集合知识点总结58919
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的事物构成的整体。
在数学中，集合有着丰富的应用和理论基础，下面将从集合的定义、表示、运算等方面进行全面总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总和。
用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
如果元素x属于集合A，我们用x∈A来表示。
如果元素y不属于集合A，我们用y∉A 来表示。
二、集合的表示1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示A为包含有元素1、2、3、4的集合。
2. 描述法：通过给出满足某个条件的元素来表示集合。
例如，集合B={x|x是正整数且x<5}表示B为包含小于5的正整数的集合。
三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示共同属于A和B的元素组成的集合。
2. 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B中所有元素组成的集合。
3. 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
4. 互斥：如果集合A和集合B没有共同元素，则称A和B互斥。
5. 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，表示为A⊆B。
6. 相等：如果集合A和集合B互为子集，则称A与B相等，表示为A=B。
四、集合的性质1. 空集：不含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
2. 等价类：将集合中的元素划分为若干等价类，每个类都满足某个特定的条件。
3. 无穷集合：包含无限多个元素的集合，例如自然数集合N、整数集合Z等。
五、集合的应用集合在数学中广泛应用于各个领域，特别是在概率论、统计学和离散数学中有着重要的作用。
在实际生活中，集合也常用于对事物进行分类、归纳和分析。
六、集合的补充除了上述基本的集合概念和运算外，还有一些补充的概念：1. 有限集合：只包含有限个元素的集合。
2. 无限集合：包含无限个元素的集合。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来系统地总结一下集合的相关知识点。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。
这些对象称为集合的元素。
例如，一个班级里的所有学生可以构成一个集合，其中每个学生就是这个集合的元素；自然数的全体也能构成一个集合，每个自然数都是其中的元素。
二、集合的表示方法1、列举法将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
2、描述法用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 的整数}。
3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），通过图形直观地表示集合之间的关系。
三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合，其元素必须是确定的。
也就是说，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模棱两可的情况。
2、互异性集合中的元素不能重复。
例如，集合{1, 1, 2}是不正确的，应该写成{1, 2}。
3、无序性集合中的元素没有顺序之分。
例如，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。
四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。
2、无限集集合中元素的个数是无限的。
比如自然数集就是一个无限集。
3、空集不含任何元素的集合，记作∅。
五、常见的数集1、自然数集：N ＝｛0, 1, 2, 3, …｝2、正整数集：N+ ＝｛1, 2, 3, …｝3、整数集：Z ＝｛…，－2, －1, 0, 1, 2, …｝4、有理数集：Q5、实数集：R六、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合B 的子集，记作 A ⊆ B。
特别地，如果 A 是 B 的子集，但 A 不等于 B，就称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
例如，集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。
一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。
二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。
记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。
并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。
2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。
记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。
交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。
3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。
记作A-B，其中A和B是待操作的集合。
差集包含了属于A但不属于B的元素。
4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。
一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。
记作A的补集为A'或A^c。
补集包含了全集中属于但不属于A的元素。
三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。
记作A⊇B。
如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。
2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。
3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。
记作A⊆B。
空集∅是任何集合的子集。
4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。
