组合数的两个性质教案
高二数学最新教案-组合数的两个性质 精品
1、36；2、36；3、210；4、91。
5、150；6、7200；7、42。
2018年7月18日
由上知， 与 的结果是一样的，但哪一个运算方便呢？由此得：
性质1可用于简化组合数 的计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算 。
当m=n时， ，故规定 =1。
练习若 ，则x的值是；已知 则m=.
3、由此可知，在 、 、 、…、 中，与两端等距的两个组合数相等。
3、用计算方法验证下列各式
与 ； 与
它们之间有何关系？由此你可得出什么结论？
课题：
授课教师：丁蜀高级中学汤文兵
教学目的
1、使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，
2、使学生能利用组合数的两个性质进行运算，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点难点
重点：组合数的两个性质及证明．
难点：组合数的两个性质的运用．
教学模式
讲解研讨法
教学过程
教学方法
引入
1.什么叫组合数？组合数公式是什么？
2、在推导组合数公式的过程中，得到这样的式子： ，这就是排列数与组合数之间的关系式，从中可以看出排列问题和组合问题的本质区别就是元素有、无顺序问题．
利用公式计算组合数较为方便，当对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式方便沟通它们之间的联系。
组合数公式 = = =
讲解为主
概念分析
1、师：下面我们进一步讨论：
利用公式计算组合数公式计算并考察
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。
它们之间有何规律？
2、据学生回答，引导得出如下规律
性质1： = （m n∈N且m≤n）
如何证明呢？
3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
6. 教学指导书：为学生提供一本教学指导书，其中包括本节课的学习目标、教学内容、学习方法、练习题和答案等，以便学生能够更好地学习本节课的内容。
作用和目的：通过拓展练习和数学活动，帮助学生深入理解和应用组合数及其性质，提高学生的数学应用能力。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
《组合数学导论》（作者：Richard A. Brualdi，ISBN：978-0-521-57498-1）
《概率论与数理统计》（作者：李尚志，ISBN：978-7-04-038045-0）
3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为组合数及其性质，属于北师大版（2019）选择性必修第一册，第3.2节。
组合数是组合数学中的基本概念，它是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。组合数具有以下性质：
板书设计
1. 组合数的定义与计算公式
- 定义：组合数是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。
- 计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
2. 组合数的性质
- 非负性：C(n,m) ≥ 0，且当n=m时，C(n,m)=1。
- 对称性：C(n,m) = C(n,n-m)。
2. 组合数的性质：组合数的非负性、对称性和组合性。
3. C(5,2) = 5! / [2!(5-2)!] = 10。
高中三年级上学期数学《探究与发现-组合数的两个性质》教学设计
《组合数的两个性质》----教学设计一、教学任务分析1．教材分析组合数的性质是“16.排列组合与二项式定理”单元的第8课时，在这之前已经学习了两个计数原理——乘法原理、加法原理以及排列、组合的知识，本节课作为学习组合数的后续延伸,研究组合数的两个性质，既是对前面所学计数原理、排列等知识的综合应用，也是为后续二项式定理的学习、乃至大学组合数学学习做好知识储备.从思想方法上看，探究组合数两个性质的过程也是从组合意义出发构建组合模型的过程，有助于在过程中发展数学建模的核心素养.在发现性质到证明性质的过程中发展数学逻辑推理的核心素养.组合性质1蕴含着补集的想法，激活学生正难则反的逆向思维；组合性质2蕴含着分类讨论的计数思想，是对加法原理的建模运用.学习组合性质对育人和培育核心素养，即培养学生用数学眼光看世界，能活用所学数学知识建模解决问题，在此过程中提升思维的品质、发展逻辑思维能力.2．学情分析通过前面对两个计数原理与排列、组合等相关知识的学习，学生的认识从枚举计数上升为用计数的基本原理求解计数问题，初步实现了感性认识向理性认识的升转化，继续学习排列、组合后这种理性认识将继续深化.