离散数学(第2版)电子教案
《离散》公开课教案
《离散》公开课教案
离散公开课教案
一、教学目标
- 了解离散数学的基本概念和应用领域。
- 掌握离散数学中常用的逻辑、集合论和图论等基础知识。
- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容
1. 离散数学简介
- 离散数学的定义和作用
- 离散数学在计算机科学、信息技术等领域的应用
2. 逻辑与命题
- 逻辑与命题的基本概念
- 命题的逻辑运算（与、或、非）
- 命题的真值表和推理规则
3. 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的基本运算（交、并、差、补）
- 集合的性质和特征
4. 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）
- 常见的图算法（深度优先搜索、广度优先搜索）
三、教学方法
1. 授课讲解：通过讲解离散数学的基本概念和原理，帮助学生建立起相关知识框架。
2. 例题演示：通过解析一些典型的例题，引导学生掌握离散数学的基本方法和技巧。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在合作中研究、思考和解决问题。
4. 实践应用：通过实际问题的应用，让学生将离散数学的知识应用到实际情境中去。
四、教学评价
1. 每节课结束后进行小测验，检查学生对当堂课程的掌握情况。
2. 课堂参与度：评估学生在讨论和实践环节中的积极参与度。
3. 作业完成情况：评估学生对作业内容的完成情况和质量。
五、参考资料
1. 《离散数学导论》
2. 《离散数学（第2版）》
3. 《离散数学及其应用》
注：以上教案仅供参考，具体教学内容和方法可根据实际情况
进行调整。
离散数学第2版教学课件-关系的运算
4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A为集合，
（1）R在A上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A上的限制R↾ A是R的子关系，而A在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
4.3.2 限制与像
定理4.3
设R为二元关系，A和B为集合，则有 (1) R↾ (A B) = R↾ A R ↾ B (2) R[A B] = R[A] R[B] (3) R↾ (A B) = R↾ A R↾ B (4) R[A B] R[A] R[B]
证：(3) 对任意的<x, y>， <x, y>∈R↾ (A B) <x, y>∈R∧x∈A B <x, y>∈R∧(x∈A∧x∈B) (<x, y>∈R∧x∈A)∧(<x, y>∈R∧x∈B) <x, y>∈R↾ A∧<x, y>∈R↾ B <x, y>∈R↾ A R↾ B 所以有R↾ (A B) = R↾ A R↾ B。 其他证明略。
例 4.17
设A={a, b, c, d}, R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 求R的各次幂。
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
离散数学电子教案(高等教育出版社第二版)
与其他课程的关系
离散数学与计算机科学的其他课程, 如：数据结构、操作系统、编译原 理、算法分析、逻辑设计、系统结 构、容错技术、人工智能等有密切 的联系。它是这些课程的先导和基 础课程。
4
教材与参考书
[离散数学]
高等教育出版社，2005年
李盘林等编著
[Discrete Mathematics（Third Edition）]
步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
47
§1.2 命题联结词பைடு நூலகம்
例. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室或
313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了
车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角
第四部分 图论 讲课时数：6学时
7
学习方法
本课程有二个特点： （１）定义、定理多。 本课内容＝定义＋定理＋例题 （２）课外作业较多。
8
学习方法
为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义、定理，弄懂例题，加 深对定义、定理的理解； （２）在复习基础上，做好课外作业。 同学之间可以讨论，但要弄懂弄通。 （3）做好课堂笔记.