四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。
即N={1, 2, 3, …}。
2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。
集合知识点总结
欢迎共阅第一章 集合集合知识点总结： 一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母,,...A B C 表示。
集合A 为在集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的。
注意：若元素的范围为R 时，R ∈可以省略。
★经典例题：例一、现已知一个集合为{}21,,x x ，则实数x 满足的条件为 。
【1,1,0x ≠-】解：由于元素的互易性，因此得到关系221;1;x x x x ≠≠≠，从而解得1,1,0x ≠-。
例二、用适当的符号填空：0 ∈ {}0；0 ∉ ∅；∅ ∈ {}∅；0 ∉ N +；{}0 ≠ ∅。
例三、给定集合A B 、，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈。
若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *的所有元素之和为 。
【15】解：题意为从集合A 中任意选取一个元素，与集合B 中的任意一个元素作差，所1a- 验证140∆=-<，因此没有a 满足上述方程，即集合A 不能为单元素集合。
（3）由于题意有若a A ∈，则11A a∈-。
因此当11A a ∈-时，可有1111111a A a a a-==-∈--。
例六、以下集合各代表什么：①{}2,M m m k k Z ==∈——偶数②{}21,X x x k k Z ==+∈——奇数 这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。
③{}41,Y y y k k Z ==+∈——奇数④{}(,)1,P x y y x x R ==+∈——点集（有序数对集合）)10a b +=和当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =，符合题意；当0a ≠时，方程为2320ax x -+=，要求980a ∆=-=，即98a =。
综上所述，0a =或98。
（3）若A 中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结《集合》知识点总结一、概述集合是数学中的一个基本概念，用于表示具有共同特性或满足特定条件的元素的组合。
集合的概念广泛应用于数学、计算机科学和物理学等多个领域。
二、表示与描述1、集合的表示方法：通常使用大括号 {} 或 set() 函数来表示集合。
2、常见集合类型：空集（{}）、子集（A）、满足特定条件的集合（如自然数集、有理数集等）。
三、运算和操作1、交集：表示两个或多个集合的公共元素，用符号“∩”表示。
2、并集：表示两个或多个集合的所有元素，用符号“∪”表示。
3、差集：表示在某个集合中去除另一个集合的元素后得到的集合，用符号“-”表示。
4、补集：表示在某个集合的基础上添加另一个集合的元素后得到的集合，用符号“⊕”表示。
四、基本概念和理论1、集合的大小：用势（cardinality）来表示一个集合中元素的数量。
2、子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称该集合是另一个集合的子集。
3、包含关系：如果一个集合包含另一个集合的所有元素，则称该集合包含另一个集合。
4、空集：不包含任何元素的集合称为空集。
空集是任何集合的子集。
5、全集：在某些情况下，需要指定一个包含所有元素的集合为全集。
五、应用实例1、在数学中，集合的概念被广泛应用于排列组合、图论等领域。
例如，排列组合中的排列、组合都是基于集合的概念。
2、在计算机科学中，集合经常用于数据结构和算法设计中，如哈希表、二叉搜索树等。
3、在物理学中，集合的概念被用于描述具有共同特性的物体或现象，如力场、磁场等。
六、总结集合是数学中的一个基本概念，它用于表示具有共同特性或满足特定条件的元素的组合。
掌握集合的基本运算和操作，理解集合的基本概念和理论，对于数学、计算机科学和物理学等多个学科的学习都具有重要意义。
通过了解集合的应用实例，我们可以更好地理解这个概念的实际意义。
随着数学和相关领域的发展，集合论已经成为一个独立的分支学科，为研究无穷、极限等问题提供了基础。
集合的知识点公式归纳总结
集合的知识点公式归纳总结集合的知识点公式归纳总结一、引言集合是数学中重要的基础概念之一，广泛应用于各个数学分支以及其他学科领域。
本文旨在对集合的基本性质、运算、特殊集合等知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用集合相关的知识。
二、集合的基本定义1. 集合的概念：集合是由一些元素组成的整体或集合。
2. 集合的表示方法：通常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示，集合的元素用花括号{}括起来。
3. 集合的元素：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，元素与集合的关系用属于符号∈表示，不属于用∉表示。
三、集合的基本性质1. 集合的相等性：两个集合A和B相等，当且仅当A的所有元素都是B的元素，而B的所有元素也都是A的元素。
记作A = B。
2. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作A ⊆ B。
3. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，通常用大写字母U表示。
四、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集是同时属于A和B的元素的集合，记作A ∩ B。
2. 并集：集合A和集合B的并集是属于A或B的元素的集合，记作A ∪ B。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A - B。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或A的补集。
五、集合的特殊集合1. 自然数集：包含0和正整数的集合，记作N。
2. 整数集：包括负整数、0和正整数的集合，记作Z。
3. 有理数集：包括所有能表示为两个整数的比值的数的集合，记作Q。
4. 无理数集：不能表示为两个整数的比值的数的集合。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，记作R。