二、教学目标1.理解组合数性质的推导过程，掌握组合数的两个性质，并会应用其解决简单的问题；2.在自主探究过程中，感悟特殊组合问题背后的一般规律，体会构建组合模型证明组合恒等式的方法；3.在交流分享成果的活动中，树立有序思考、充分表达的理性精神，在证明组合数性质中发展逻辑推理素养.三、教学重点和难点重点组合数的两个性质.1难点组合意义的模型构建，以及用模型证明组合数的性质.四、教学技术与学习资源的运用多媒体；教具；课堂学案.五、教学设计思路鉴于组合数的两个性质比较抽象，如果对组合的意义理解不到位，学生常常会把性质2中的上下标搞混淆.因此，我通过创设活动，让学生充分体验运用组合的意义探究其性质的过程：发现性质、提炼性质、论证性质、运用性质；充分运用生生评价、师生评价策略在课堂对话中碰撞出思维的火花深化理解；在课堂对话中凸显有序思考、充分表达培育学生的理性精神；在证明过程中强调理由充足彰显学科育人价值，发展逻辑推理素养.通过创设“活动1、2”环节破解本节课的难点，在探究活动中自主构建组合性质知识，感悟补集思想、分类思想在计数中的作用，在构建组合模型的过程中发展学生数学建模素养与创新精神.在学生掌握两个组合性质以及构建组合模型证明组合恒等式的方法后，通过“能力提升”环节，运用例题和变式练习，达成巩固知识方法和提高运用组合性质解决问题的能力的目的.课堂小结环节，选择了在杨辉三角中找组合性质的方式，梳理本节课所学知识，在看似分散、孤立的性质之间建立了联系，并突出知识间的关联性，凸显加强单元教学设计整体大于部分和的整体设计效应.六、教学流程（一）创设问题情境探究活动1（现场调查：）一个调查问题：高考结束以后的旅游地的选择！（4选3）探究活动2利用原有的计算能力计算组合数性质，从直观上得到结论！(二)新授课23从特殊到一般的推广1在探究活动1中，我们能否把这个问题推广到一般情形呢？说说你的构建的模型：可用数学符号可表示为：组合性质1：m n m n n C C -=.探究活动3：一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?通过实例引出性质2组合性质2：11m m m n n n C C C -+=+.对组合性质2的理解：如果是在n 位队员中任意选派1m +位参赛选手呢？有1111m m m n n n C C C ++--=+如果是在+1n 位队员中任意选派1m +位参赛选手呢？有11+1m m m n n n C C C ++=+（看来我们死记硬背公式还是很容易发生混淆，理解公式的组合意义对准确掌握组合性质公式很重要）.又如，如果例题中的问题是选派4位选手参加4100⨯的接力跑比赛，会有什么不同呢？ 接力跑需要考虑参赛选手被安排在第几棒，还需要考虑选出的4位参赛选手的次序.4439884P P P =+（先安排好3位学生后，再安排老师）44349884P P C P =+（选定好3位学生人后，和老师一起安排）4()4439884!4!C C C ⨯=+⨯（用刚才获得的结论直接过渡过来）（三）巩固新知，发展能力给出课堂练习，提升能力(五)布置作业.选做作业：你还能在杨辉三角形中找到其他组合性质吗？下次课分享你的发现.。
组合数的性质优秀教学设计
课题：组合数的性质问题阐述:根据新课标的要求，组合数的性质是在学习组合后在学习的，人教A版的教材中把组合数的性质安排在“探索与发现”部分据了解，大部分教师在处理这一知识点是直接将组合数的两个性质告知学生，让学生记住就好，殊不知，学生是根本记不住的，就算记住也是暂时的，记住了也不会应用，根源还是在于不知道性质的来源。
故为了突破这一难点，笔者设计了这一节的教学设计，以问题为载体，目的在于让学生对组合数的两个性质知其然并且知其所以然。
二：教学目标1. 理解并能熟练掌握组合数的两个性质及其应用。
2. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。
三：教学重难点：如何理解组合数的两个性质是本节课的重点，也是难点。
四：教学过程设计：（一）复习引入：请同学们回顾一下组合的定义。
学生答（略）（二）探求新知1.探寻组合数性质（1）现n N*,m N*E n）(1) 从高二(1) 班107女生宿舍6人中选出2 人去参加爱心义卖活动, 有多少种选法?(2) 从高二(1)班107女生宿舍6人中选出4人去参加义务劳动,有多少种选法?(3) 从高二(1) 班的7名班委中选出3 名为市级优秀班委,有多少种选法?余下的4名为校级优秀班委,有多少种选法?学生活动: 学生分析后作答.教师提问1:你能从(1)(2) 中发现什么?第(3)问中又发现了什么?谈谈你的看法?设计意图:让学生从特殊例子中去发现一般的规律, 对组合数的第一个性质有初步的认识.教师提问2:在同一坐标系中, 画出函数f(x)= C n x(n=1 ，2，3，4，5, 6, 7, x< n且x € N*)的图象，根据图象回答下列问题：(1)函数的图象有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？(2) 请从数与形两个方面来分析函数f (x)二的特征。
