一边可以通过折纸方法进行任意n等分。

通过仔细观察我们发现，n等分一条边是通过作连续的等距平行线，再使需要等分的边通过由此联想到是不是可以利用尺规作图对任意一条线段进行n等分。在课堂上，我们已经学习如何尺规作图平分一条线段。那么如何尺规作图将一条线段三等分甚至n等分呢？

探究三：尺规作图三等分一条线段

已知线段AB，求作1

3

AB

A

以点A为圆心,AB为半径画弧,

在弧上取一点C,连结AC,则AC=AB.

作线段AB的四等分点D,E,F,连结DC,

过点E作EG∥CD,过点F作FH∥AC,分别交AC于点G,H. ∵D,E,F为AB的四等分点

∴AF=EF=DE=BD

又∵FG∥GE∥CD

∴AH:HG:CG=AF:EF:ED=1:1:1

即AH=HG=CG

又∵AC=AB

∴AH=1/3AB

探究四：尺规作图n等分一条线段

已知线段AB，求作AB的n等分点。

对于任意一正整数N，可以做到N=2x-k

对于任意一条线段，可以做到将其进行2x等分

以A点为圆心，AB为半径作弧。在弧上取一点C,连结AC,则AC=AB.

作线段AB的2x等分点，记距点A第n个等分点为D。连结CD

过线段AB的2x等分点作CD的平行线，与线段AB的交点即为线段AB的n等分点

新的探究

在请教同学和老师后发现，尺规作图等分一条线段其实还有更简单的方法

已知线段AB，求作1

3

AB

以点A为一顶点任意作射线l

在射线l上取点C.以点C为顶点，AC为半径作弧，交射线l于点D

同理得到点E，连结BE，过点C,D分别作CG∥DF∥BE,交AB于点G,F ∵AC=CD=DE

∴AG=GF=BF

∴AG=1

3

AB

A

易证得一条线段通过上述方法可任意n等分

通过以上的探究我们不难发现，上述n等分线段的方法无一例外地运用了平行线等分线段定理。并且经过证明，利用平行线等分线段定理，可以将一条线段任意n等分。

在这次的探究过程中，我们深切地感受到，数学在我们的生活中无处不在。例如折纸中n等分一条边就利用了平行线等分线段定理。反之而言，尽管饶了很多弯路，但折纸技法也启发了我们对等分线段的探究。这使我们不得不叹服于数学的奥秘。