六、集合的常用公式1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪ C)3. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)4. 德摩根定律：(A ∩ B)' = A' ∪ B'，(A ∪ B)' = A' ∩ B'七、集合的应用举例1. 集合的分类：- 奇数集合：包含所有奇数的集合，记作O = {x | x ∈ Z, x为奇数}。
集合知识点
一、集合知识点一、集合的概念1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：在一定范围内某些确定的不同的对象的全体，就构成一个集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ（以空集为元素的集合），}0{（以数字0为元素的集合），注：应区分Φ（空集），}0（数字0，可以是某个集合的元素）等符号的含义5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.二、集合的表示方法1、大写的字母表示集合。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大(花)括号内{ }表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）列举法中元素之间用逗号，隔开。
关于数学集合知识点总结
关于数学集合知识点总结一、集合的概念集合是数学中的基本概念之一，它是一种把确定的对象按照某种特性归拢在一起的数学对象。
在集合论中，一般用大写字母A,B,C,...表示集合，用小写字母a,b,c,...表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，就把a写在A的花括号内，表示为a∈A，反之，如果a不是A的元素，就写为a∉A。
集合的表示方法有两种：一种是列举法，即直接写出集合的元素；另一种是描述法，即用一个性质或条件来描述集合中的元素。
例如，集合A={1,2,3,4,5}和B={x| 0 < x < 6}，A是用列举法表示的，B是用描述法表示的。
集合之间的相等关系是指两个集合的元素完全相同，即这两个集合互为子集，还满足a∈A则a∈B，b∈B则b∈A。
集合的相等关系用等号“=”表示。
如果A=B，则称集合A与集合B相等，记作A=B。
反之，如果A≠B，则称集合A与集合B不相等。
二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，集合A∪B={x| x∈A或x∈B}称为集合A与集合B的并集。
简言之，并集就是将属于A或者属于B的元素全部集合在一起。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集设A和B是两个集合，集合A∩B={x| x∈A且x∈B}称为集合A与集合B的交集。
简言之，交集就是将属于A且属于B的元素全部集合在一起。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∩B={3}。
3. 补集设U为一个包含集合A和集合B的全集，而集合A是U的一个子集，那么U-A={x| x∈U且x∉A}称为集合A相对于全集U的补集。
简言之，补集就是全集中不属于A的元素组成的集合。
例如，如果全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，那么U-A={4,5}。
4. 差集集合A-B={x| x∈A且x∉B}称为集合A相对于集合B的差集。
简言之，差集就是属于A但不属于B的元素组成的集合。
集合数学知识点总结
集合数学知识点总结一、知识概述《集合》①基本定义：集合就是把一些确定的东西放在一起，就像把一群小伙伴聚在一个小圈子里，这些东西就叫做集合的元素。
比如说，一个班级里所有的学生就可以看成一个集合，班级里的每个学生就是这个集合的元素。
②重要程度：在数学里超级重要，很多数学概念和运算都是基于集合的概念建立起来的。
像函数的定义域、值域都是集合，数系也可以用集合来表示。
③前置知识：有点数的概念、了解简单的分类思想就好。
比如知道不同类型的图形，或者不同的数字分类。
④应用价值：在生活里安排活动时能用到。
像统计喜欢不同运动的人群，把喜欢篮球的人放在一个集合里，喜欢足球的人放在另一个集合里，这样就能清楚知道各类人群的状况。
在计算机里，数据库存储数据也类似集合概念，方便数据管理。
二、知识体系①知识图谱：集合是数学的基础概念，在代数、几何等很多分支中都会用到，是构建其他更复杂知识的基石。
②关联知识：和函数、数列等知识关系密切。
比如函数定义域和值域都是集合，数列可以看成是按照一定顺序排列的数的集合。
③重难点分析：掌握难度还行，难的点在于理解集合元素的确定性等特性。
关键就是要把概念搞清楚。
④考点分析：在考试里经常考，选择题、填空题里很常见，可能会考查集合的表示、集合间的关系、集合的运算等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：集合就是把确定的、彼此可区别的对象汇聚成的整体。
这里的确定意思是元素必须是明确的，不能模棱两可。
比如说“身材高大的同学”就不能构成一个集合，因为“身材高大”这个标准不明确。
而“一米八以上的同学”就能构成集合，因为这个标准很清晰。
②特征分析：集合元素有确定性、互异性、无序性。
确定性刚才讲了，互异性就是集合里的元素不能重复，像{1,1,2}就不符合集合元素互异性，得写成{1,2}。
无序性就是元素的顺序没关系，{1,2,3}和{3,2,1}表示的是同一个集合。
③分类说明：集合分为有限集，像一个班级里的学生人数有限，这个班级学生构成的集合就是有限集；无限集，像全体自然数构成的集合就是无限集；还有空集，就是不含任何元素的集合，就像一个空盒子表示的就是空集。
(完整版)《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” ① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A)③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A 交B’）即A B=｛x|x ∈A 且x ∈B｝．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作A B （读作‘A 并B ’），即AB={x|x ∈A，或x ∈B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作UCA ，即{|,}UC A x x U x A =∈∉且韦恩 图 示A B图1AB图2性 质A AB B A A B A A B B⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆⋂⊆A A A A AA B B A A B A A B B⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇ ()()()uuuC A C B C A B ⋂=⋃()()()uuuC A C B C A B ⋃=⋂()uA C A U ⋃=()uA C A ⋂=∅（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数SA。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
