第三章 插补原理及控制方法

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3-1 逐点比较法插补
6）四个象限直线的插补 第二、三、四象限的 直线插补，其逐点比较法 直线插补原理与第一象限 直线相同，只是注意在处 理时计算公式
+Y F≽0
F x y x i e i iy e
中的各坐标值取做绝对值 即可。
-X
F<0
F<0
+X
F≽0 -Y
图3.6 四象限直线插补
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3-2 数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析法（ DDA ，Digital Differential Analyzer），数字积分法具有运算速度快，脉 冲分配均匀的特点，易于实现多坐标的联动及描绘平面各 种函数曲线。 一、数字积分法的数学原理 Y 如右图，函数在 [t0 , tn ]的定积分，即 为函数在该区间的面积： Yi-1 Yi Y=f(t)
终点判别
Σ=4+4=8 Σ=8-1=7 Σ=7-1=6 Σ=5 Σ=4 Σ=3 Σ=2 Σ=1 Σ=0
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-x +y +y +y -x +y -x -x
2
3 4 5 6
F1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7 F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6 F3=F2+2y2+1=-3 F4=F3+2y3+1=2 F5=F4-2x4+1=-3 F6=F5+2y5+1=4 F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
E(xe, ye )
X
图3.1 逐点比较法插补
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3-1 逐点比较法插补
2.逐点比较法的工作节拍 插补器控制机床(某个坐标)运动， 每走一步都要完成四个工作节拍。如 图3.2所示： <1>偏差判别－判断刀具相对于给定 轮廓的偏离位置，决定进给方向； <2>坐标进给－根据偏差判别的结果， 控制刀具相对于工件轮廓进给一步， 以缩小偏差； <3>偏差计算－由于刀具进给后改变 了位置，因此要计算出刀具当前位置 的新偏差，为下一次偏差判别做准备； <4>终点判别－判断刀具是否已到达 终点，若已到达终点，则停止插补， 若还未到达终点，则继续插补。
2 2 2 2 2 F R R x y R i i i i
Fi>0 → 动点落在圆弧外→ 刀具向圆弧内插补 Fi＝0 → 动点落在圆弧上 Fi<0 → 动点落在圆弧内→ 刀具向圆弧外插补
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3-1 逐点比较法插补
2）坐标进给： Fi ≥ 0 → 动点落在圆弧外→ 刀具向-X插补 Fi < 0 → 动点落在圆弧内→ 刀具向+Y插补 3）偏差计算： 利用递推法求出Fi+1计算公式的简便形式：
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3-1 逐点比较法插补
步数
起点
1
偏差判别
坐标进给
偏差计算
F0=0
坐标计算
x0=4, y0=0 x1=4-1=3 y1=0 x2=3 y2=y1+1=1 x3=3, y3=2 x4=3, y4=3 x5=2, y5=3 x6=2, y6=4 x7=1, y7=4 x8=0, y8=4
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3-1 逐点比较法插补
4.圆弧逐点比较法插补 1）偏差判别函数 设第一象限逆圆SE的 半径为R，以原点O为圆心，Y 起点为S（xs,ys），终点为 E（xe,ye）,圆的方程为：
2 2 2 x y R
E(xe, ye )
N(xi , yi )
F<0 Ri F>0 F=0
假设某一时刻刀具动点 为N（xi,yi），N点与圆心O 的距离公式为：
Fi ≥ 0 → 插补-X →
则新偏差判别函数为：
2 i 1
x x 1 , y y i 1 i i 1 i
2 F x y R F 2 x 1 i 1 i i
2 i 1
Fi < 0 → 插补+Y → x x ,y y 1 i 1 i i 1 i 则新偏差判别函数为：
2 F x y R F 2 y 1 i 1 i i 2 i 1 2 i 1
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3-1 逐点比较法插补