（3）命题所用符号：常用大写２６个英文字母 表示命题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。
（4）命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。
16
§1.1 命题
例：判断下列语句是否为命题。
＊陈述句一般为命题
（1）十是整数。
（Ｔ）
（2）上海是一个村庄。（Ｆ）
（3）今天下雨。
（4）加拿大是一个国家。（Ｔ）
离散数学及其应用 第2版课件第6章 整除
第6章整除
定理6.8 在定理6.7的条件和符号下，有 (1)对任意给定的j(1≤j≤k＋1)，d|uj－1，d|uj当且仅 当d|uk＋1。 (2)对任意给定的j(1≤j≤k＋1)，必存在整数xj、yj， 使得uk＋1＝xjuj－1＋yjuj。 证明 (1)若d|uj－1，d|uj，由定理6.7第j式可得， d|uj＋1。依此由各式推出：d|uj＋2、d|uj＋3、…、d|uk＋1。
第6章整除
例2设f(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an是整系数多 项式，如果10|f(2)且10|f(5)，则10|f(10)。
证明 由于f(10)＝a0×10n＋a1×10n-1＋…＋an－ 1×10＋an，所以欲证10|f(10)，只需证10|an。
由已知10|f(2)，有2|f(2)。又因为2整除f(2)的前n项， 所以2|an。同理，由10|f(5)可得5|an。因为(2，5)＝1， 由定理6.16可得(2×5)|f(10)，于是10|f(10)。
第6章整除
6.2 素数和合数
定义6.2大于1且只有1和自身这两个正因数的正整数， 称为素数或质数；大于1且不是素数的正整数称为合数。 若正整数a有一个因数b，而b是素数，称b是a的素因数。
依据该定义，可以将所有的正整数分为三类：素数、 合数和1。 • 定理6.2 a是大于1的合数，当且仅当存在整数b和c， 使得a＝bc，其中，1＜b＜a，1＜c＜a。
第6章整除
解 (1)用方框标识余数 24871＝3468·7＋595 3468＝595·5＋493 595＝493·1＋102 493＝102·4＋85 102＝85·1＋17 85＝17·5 所以，(24871，3468)＝17。Fra bibliotek第6章整除
最新离散数学 第2版 教学课件 尤枫 第07章 半群与群ppt课件
与
到W的半群同态。
群
证明 对于任意的a,b∈R，有
(g·f)(a*b) = g(f(a*b))
= g(f(a)f(b))
= g(f(a))g(f(b))
= (g·f)(a)(g·f)(b)
所以，g·f是从U到W的半群同态。
7.1半群与独异点
第 定理7-7 设U=<R,*>和V=<S,+>都是半群，则U和
因此，U是一个群。
7.2 群与子群
第 定义7-11 设U=<S,*>是一个群。若
7 章
(1) S为有限集合，则称U为有限群，
半
若|S|=n，则称U为n阶群；
群 与
(2) S为无限集合，则称U为无限群。
群
7.2 群与子群
第 定理7-9 群中不存在零元。
7 章
证明 设U=<S,*>是任意一个群，当群的阶为1时，
半
集合S中唯一的一个元素看作是群的幺元。
群 与
设|S|>1，且存在零元。因零元不存在逆元，
群 而群中每个元素都必须是可逆的，于是产生矛盾，
所以，群中不存在零元。
7.2 群与子群
第 定理7-10 幺元是群中唯一的一个幂等元。
7 章
证明 对于幺元e，因e2=e，故e是幂等元。
半
若a也是幂等元，即若a*a=a，则
群 与
e = a-1*a
群
= a-1*(a*a)
= (a-1*a)*a
= e*a
=a
这说明e是唯一的幂等元，证毕。
7.2 群与子群
第 定理7-11 设U=<S,*>是一个群，则对于任意的
7 章
大学二年级离散数学教学案
大学二年级离散数学教学案第一部分：绪论离散数学是计算机科学与技术专业的重要基础课程之一，对于学生培养抽象思维、逻辑思维和解决实际问题的能力具有重要作用。
本教学案旨在帮助大学二年级的学生更好地理解和掌握离散数学的基本概念、理论和方法，培养他们的数学思维能力和运用数学解决问题的能力。
第二部分：教学目标1. 理解离散数学的基本概念，如集合、关系、函数等，并能正确运用这些概念进行问题分析和证明。
2. 掌握离散数学的基本理论，包括图论、逻辑、代数系统等，并能应用这些理论解决实际问题。
3. 培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
4. 培养学生的团队合作精神和实践能力，通过小组讨论、课堂演练等方式提高学生的合作与沟通能力。
第三部分：教学内容和方法1. 集合论1.1 集合的基本概念与运算教学内容：集合的定义、元素的判定、集合的运算。
教学方法：讲解概念，举例说明，进行练习，引导学生思考与讨论。
1.2 集合的表示方法与应用教学内容：集合的表示方法（列表法、描述法、集合生成式），集合在实际问题中的应用。
教学方法：举例说明，进行实际问题分析，引导学生运用集合解决问题。
