布洛赫定理

得到：λ
1
=e
2πi
l1 N1
, λ2 = e
2πi
l2 N2
, λ3 = e
2πi
l3 N3
−wk.baidu.com− − l1 , l2 , l3
v l1 v l3 v l2 v b1 + b3 + b3 引入： k = N1 N2 N3
v v v b1 , b2 , b3
5 则平移算符的本征值可以表示为：
λ1 = e
Tα H − HTα = 0
3 根据量子力学可以选取H的本征函数，使它 成为各平移算符的本征函数。
Hψ = Eψ T1ψ = λ1ψ , T2ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ
4 引入周期性边界条件
v v v v v v N1 N1 ψ (r ) = ψ (r + N 1 a1 ) , ψ (r ) = T1 ψ (r ) = λ1 ψ (r ) v v v v v v N2 N2 ψ (r ) = ψ (r + N 2 a 2 ) , ψ (r ) = T2 ψ (r ) = λ 2 ψ (r ) v v v v v v ψ (r ) = ψ (r + N a ) , ψ (r ) = T N 3ψ (r ) = λ N 3ψ (r ) 3 3 3 3
平移算符性质：
Tα Tβ = Tβ Tα
——各平移算符对易。
2 平移算符和哈密顿量对易
h2 v v v v 2 Tα Hf ( r ) = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m v v v = Hf ( r + aα ) = HTα f ( r )
1.布洛赫定理： 当势场具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程：
h2 2 v v v ∇ + V (r )ψ (r ) = Eψ (r ) − 2m
方程的解具有以下性质：
v ψ (r ) = e
v v ik ⋅ Rn
v uk (r )
布洛赫定理的证明
1 引入平移算符：
ˆ Ti f (r ) = f (r + ai )
6 则可以推导出：
7 从而得到：
v v r v v ik • Rn ψ r + Rn = e ψ (r )
(
)
——布洛赫定理得到了证明
结
论
1布洛赫定理是一个普遍适用的结论。 2它在周期性势场的数学求解中可以使问题简化。 3在量子力学，激光物理中具有广泛的应用。 4在晶体物理学中具有非常直观的应用。
vv ik ⋅a1
, λ2 = e
v v ik2 ⋅a2
, λ3 = e
v v ik3 ⋅a3
v v v v T ( Rm )ψ (r ) = ψ (r + Rm ) v m3 v m1 v m2 v = T1 (a1 )T2 (a2 )T3 (a3 )ψ (r ) v v v ik ⋅ Rm m1 m2 m3 = λ1 λ2 λ3 = e ψ (r )