结论：圆弧插补新的偏差判别函数Fi+1与Fi有关，还与动点 坐标值N（xi,yi）有关。 4） 终点判别 ⅰ 终点坐标法：取Σx＝|xe-xs| ，Σy=|ye-ys| Fi≥0 ⇒ -X ⇒ Σx-1赋值给Σx Fi<0 ⇒＋Y ⇒ Σy–1赋值给Σy 当Σx，Σy＝0时，表示插补结束。 ⅱ 坐标投影法 取Σ＝max（|xe-xs| ，|ye-ys|） 当刀具向相应坐标方向进给一步时，Σ=Σ-1。 ⅲ 总步长法 取Σ＝|xe-xs|+|ye-ys| 刀具每进给一步时，执行Σ=Σ-1。
上述分式的分母xixe>0，可取分子xeyi-xiye为偏差判别 函数：
F x y x i e i iy e
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3-1 逐点比较法插补
当F＝0时，动点N与直线重合，为方便插补，将F＝0 归入F>0。 F≥0，动点N在直线上方 Y F<0，动点N在直线下方 A(Xe,Ye) 2）坐标进给 N(Xi,Yi) 坐标进给的方向由偏差 F>0 判别的结果决定，即： F<0 F≥0，动点向＋X方向进 F=0 给一步 X O F<0，动点向＋Y方向进给 图3.4 第一象限直线插补 一步
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3-1 逐点比较法插补
欲比较α与α0 角度的大小，可比较其三角函数值的大 小，现选择正切值tan的大小。
t an
yi
xi
tan 0
ye
xe
欲比较tanα和tanα0 的大小，可通过判断其差值正 负号实现：
y y y x y i e x e i i e tan tan 0 x x x x i e i e
F0 0
经i次插补后，有：
F x y x i e i iy e
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3-1 逐点比较法插补
F≥0 ⇒ ＋ΔX ⇒
x x 1 , y y i 1 i i 1 i
F x y x y F y i 1 e i 1 i 1 e i e
4）终点判别 刀具每进给一步后，CNC装置都要进行一次终点判别， 直线插补的终点判别可以采用三种方法： 终点坐标法 取Σx＝|xe | ，Σy=|ye| Fi≥0 ⇒ ＋ΔX ⇒ Σx =Σx-1 Fi<0 ⇒ ＋ΔY ⇒ Σy =Σy –1 当Σ x，Σ y＝0时，表示插补结束。 坐标投影法 取Σ＝max（|xe| ，|ye|） 当刀具向相应坐标方向进给一步时，Σ=Σ-1，当Σ＝0 时，表示插补结束。
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3-1 逐点比较法插补
5）圆弧插补流程 例3-2 设欲加工第一象 限逆时针圆弧SE，起点S （4，0），终点E（0， 4），试用逐点比较法插 补。 解：用总步长法进行终点 判别 Σ＝|xe-xs|+|ye-ys| ＝4+4＝8
Y
E(0,4)
R
S(4,0)
O
图3.8 第一象限逆圆插补
X
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3-1 逐点比较法插补
步数
起点
1
偏差判别
坐标进给
F0=0
偏差计算
坐标计算
x0=4, y0=0
终点判别
Σ=4+4=8
2
3 4 5 6
F1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7 F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6 F3=F2+2y2+1=-3 F4=F3+2y3+1=2
F4=F3+xe=-2+4＝2
终点判别 ∑=7 ∑=7-1＝6 ∑=6-1＝5 ∑=5-1=4 ∑=4-1=3
5
6
7 7
F>0
F<0 F>0
+X
+Y +X
F5=F4-ye=2-3＝-1
F6=F5+Xe=-1+4=3 F7=F6-Ye=3-3=0
∑=3-1=2
∑=2-1=1 ∑=1-1=0
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F<0 ⇒＋ΔY ⇒
x x ,y y 1 i 1 i i 1 i
F x y x y F x i 1 e i 1 i 1 e i e
由递推公式可知，偏差判别函数仅与前一步插补的 偏差判别函数和已知的终点坐标值有关。
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3-1 逐点比较法插补
3）偏差计算 刀具进给一步后，CNC系统需计算刀具当前位置的新 偏差，为下一次偏差判别做准备，即需计算出Fi+1的值：
F x y x y i 1 e i 1 i 1 e
为简化计算，常采用递推法得出递推公式： 刚开始插补时，刀具位于直线的起点O，即：