2. 关系与函数2.1 关系的定义与分类教学内容：关系的定义，等价关系、偏序关系和全序关系的性质与判定。
教学方法：讲解概念，举例说明，进行实际问题分析，引导学生思考与讨论。
2.2 函数与映射教学内容：函数的定义、性质与运算，映射的概念与分类。
教学方法：讲解概念，进行实际问题分析，举例说明，引导学生运用函数解决问题。
3. 图论3.1 图的基本概念与表示方法教学内容：图的定义，顶点和边的基本概念，图的表示方法。
教学方法：讲解概念，进行实际问题分析，举例说明，引导学生思考与讨论。
3.2 图的遍历与连通性教学内容：图的遍历算法，连通图和强连通图的性质与判定。
教学方法：讲解算法原理，进行实际问题分析，进行课堂演练，引导学生思考与讨论。
清华离散数学(第2版)
– 随机数与伪随机数 – 线性同余法与乘同余法
• 13.2.2 产生离散型伪随机数的方法
– 离散型均匀分布伪随机数 – 二项分布伪随机数 – 泊松分布伪随机数
整理ppt
12
线性同余法
随机数:随机变量的观察值 伪随机数
(0,1)上的均匀分布U(0,1): a(0<a<1), P{0<X≤a}=a
线性同余法
整理ppt
10
Hale Waihona Puke 实例(续)设密文c=0981. d=131≡937(mod 2436),
明文m=981937(mod 2537). 计算如下: 937=(1110101001)2,
A0=981,
A1≡9812≡838(mod 2537),
A2≡8382≡505,
A3≡(505)2≡1325,
A4≡13252≡21,
A5≡212≡441,
A6≡4412≡868,
A7≡(868)2≡65,
A8≡(65)2≡849,
A9≡(849)2≡293,
981937≡981×1325×441×(65)×(849)×293
教学课件 离散数学(第二版)武波
有如下形式： 现以两个变元P、 Q为例进
表1.6.3列出了两个变元P和Q 及其极大项的真值表。 由表1.6.3
可以看出， 没有两
表1.6.3
值与编码相同时， 其真值为 F ， 在其余2n－1种指派下其真值均为
T (2) 任意两个不同极大项的析
M i M j T (i j)
(3) 2所n1 有极大项的合取式永假，
1. 否定联结词 否定联结词也称为“非”运 算， 它对单个命题进行操作，
是一个一元运算符。
当且仅当P为假。 下面引入真值表(truth table) 来描述复合命题的真值。 真值表
的左边列出参与运算的命题真值 的所有可能组合， 复合命题的真 值结果列在最右边一列。 因此， 否定联结词 的定义如表1.1.1所
当 P、 Q 至少有一个为T。 “∨”是一个二元运算。 析
取联结词∨的定义如表1.1.3所示。
表1.1.3
proposition)。 符号→用于表示条 件联结词。 当且仅当 P 为T且 Q 为F时， P→Q 为F。 这里， 称
P 为假设(hypothesis)或前件 (antecedent)， 称 Q 为结论 (conclusion)或后件(consequent)。
1.6.4所示。
表1.6.4
得到它的主合取范式。 这是因为 任何一个命题公式都可以求得它 的合取范式， 而合取范式可转化 为主合取范式， 步骤如下：
(1) 将原命题公式转化为合取
(2) 将每个析取式等价变换为 若干极大项的合取(对每个析取式 填补没有出现的变元， 如缺P和 P， 则析取P∧ P， 再应用分配
表1.2.3
重言式(tautology)或者永真式。
定义1.2.7 给定一个命题公 式， 如果在任何赋值下， 它的 真值都为F， 则称该命题公式为 矛盾式(contradiction)或者永假式。
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3.命题联结词
定义1.1.1设P表示一个命题，由命题联结词和命题P连接成P，称P为P的否定式复合命题，P读“非P”。称为否定联结词。P是真当且仅当P为假；否定联结词“”的定义可由表1.1.1表示之。
1.1
1.命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假，故都不是命题。命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。真用1或T表示，假用0或F表示。由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主观决定的。
例1.1.1判断下列语句哪些是命题
第
命题逻辑，也称命题演算，记为LS。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。数理逻辑，又名为符号逻辑，它是选用数学方法即通过引入没有二义性的表意符号，使用公认的与任一特定的论证无关的规则研究推理的学问。
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？下面逐一地进行讨论。
3.一方面每章各有独立性，教师根据需要可以单独选讲几章；另一方面，尽可能注意各章之间的联系，规范并统一了符号和术语。
本书在编写过程中，得到了有关领导、老师和同学的热情关心、支持和帮助，在此一并表示感谢。