教师先借助计算机显示在同一直角坐标系中函数f(x) =(n=1, 2,3, 4, 5, 6, 7, x< n且x € N*)的图象，引导学生观察，探究，探寻问题的本质.设计意图: 通过学生个别学习,让学生自己抽象概括,揭示问题的本质。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。
教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。
通过具体的例子，让学生理解组合的意义。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。
1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。
教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。
教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。
2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。
教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。
教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。
第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。
教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。
3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。
教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。
高二数学教案组合(2)
组合（2）——组合数的性质一、课题：组合（2）——组合数的性质二、教学目标：1．掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；2．进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题。
三、教学重、难点：组合数的性质。
四、教学过程：（一）复习、引入：1．排列和组合的定义及其区别，组合数公式；强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：（1）45210=C （组合问题） （2）90210=A （排列问题） 3．练习 （1）计算：① 310C 和710C ；26C 和46C ．根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。
答案：① 120，120； ② 15，15．（此练习的目的为下面学习组合数的性质1打下基础）．（二）新课讲解：1．组合数的性质1：m n n m n C C -=．理解：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又 )!(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -=。
说明：①规定：10=n C ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化，例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．示例：（课本101例4）一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C ；（2）2127=C ；（3）3537=C ． 引导学生发现：=38C +27C 37C ，并要求用组合的知识解释，根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。
组合数性质教案
组合数性质教案教案标题：组合数性质教案一、教学目标：1. 理解组合数的概念和性质2. 掌握计算组合数的方法和技巧3. 能够应用组合数解决实际问题二、教学重点和难点：1. 理解组合数的性质和应用2. 掌握组合数的计算方法3. 解决实际问题时的应用能力三、教学内容：1. 组合数的概念和性质2. 组合数的计算方法3. 组合数在实际问题中的应用四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引出组合数的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 讲解：介绍组合数的定义和性质，讲解组合数的计算方法和技巧。