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3-1 逐点比较法插补
1.插补原理及特点 原理：每次仅向一个坐标轴输出 一个进给脉冲，每走一步都将加 Y 工点与给定轨迹进行比较，以确 定下一步进给方向。每个插补循 环由偏差判别、坐标进给、偏差 函数计算和终点判别四个步骤组 成。逐点比较法可以实现直线插 补、圆弧插补。 O 特点：运算直观，插补误差不大 于一个脉冲当量，脉冲输出均匀， 调节方便。
S(xs , ys )
R
x y R
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2 i
2 i
2 i
O
图3.7 第一象限逆圆插补
X
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3-1 逐点比较法插补
现欲判断动点与圆弧的偏差、确定进给方向，需要构 造偏差判别函数F。 判断动点与圆弧的偏差可通过比较R和Ri的大小来实 现。 Ri>R → 动点落在圆弧外→ 刀具向圆弧内插补 Ri＝R → 动点落在圆弧上 Ri<R → 动点落在圆弧内→ 刀具向圆弧外插补 故取偏差判别函数为：
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E(4,3)
O
图3.5
X
第一象限直线插补实例
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3-1 逐点比较法插补
步数 0 1 2 3 4 F=0 F<0 F>0 F<0 +X +Y +X +Y 判别 坐标进给 偏差计算 F0=0 F1=F0-ye=0-3=-3 F2=F1+xe=-3+4＝1 F3=F2-ye=1-3=-2
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3-1 逐点比较法插补
6）四象限顺、逆时针圆弧插补 对于4个象限的逆时针圆弧插补和4个象限的顺时针 圆弧插补，会有8组计算公式，见图3.9所示。
顺圆 逆圆
图3.9 2019/2/14
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3-1 逐点比较法插补
四象限圆弧插补计算表
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3-1 逐点比较法插补
总步长法 取Σ＝|xe| +|ye| 刀具每进给一步时，就执行Σ=Σ-1，当Σ ＝0时，表示 插补结束。 5）直线插补计算流程 Y 例3-1：设欲加工第一象限 直线OE，起点为原点O， 终点E坐标为xe＝4，ye＝3， 用逐点比较法插补。 解：用总步长法进行终点判 别，取Σ＝|xe| +|ye|＝4+3 ＝7
数控技术
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第三章 插补原理及控制方法
插 补 常 用 插 补 算 法 插 补 算 法 分 类 就是运用特定的算法对工件加工轨迹进行运算并 根据运算结果向相应的坐标发出运动指令的过程。 逐点比较法 数字积分法 比较积分法 时间分割法等 脉冲增量法（用于开环系统） 逐点比较法、数字积分法、比较积分法 数据采样法（用于闭环系统） 时间分割法、扩展DDA法。
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插补开始 偏差判别
坐标进给
偏差计算 终点判别
N Y
插补结束
4
图3.2 逐点比较法工作节拍
3-1 逐点比较法插补
Y E(xe, ye ) 3.逐点比较法直线插补 1）偏差判别 N(xi , yi ) 设第一象限直线OE的起点 为原点O，终点 E(xe, y，如图 e) 5-14所示，直线OE与X轴的夹 0 X 角为α0，设某一时刻的动点 O 为 N(xi , y ，直线起点到动点的 ) i 图3.3 第一象限直线插补 连线ON与X轴的夹角为α。 现要确定刀具向哪个坐标轴方向进给，可以通过判断α 与α0的大小来实现。 α>α0 ⇒ 动点在直线上方，减小偏差⇒向X正向进给一步 α=α0 ⇒ 动点位于直线上 α<α0 ⇒ 动点在直线下方，减小偏差⇒向Y正向进给一步
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3-1 逐点比较法插补
四个象限直线插补计算表
Fm ≥0 线型 L1,L4 L2,L3 进给方向 +X -X 偏差计算 Fm+1= Fm-ye 线型 L1,L2 L3,L4 F m ＜0 进给 方向 +Y -Y 偏差 计算 Fm+1= Fm+xe
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