线性代数复习资料

行列式

概念→

不同行与不同列元素乘积的代数和(共有!n 项) 转置性质→行列式的行和列互换，其值不变； 换性质→行列式的两行(两列)互换，其值变号； 数乘性质→若行列式的某行(某列)有公因子k ，则可把公因子k 提到行列式

外面

性质 倍加性质

→某行(某列)的 k 倍加到另一行(另一列)的相应元素上去，行列式的值不

变

加法性质

→

某行(列)的所有元素均为两项之和，则行列式可拆为两个行列式

之和

1122i i i i in in A a A a A a A =+++ (第按i 行展开) 展开式

1122j j j j nj nj A a A a A a A =++

+ (按j 列展开)

错位展开式→11220i j i j in jn a A a A a A ++

+= (i j ≠)

数字型：公式法，三角化法，递推法 计算 利用行列式的性质； 抽象型 利用方阵行列式的性质；

利用特征值 123n

A λλλλ=；

证明0A =

行列式

有非零解；

秩； 是

的特征值；

反证法

矩阵

概念

→m n ⨯个数排成的m 行n 列的数表，()ij m n A a ⨯=

运算

→,,,T

A B kA AB A

+，方阵的幂

初等矩阵：将单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 初等变换

等价矩阵：矩阵A 经过一系列初等变换得到B ，则A 与B 等价

概念→若AB BA E ==，则11,A B B A --==

求法

→定义法，初等变换法，伴随矩阵法，分块矩阵法

逆矩阵 0A ≠

矩 证法 秩()A n =

特征值全不为零

阵 反证法

概念：最高阶非零子式的阶数 秩 求法：定义法，初等变换法

性质：初等变换不改变矩阵的秩 伴随矩阵：**AA A A A E ==

上(下)三角形矩阵 对角矩阵 单位矩阵 特殊矩阵 对称矩阵：T

ij ji A A a a =⇔= 正交矩阵：T

T

AA A A E == 分块矩阵

()12 0 ..., 0m i n A B AB BA E A r A n

A PP P P A Ax ⇔∃==⇔≠⇔=⇔=⇔⇔=阶矩阵可逆可逆矩阵使得其中是初等矩阵的行（列）向量组线性无关非齐次线性方程组仅有零解 , n b Ax b A ⇔=⇔对任意的维列向量有非零解的特征值全不为零

向量

运算→加法，数乘，内积→Schmidt 正交化

线性组合 概念：

方程组1122s s x x x αααβ+++=有解；

秩12(,,

,)s ααα=秩12(,,

,,)s αααβ；

12,,,s ααα线性无关，12,,,,s αααβ线性相

关.

等价→12,,

,s ααα与12,,,s βββ可以互相线性表示

概念

→

存在不全为零的

12,,

,s k k k ，使

11220s s k k k ααα+++=. 秩12(,,

,)s s ααα<

充要条件 存在i α可由1211,,,,i i s ααααα-+线性表示

判定方法 12(,,,)0s x ααα=有非零解

1n +个n 维向量线性相关

多数向量能用少数向量线性表示

概念：若11220s s k k k ααα++

+=，则12,,,s k k k 全为零.

秩12(,,,)s s ααα=；

充要条件 任意i α不可可由其余的向量

111

,,,i i s αααα-+线性表示.

12(,,

,)0s x ααα=只有零解.

充分条件→

阶梯形的向量组必线性无关. 概念 最大线性无关组

求法 概念→最大线性无关组中向量的个数

求法→

矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩

线性无关

判定方法

向量组的

线性相关

线性表示 充分条件 维

向量

初等行变换法

线性方程组

向量形式 1122

0n n x x x ααα+++= 12,,,

,n ααα线性

相关

12,,,n ααα线性无关 解的性质 若12,αα是Ax b =的解，则12αα-是0Ax =的解. 若12,αα是0Ax =的解，则1122k k αα+也是0Ax =的解. ()r A n = 仅有零解⇔

矩阵形式 0Ax = 0A ≠，当A 为方阵时.

有非零解⇔ 0A =，当A 为方阵时. ()r A n <⇒基础解系12,,,s ααα 通解

11s s x k k αα=+

+

有解⇔b 可由12,,,n ααα线性

表示

向量形式 1122

n n x x x b ααα+++= 无解⇔b 不可由12,,,n ααα线

性表示 解的性质 若α是Ax b =的解，η是0Ax =的解，则αη+是Ax b =的解 . 有解 ⇔ ()()r A r A = 矩阵形式

→

Ax b = 无解 ⇔ ()()1r A r A =+ 有无穷多解

⇔()()r A r A n =<

有唯一解⇔()()r A r A n ==

线

性方程组

齐次

线

性

方程

组

非齐次线性方程组