3. 练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生应用组合数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调组合数的重要性和应用价值。
五、教学方法：1. 启发式教学法：通过生动的例子和引导性的问题，激发学生的思维，引导他们主动探索组合数的性质和应用。
2. 讨论式教学法：鼓励学生提出自己的见解和想法，促进学生之间的交流和讨论，培养学生的团队合作精神。
3. 实践性教学法：设计一些实际问题，让学生动手实践，培养学生的动手能力和实际应用能力。
六、教学工具：1. 教科书和课件2. 白板和彩色笔3. 练习题和实际问题的案例七、教学评估：1. 课堂练习：观察学生在课堂上的表现和答题情况，及时发现问题并进行指导。
2. 作业评定：布置作业，检查学生对组合数的理解和应用能力。
3. 实际问题解决能力：通过学生在实际问题中的解决能力，评估他们对组合数的掌握程度。
八、教学反思：根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法和内容，不断完善教学过程，提高教学效果。
高中数学-组合数的两个性质-教学设计
教学目标：1.掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑推理能力。
2.利用组合数的两个性质进行有关计算，培养学生的应用意识和计算能力。
3 .引导学生由特殊到一般，从具体到抽象，归纳出一般的规律，从而渗透概括、归纳等思想方法。
4.在上述学习过程中发展学生主动探索的精神。
教学重点、难点：重点：组合数的两个性质及其应用难点：用组合的定义理解组合数两个性质，以及灵活应用（特别是第二个性质的理解与应用） 教学方法：启发式教学法、探究发现法 教学手段：电化教学辅助设计 教学过程：第一阶段：课前准备（提出问题，让学生思考）问题：在同一直角坐标系中,画出函数()=xn f x C （1,2,3,4,5,6,7,=n x ≤n 且x ∈*N ）的图像,根据图像回答下列问题:(1) 函数的图像有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？(2) 请从数与形两个方面来分析函数()x n f x C =的特征（设计意图：让学生预习教学内容，查阅与课题有关的资料，在主动求知中扫除部分障碍，为进一步理解构架好底座，并培养良好的学习习惯，同时拓宽学习渠道，在自学范围上实现“超文本”） 第二阶段：实际教学 一．课堂引入1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——有序性；组合——无序性． 2．练习一1. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？2. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？练习二： 计算：①34C 和14C ；35C 和25C ② 3276C C -与36C ；5466C C +与57C 二．新课探究探究一、组合数的性质1问题1、通过结合课前问题及计算练习二中的①，你有何发现？怎样对这一结果进行解释？能否借此简化97100C 的运算？（设计意图：让学生体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的思想方法，通过对特殊组合数的计算发现性质，并进行证明或设计实际问题背景来解释这性质） 创设情境例1：现有4名同学（1）从中选出3名同学参加某一活动，有多少种不同的选派方法？ （2）从中选出1名同学不参加这项活动，有多少种不同的选派方法？（设计意图：直接用组合的定义，结合具体的例子对性质加以说明，避免用组合数公式去证明，符合学生的实际要求。
高中数学新人教版A版精品教案《探究组合数的两个性质》
探究组合数的两个性质【教材分析】：“探究组合数的两个性质是《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》（人教A版）第一章第二节第二小节后的探究与发现。
在学习了排列、组合、以及组合数公式等知识的基础上提出来的，通过性质的学习，加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算，为后续的二项式定理的学习提供基础。
本节课使学生体会从特殊到一般、具体到抽象的数学思想，学会观察、比较、猜想、归纳、抽象概括，体现数学的核心素养。
【学情分析】:我们班级是双语班，大多数同学基础弱一点，课堂学习安排的内容相对少点，老师讲解比较细致，语速也比较慢，从具体的学校五四演出选人有多少种数方法引入新课，学生会比较感兴趣，提出组合数的两个性质。