在本文中，将对集合的定义、特性、运算、等价关系以及常用的集合表示法进行全面总结。
一、集合的定义和表示集合是由一些特定对象所组成的整体，在集合中，每个对象被称为集合的元素。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
一般情况下，如果元素x属于集合A，我们会用x∈A来表示。
集合的表示有多种方式，常见的有以下几种：1. 列举法：直接列举出集合中的所有元素，用大括号括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 描述法：通过给定元素的特征或者满足的条件来描述集合。
例如，集合B = {x | x 是自然数，且 x < 10}。
3. 符号法：用符号来表示集合的特定性质。
例如，N 表示自然数集合，R 表示实数集合。
二、集合的特性1. 互异性：集合中的元素都是互不相同的，即集合中不会出现重复的元素。
2. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间的排列顺序不影响集合的性质。
3. 集合的基数：集合中元素的个数称为集合的基数，用n(A)来表示。
三、集合的运算1. 并集：表示将两个集合中的所有元素合并在一起，用符号∪表示。
例如，A ∪ B 表示集合A和集合B的并集。
2. 交集：表示两个集合中共有的元素，用符号∩表示。
例如，A ∩ B 表示集合A和集合B的交集。
3. 差集：表示一个集合中除去另一个集合中共有的元素，用符号-表示。
例如，A - B 表示集合A除去集合B中的元素所得到的差集。
4. 补集：表示一个集合相对于全集中除去该集合的元素所得到的差集，用符号'表示。
例如，A' 表示集合A的补集。
5. 子集：如果一个集合的所有元素都在另一个集合中，我们称这个集合为另一个集合的子集，用符号⊆表示。
例如，A ⊆ B 表示集合A是集合B的子集。
6. 相等：如果两个集合具有相同的元素，则这两个集合相等，用符号=表示。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是数学中常见的一个概念，也是许多其他数学分支的基础。
本文将对集合的定义、基本操作、集合运算以及一些常见的集合类型进行总结，以帮助读者更好地理解和应用集合概念。
一、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母表示，元素则用小写字母表示。
例如，集合A = {a, b, c, d} 表示由元素a、b、c、d 组成的集合。
集合中的元素没有顺序之分，而且每个元素只出现一次。
如果一个元素x属于集合A，我们可以写作x ∈ A。
如果元素y不属于集合A，我们可以写作y ∉ A。
二、基本操作1. 并集：如果x是A或B中的元素，则x属于A∪B。
A∪B 表示以原集合A和B中的所有元素构成的新集合。
2. 交集：如果x是A和B中的元素，则x属于A∩B。
A∩B 表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。
3. 差集：如果x是A中的元素，但不是B中的元素，则x属于A-B。
A-B 表示在集合A中，但不在集合B中的元素组成的新集合。
4. 补集：对于全集U和集合A，A的补集表示U中不属于A的元素组成的集合。
三、集合运算除了基本操作以外，还有一些常见的集合运算，如幂集、笛卡尔积等。
1. 幂集：幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
记作P(A)。
例如，集合A = {1, 2}，那么它的幂集P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }。
2. 笛卡尔积：如果A和B是两个集合，它们的笛卡尔积表示为A×B，它是所有形如(a, b)的有序对构成的集合，其中a属于A，b属于B。
四、常见的集合类型1. 自然数集：N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集：Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}3. 有理数集：Q = { p/q | p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 }4. 实数集：R = [ -∞, +∞ ]5. 复数集：C = { a + bi | a ∈ R, b ∈ R, i^2 = -1}五、应用举例集合的概念在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
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《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{} 如： { 我校的篮球队员} ，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}用拉丁字母表示集合： A ={我校的篮球队员}, B ={ 1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法： { a, b,c,d,}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{ x | x 3 2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn 图 :记作： N注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）正整数集N *或 N整数集 Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{ x | x25}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意： A B 有两种可能（ 1）A是 B的一部分；（2） A与 B是同一集合。
反之，集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A, 记作A B 或B A2.“相等”关系： A=B (5 ≥5，且 5≤5，则 5=5)例：设 A={x| x210 } B={-1,1}“元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A A②真子集 :如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A B(或 B A)③如果 A B, B C ,那么 A C④如果 A B 同时 B A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
