第45讲 切比雪夫不等式

第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式
§1大数定律
§2中心极限定理
§5.0切比雪夫不等式
定理（
切比雪夫不等式）
设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有
百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是
X 的取值偏离其均值E (X )的程度。

下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。

四川大学 徐小湛
证（连续型）设X的概率密度为f(x)
百度传课证（离散型）设X的分布律为
p k =P{X =x
k
}(k =1,2,.
.)
切比雪夫不等式的意义：
在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率
的一个估计范围。

切比雪夫不等式可用于以下情形：
在已知E(X), D(X)的情况下
(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。

(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即
确定满足不等式
的ε。

百度传课 、 。

切比雪夫 (1821~1894) Чебышёв
Che bys hev 俄罗斯数学家、力学家。

他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。

例子
解
例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。

42 16 8
P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1
课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。

假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。

10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-k
k =6801 = ∑ 计算量太大。

下面用切比雪夫不等式估计概率 P {6800 < X < 7200} 四川大学 徐小湛 解 用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数， 则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。

设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概传课率都是0.7。

假设电灯开、关时间彼此独立，试估
计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的
概率。

X ~ b(n, p) ⇒E(X) =np, D(X) =np(1-p) 用X表示在夜晚开着的电灯的盏数，
则X服从参数n=10000, p=0.7的二项分布。

=E(X) =np =7000平均有7000盏灯开着 =D(X) =np(1-p) = 2100
P{6800 <X <7200} =P{-200 <X -7000 < 200}
2100
=1-
≈0.95
40000
例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰 又，均方差 σ = 0.25 cm
动，零件长度有一定误差。

统计表明，零件的长度的均方差为 0.25cm 。

按要求，零件的实际长度在49.25cm 到50.75cm 之间算合格，
试用切比雪夫不等式估计该机床加工这种零件 的合格率的范围。

解 设X 表示零件的长度，X 的分布未知。

由题设，可以认为 μ =E (X ) =50 cm
一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件 长度有一定误差。

统计表明，零件的长度的均方差为 0.25cm 。

按要求，零件的实际长度在49.25cm 到 50.75cm 之间算合格，试用切比雪夫不等式估计该机 床加工这种零件的合格率的范围。

设X 表示零件的长度，X 的分布未知。

由题设，可以认为 μ =E (X ) =50 cm
又，均方差 σ = 0.25 cm
由切比雪夫不等式 P {49.25 < X < 50.75}
2 (0.25) =1- 8 (0.75)2 9 = = 0.89 (0.75)2 = P {X -50 <0.75} ≥1-。