【教学目标】:1知识与技能: 理解组合数的两个性质，领会组合数的性质的推导方法，会应用性质解决有关的数学问题；培养学生发现知识、应用知识、分析解决问题的能力。
2过程与方法：通过具体的事例，观察分析、合作交流，探究归纳出组合数的两个性质，培养学生从特殊到一般的思想方法。
3情感、态度与价值观：班级具体事例入手，激情投入，使学生体会数学习数学的热情，高效学习，养成扎实严谨的科学态度,会用组合数的性质解决问题教学重点：组合数的两个性质及应用。
教学难点：组合数两个性质的灵活运用。
教学方法：启发、探究式教学情境设置：班级有7个同学参加五四演出，（1）选出3个同学诗歌朗诵，可以有多少种不同的选法？解：C73=35（2）若选出4个同学唱歌，可以有多少种不同的选法？解：C74=35对两题的结果有何发现？ C73= C74（先选3个人诗歌朗诵，剩下4个人唱歌；或者先选4个人唱歌，剩下3个人诗歌朗诵；两种选法其实是一回事，只是看问题的角度不一样）计算下列各组组合数的值：C51=5；C52=10； C62=15； C103=12021……C54=5；C53=10；C64=15； C107=12021……你发现了什么？你能解释你的发现吗？（留出时间让学生带着问题观察、分析、总结，得出性质1，增强学生学习数学的兴趣与信心。
组合数的性质教案
组合数的性质教案教案标题：组合数的性质教案教案目标：1. 理解组合数的概念和计算方法。
2. 掌握组合数的性质，包括乘法原理、加法原理和二项式定理。
3. 能够应用组合数的性质解决相关问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入组合数的概念，通过举例说明组合数的应用场景，如从一组物品中选择若干个物品的可能性等。
知识讲解：2. 介绍组合数的计算方法，包括排列和组合的区别，以及组合数的计算公式。
3. 讲解组合数的性质：a. 乘法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，则两个事件同时发生的方式有m * n种。
b. 加法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，且这两个事件不可能同时发生，则这两个事件发生的方式有m + n种。
c. 二项式定理：展开二项式(a + b)^n，可以得到一系列组合数。
示例演练：4. 给出一些实际问题，要求学生利用组合数的性质解决问题。
例如：a. 从10个人中选出3个人组成小组，共有多少种可能的组合？b. 从一副扑克牌中随机抽取5张牌，共有多少种可能的抽取方式？c. 展开二项式(x + y)^4，写出各项系数。
巩固练习：5. 提供一些练习题，让学生巩固对组合数的理解和应用。
鼓励学生积极参与讨论和解答问题。
总结：6. 总结本节课所学内容，强调组合数的概念和性质，并提醒学生在实际问题中运用组合数的方法。
拓展活动：7. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与组合数相关的问题，并尝试解决，以提高他们的综合应用能力。
教学资源：- 白板/黑板和可擦笔- 教学课件或投影仪- 练习题和答案评估方法：- 教师观察学生的参与度和讨论质量。
- 练习题的完成情况和答案的正确性。
注意事项：- 确保学生已经掌握了排列和组合的基本概念。
- 鼓励学生多思考和动手实践，培养解决问题的能力。
- 根据学生的学习进度和理解情况，适当调整教学内容和难度。
组合数的两个性质
组合数的两个性质《组合数的两个性质》说课稿一、教材分析:组合数的两个性质的教学只需一课时,通过性质的学习, 一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力,简化组合数的计算 . 另一方面也为以后学习《二项式定理的性质》、《杨辉三角》等内容提供了理论基础 . 故组合数性质是一个承上启下的内容 .二、教学设计中的几点思考:1、两个性质的引入:性质 1由问题“简化计算98100C ”引入,直奔主题,体现性质 1的必要性;由于性质 2的背景相对较复杂,故由具体问题分层次地引入,给学生提供思考的素材,而把抽象概括的主动权交给了学生 .2、教学方法:鉴于性质本身比较简单,其发现过程易于组织成师生互动的教学活动,故教学方法以启发学生观察思考分析讨论为主,两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法,让学生经历知识的形成、发展过程,帮助学生认识数学的本质 .3、“规定”的教学:“规定”是数学内容的重要组成部分 . 它既体现一种数学文化,又体现数学知识之间的内在和谐,给学生以美的熏陶 . 对“规定”的教学不应一笔带过,应充分体现其合理性和必要性,让学生感到“规定”是油然而生的,合情合理的, 而不是强加给他的 . 本课通过问题 5的讨论,自然地引导学生得出 10=n C 的结论 . 