结论：有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n 1个真子集三、集合的运算运算交集并集类型由所有属于 A 且属于 B由所有属于集合 A 或属的元素所组成的集合于集合 B 的元素所组成定叫做 A,B 的交集．记作的集合，叫做A,B的并义A B（读作‘A 交 B’）集．记作 A B（读作‘ A 即 A B=｛ x|x A 且并 B ’），即 A Bx B｝．={x|x A，或 x B}) ．韦恩A B A B图示图 1图 2补集设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作C U A，即C U A { x|x U,且x A}SA性质A A A(C u A) (C u B) C u (A B)AA A(C u A) (C u B) C u (A B)A B B AB B AA BAAB A A(C u A) UA BABB BAA(C u A)（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A A B B A②集合结合律③集合分配律( A B) C A ( B C )( A B) C A ( B C )A (B C) ( A B) ( AC ) A ( B C ) ( A B) ( A C )（3）容斥定理card (A B) card ( A) card ( B) card ( A B)card ( A B C ) card ( A) card ( B) card (C ) card ( A B) card ( A B) card (B C ) card ( A B C )card 表示有限集合 A 中元素的个数。
总结集合的知识点
总结集合的知识点一、基本概念1. 集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
其中的每个对象称为元素，可以是任意的事物或抽象的概念。
集合通常用大写拉丁字母A、B、C等来表示，元素通常用小写字母a、b、c等来表示。
如果x是集合A的一个元素，我们会用x∈A来表示。
反之，如果x不是A的元素，则用x∉A来表示。
2. 集合的表示法集合的表示法主要有三种：枚举法、描述法和集合构造法。
（1）枚举法：直接用大括号将集合中的元素写出来。
例如，A={1,2,3,4}。
（2）描述法：用一个性质来描述集合中的元素。
例如，A={x|x是正整数，且x小于5}。
（3）集合构造法：由已知的一个或几个集合构造一个新的集合。
例如，如果A={a,b,c}，B={c,d,e}，那么A∩B={c}。
3. 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，通常用∅或{}来表示。
全集是讨论的所有对象的集合，通常用U来表示。
二、集合的运算1. 并集若A和B是两个集合，则A和B的并集是一个集合，它包含了A和B中的所有元素。
符号为A∪B。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集若A和B是两个集合，则A和B的交集是一个集合，它包含了既属于A又属于B的所有元素。
符号为A∩B。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∩B={3}。
3. 差集若A和B是两个集合，则A和B的差集是一个集合，它包含了属于A但不属于B的所有元素。
符号为A-B。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A-B={1,2}。
4. 补集对于给定的集合A，在全集U中，A的补集是指所有不属于A的元素所构成的集合。
符号为A'或A^c。
5. 笛卡尔积若A和B是两个集合，则A和B的笛卡尔积是一个集合，它包含了所有形式为(a, b)的有序对，其中a∈A，b∈B。
符号为A×B。
三、集合的性质1. 交换律、结合律和分配律集合的并、交运算满足交换律、结合律和分配律。
数学集合知识点总结
数学集合知识点总结一、集合的定义和表示方法1. 集合的定义集合是指具有某种共同特性的事物的总体，这些事物称为集合的元素，用大写字母A、B、C……表示集合。
一个集合可以用列举法表示，也可以用描述法表示。
列举法是把集合的全部元素一一列举出来，用大括号{}括起来；描述法是指按照某种共同特征描述集合的元素。
2. 集合的表示方法集合可以通过集合的符号、描述法、或图形等形式来进行表示。
集合的符号表示通常用大写字母A、B、C……来表示，集合的元素用小写字母a、b、c……来表示。
描述法表示是指用描述集合的元素的特征性质的陈述来表示集合。
图形表示可以通过Venn图或欧拉图。
二、集合的基本概念1. 集合的相等如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，且集合B的所有元素都是集合A的元素，那么称A和B是相等的，并且表示为A＝B。
2. 子集、真子集和空集若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，表示为A⊆B。
如果A不等于B，那么A是B的真子集，表示为A⊂B。
不含任何元素的集合称为空集，表示为∅。
3. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集和差集。
并集：集合A和B的并集是包含A和B的所有元素的集合，表示为A∪B。
交集：集合A和B的交集是包含A和B的公共元素的集合，表示为A∩B。
补集：集合A相对于全集U中的元素，不属于A的元素组成的集合称为A的补集，表示为A’或A的补。
差集：集合A相对于集合B的差集是指属于A而不属于B的元素组成的集合，表示为A-B。
三、集合的基本定理1. 德摩根定理德摩根定理是集合论中的一个基本定理，它表示集合的补集的并集等于集合的交集的补集，集合的补集的交集等于集合的并集的补集。
这一定理在集合的运算中有着重要的作用。
2. 穷举法则穷举法则是集合论中的一个重要定理，它表示集合A包含n个元素，那么集合A的幂集合包含2n个元素。
这一定理也经常用于集合的运算中。
四、集合的应用1. 集合的应用于概率论集合论在概率论中有着广泛的应用，它用来描述和操作随机试验中的事件，是概率论的基础。
集合知识点总结