限于作者水平，书中难免有不当和疏漏之处，恳请读者批评指正。
编者
于大连理工大学
2008年9月
由于离散数学上课学时普遍减少，电子教案只包含了数理逻辑、集合论、代数结构和图论的基本理论部分。使用它的各位老师，可以根据教学计划的需求，适当做删减或增补。
21st Century University Planned Textbooks of Computer Science
(第2版)
Discrete Mathematics (2nd Edition)
李盘林 赵铭伟 徐喜荣李丽双编著
□概念严谨精炼
□叙述简明清晰
□推理详尽严格
人民邮电出版社
POSTS&TELECOMPRESS
第2版前言
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础。因此，它是计算机科学与技术专业的核心、骨干课程。一方面，它给后继课，如数据结构、编译系统、操作系统、数据库原理和人工智能等，提供必要的数学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了学生的抽象思维和逻辑推理能力，为其今后继续学习和工作，进行科学研究，攀登科技高峰，打下扎实的数学基础。
③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
例1.1.7张明正在睡觉或游泳。
解此例可改叙为“张明在睡觉而没游泳，或者张明在游泳而没睡觉。”可知其中的“或者”是可兼或，因此可用析取式复合命题表示。
本书第1版于2002年2月出版以来，六年来，先后多次印刷发行，已得到了普遍认可，被全国部分普通高校选作教材，本版除了勘误了第1版中的不妥之处外，还增加了一些新的章节，并相应补充了例题和习题，以适应高等学校教学改革的需要。
本书共12章，内容包括命题逻辑、谓词逻辑、集合、关系、函数、代数结构的概念及性质、半群与群、环和域、格与布尔代数、图的概念与表示、几类重要的图以及数论。
2.命题分类与表示
命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。原子命题是命题逻辑的基本单位。原子命题用大写英文字母P，Q，R，…及其带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。例如，用P表示大连是一座美丽的城市，记为P：大连是一座美丽的城市。冒号：代表表示的意思，下同。上面那些表示命题的英文字母，称为命题标识符。
P
P
1
0
0
1
表1.1.1的定义
例1.1.2举例说明如何构成命题的否定。
解令命题
P：大连是一座美丽的城市。
于是命题的否定为
P：大连不是一座美丽的城市。
可见，“否定”修改了命题，它是对单个命题进行操作，称它为一元联结词。
定义1.1.2设P和Q为两个命题，由பைடு நூலகம்题联结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命题P和Q的合取式复合命题，P∧Q读做“P与Q”，或“P且Q”。称∧为合取联结词。
今天天晴且三加三等于六。
这在日常生活中会认为有语病，而在逻辑学中是允许的。
类似定义1.1.2，可定义1.1.3-1.1.5的定义。
4.命题符号化
把一个用文字叙述的命题相应地表成由命题标识符、联结词和圆括号的形式，称为命题的符号化。符号化应该注意下列事项：
①确定给定句子是否为命题。
②句子中连词是否为命题联结词。
当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。合取联结词∧的定义由表1.1.2表示之。
PQ
P∧Q
00
01
10
1 1
0
0
0
1
表1.1.2∧的定义
例1.1.3用合取联结词表示命题：我们踢足球，他们在游泳。
解令P：我们踢足球
Q：他们在游泳
本例可表成：P∧Q。
在日常生活中，常将“合取”表示具有某种关系的两个命题；但在命题逻辑中则不尽然，允许用于两个相互无关的原子命题。例如，可用原子命题“P：今天天晴”和“Q：三加三等于六”，构成复合命题P∧Q，其意义是
本书是笔者结合多年教学实践与科学研究，参考国内外教材，在力求通俗易懂、简明扼要的指导思想下编写而成的。在编写过程中有如下3点考虑。
1.力求做到“少而精”，注意突出重点，论证详细明了，便于自学，在定理证明中多次运用归纳法，希望读者熟练掌握这一方法。
2.在加强基本理论教学的同时，注意了分析问题、解决问题的技能培养和训练。书中各知识点均配有典型例子，并加以说明。此外，各章都配有适量的习题，希望通过做习题这个环节，来培养、提高学生解决问题的能力。
①6是整数。
②地球是方的。
③3+5=8。
④金星的表面温度是800F。
⑤请勿吸烟！
⑥你去书店吗？
⑦今天天气真好！
⑧本命题是假的。
解显然，①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，而④目前尚不知真和假，但随着科技的发展，其真值是可以确定的。⑤-⑦都不是命题。因为它们不是陈述句，而分别是祈使句、疑问句和感叹句。⑧无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。这种断言叫悖论。