如果时间允许, 可适当介绍其他一些“规定” 的由来 (如 , 1! 0, 10 ==a 有理数、 ???, , 等等) ,以扩大学生的视野 .4、本质和形式化的关系:抽象成为形式(及其符号的演算)的数学,既有很大的一般性(从而有它的广泛应用性) , 也给一些学生带来了领悟与学习上的困难 . 所以理解和领悟性质的本质成为本节课学生学习的难点 .基于以上观点,本课在教学设计中紧密联系形式所反映的内容来进行形式的教学 . 用一个个求组合数的实例对组合数的性质进行了诠释 . 做到形式与内容相结合!在如何进行“形式化”内容(如公式、性质、法则等)的教学方面做了些尝试 . (具体详见教案,不再赘述! )5、思维灵活性的培养灵活性的本质——换个角度看问题,而演算两次.... 是从不同的角度看问题的另一种说法,是一种重要的数学思想方法,是培养学生思维灵活性的重要途径 . 本课的例 1、例 2、例 4、例 5及“推而想之”均是这一思想的应用,通过多次强化,多次体验,不断加深学生对这一思想方法的理解和感悟!6、学习方法:新课程标准以丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念 . 性质一的教学采用问题探究模式,创设问题情境(由问题 1~问题 7组成) ,将数学教学设计成数学活动的教学,鼓励学生积极参与教学活动 (包括思维的参与和行为的参与) ,引导学生自主探究与合作交流,鼓励学生发现数学规律,经历知识的形成过程 .性质二的教学则给学生留下了适当的拓展、延伸的时间和空间,对该课题作进一步的探索、研究 .. 如例 5和“推而想之” .相关文档：更多相关文档请访问：。
组合数的两个性质-2023-2024学年高二数学下学期苏教版2019版
《组合数的两个性质》教学设计一、旧知回顾1.计算2.证明（过度）：在组合数的运算、化简和证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课我们就来研究组合数的两个重要性质。
二、组合数的性质一问题1：某班有8名篮球运动员，从中选取5人参加比赛，有多少种不同的选法？从中选3人不参加比赛，有多少种不同的选法？思考：这两个组合数有什么联系？（教师用组合数的意义推出性质一）：这是一种巧合吗？还是所有的情况都是如此？再举一个例子，从这8人中选6人参加比赛，选法数是C86，从8人中选2人不比赛，选法数是C62，计算一下，这两个组合数也相等。
实际上，从8人中选5人参加比赛，就等于选3人不参加比赛，这两个问题计算的是同一件事，那么他们的组合数就相等。
选6人参加比赛，就等于选2人不参加比赛，两个问题计算的是同一件事。
同样的道理，从8个元素中选m个符合条件的，就等于选8-m 个不符合条件的。
推广到一般情况，从n个元素中选m个符合条件的，就等于选n -m 个不符合条件的。
因此我们得到了组合数的第一个性质，C n m =C n n−m ，因为等式两边是对同一个问题的两种不同的计算方法，所以左右两边相等。
等式的特点：等式两边下标相同，上标之和等于下标。
这个性质也叫作对称性。
性质的作用：这条性质的作用就是当上标超过下标的一半时，可以化简计算。
比如计算C 119比较繁琐，但是计算C 112就很简单了。
大家来计算C 10099吧，再比如C 108。
组合数公式证明：下面我们用组合数公式来证明这个性质。
三、组合数的性质一 例题例1 （1）计算 C 20222011= C n+1n ⋅C n n−2=（2）（多选）C 202n−3=C 20n+2(n ∈N ∗)，则n 等于多少？A.4B.5C.6D.7跟踪训练1 （1）若C n 6=C n 5，则n 等于多少？A.1B.11C.50D.55（3）若C 183n+6=C 184n−2，则C n 8=四、组合数的性质二问题2：某班有8名篮球运动员，若这8名运动员中还有1名体育委员，依然选取5人参加比赛，有多少种不同的选法？观察反思：观察这个等式，右边两个组合数的下标相同，上标是两个连续的自然数，他们的和等于一个新的组合数，下标加1，上标取大数。
探究与发现组合数的两个性质课件人教新课标1
1 + 21 2 + 31 3 +……+1 = ∙ 2−1
3、 从个人中选若干个人（至少2人）去参加比赛，其中一名为队长，
一名为副队长，
（1）队长与副队长必须为不同的两个人，有多少种方法？
思路①：按选中的人数 = 2,3, … … 进行分类
1
21 11 2 + 31 21 3 +……+1 −1
n!
m!n m !
nm
n
n!
n!
n m !n n m ! m!规定
n m ! =
nm
C n C n
m
等式特点：两边下标相同，上标之和等于下标
问题：
我们年段将在月底进行一场足球比赛。包括体委在内，班上足球
运动员有14位，你们都没有参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时
3
（2）我们可以形成多少种队员不上场方案？C14
为什么相等？是巧合还是必然？
14!