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系通常用大写拉丁字母A ，B ，C ···表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ···表示集合中的元素 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.（8）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 二．直击考点（一）、判断集合间的关系例1已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}2,3MN = D ．{}1,4MN =例2设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 （ ）名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅（3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C u{|,}x x U x A ∈∉且 （1）=)(A C A u ø（2）=)(A C A u U（3）)()()(B C A C B A C u u u =（4）)()()(B C A C B A C u u u =（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆ （D ）P C Q R ⊆（二）、集合间的运算例3．已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U )(为（ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}例4．已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3} , (C U B)∩A={9},则A= （A ）.{1,3} (B).{3,7,9} (C).{3,5,9} (D).{3,9} 例5. 已知集合A={}1,),(22=+y x y x y x 为实数，且，B={}1,),(=+y x y x y x 为实数，且，则A ⋂B 的元素个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .（三）、由集合间的关系及运算求字母参数的值或范围例7．已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3例8． 已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）（四）集合中的新定义问题例9.定义集合运算：{}.,,B y A x xy z z B A ∈∈==*设{}{}2,0,2,1==B A ,则集合B A *的所有元素之和为 （ D ）A.0B. 2C. 3D. 6例10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)c （ ）A.aB.bC.cD.d 例11设{}{}{}等于则若且N M N M B x A x x B A -==∉∈=-,10,9,8,7,8,7,6,5,4, ( ) A ．{4，5，6，7，8，9，10}B ．{7，8}C ．{4，5，6，9，10}D ．{4，5，6}四． 课后作业1．设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d2．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(C U Q) =（ ）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}4．已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则（ ）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅5．已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的（ ）A ．N M ⊆B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋂=D ．{}2M N ⋂=6．已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆C ．D C ⊆D ．A D ⊆7．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为 （ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．108．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0} 10. 设全集U 为R,，集合2{|50}A x x x q =-+=，2{|120}B x x px =++=，若{}{}4)(2)(==A C B B C A U U ，，求实数p 、q 的值及B A .。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
有关于集合的知识点总结
有关于集合的知识点总结有关于集合的知识点总结集合是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。
小编整理的集合的知识点，供参考！一．知识归纳：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的`性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
(完整版)集合知识点归纳
集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，¡1，¡2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
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第一章集合与函数概念
课时一：集合有关概念
1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、(优秀的，漂亮的，聪明的，难的，简单的，都不可以构
成集合)
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A
A⊆（或B⊇Ａ）
是集合B的子集。
记作：B
A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。
注意：B
⊆/B或B⊇/A
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
2. 真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。
3．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
4. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集（真子集总比子集少一个）
5、集合的性质
即：①任何一个集合是它本身的子集。
A?A
②空集是任何集合的子集
③空集是任何一个非空集合的真子集。