14 13 12
364
3!14 3!
3 2 1
二、自主学习，探究问题
C
11
C
10
C
C
9
14
14
14
8
14
C14
3
C14
4
C14
5
C14
6
从特殊到一般的思想
m
nm
n
n
C C
10
364 286 78
猜想
C14 C13 C13
11
10
11
猜想
C14 C13 C13
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合的概念1.1 组合的定义介绍组合的概念，引导学生理解组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式，不考虑取出元素的顺序。
通过实例演示，让学生理解组合的表示方法，如C(n,m)。
1.2 组合的性质引导学生学习组合的性质，如组合数满足二项式定理，即C(n,m) = C(n,n-m)。
引导学生通过组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，深入理解组合数的含义。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式引导学生学习组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，并解释公式的推导过程。
通过例题，让学生掌握如何使用组合数的计算公式计算具体的组合数。
2.2 组合数的性质引导学生学习组合数的性质，如组合数是随着n的增加而增加的，组合数的和与n的关系等。
通过例题，让学生理解组合数的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第三章：组合数在实际问题中的应用3.1 组合数的应用实例通过实例，让学生了解组合数在实际问题中的应用，如组合数的计算公式可以用于计算彩票中奖的概率等。
引导学生通过组合数的性质，解决实际问题，如计算组合数的和、最大值等。
3.2 组合数的拓展应用引导学生学习组合数在其他领域的应用，如组合数在计算机科学中的应用，如排序算法等。
通过实例，让学生了解组合数在其他领域的重要性和作用。
第四章：组合数与排列数的比较4.1 组合数与排列数的定义引导学生学习组合数与排列数的定义，理解两者的区别和联系。
通过实例，让学生了解组合数和排列数在实际问题中的应用。
4.2 组合数与排列数的计算引导学生学习组合数与排列数的计算方法，并比较两者的计算公式。
通过例题，让学生掌握如何计算组合数和排列数，并能够解决实际问题。
第五章：组合数在数学竞赛中的应用5.1 组合数在数学竞赛中的题目类型引导学生了解组合数在数学竞赛中的应用，如组合数的计算、组合数与其他数学概念的综合题目等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
组合数的两个性质 教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；
掌握组合数的两个性质，
并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习
1：求证：11--=
m n m n C m
n C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ） 2：计算：① 310C 和7
10C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511
411C C + （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基
础．）
二、新授内容：
1．组合数的
m n n -．
理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因
为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩
下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵)!
(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=
---=- 又
)!
(!!m n m n C m n -=
∴m n n m n C C -=
注：1︒ 我们规定 10=n C
2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2
n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够
使运算简化．
例如：20012002C ＝200120022002-C ＝1
2002C =2002．
4︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+
2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 3．组合数的
1-m n ．
证明： )]!
1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n
)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n
)!
1(!)!1(+-+=
m n m n m n C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m n C ．
注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，
等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二
项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．补充例题
⑴ 计算：6
9
584737C C C C +++ ⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ⑶ 解方程：3213
113-+=x x C C
⑷ 解方程：3
33
22210
1+-+-+=
+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和5
5
4535251505C C C C C C +++++ 推广：n n
n n n n n n C C C C C 21210=+++++-
5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：
⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C
⑵ （练习）1
121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C ⑶ )(2
3210321n
n n n n n n n n
C C C n
nC C C C +++=++++ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#
课外作业：课本习题10.3；5#—8#
四、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
酒钢三中高二数学组。