线性系统能控性能控性与能观性

时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据


三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx

的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
* * * 环特征值 1 , * 2 , n ，要求确定 p n 状态反馈矩阵 K ,使成立 i A BK i ， i 1,2, , n 。

rankM 0 (t1 ) M 1 (t1 ) M n1 (t1 ) n
能观性判据 ①Gram 判据②秩判据
N 0 t1 N t rank 1 1 n N n 1 t1
能控性定义及判据
①Gram 判据[充要条件]
C CG n rank n 1 CG

结构分解的实质是以明显的形式将不完全能控和不完全能观的系统区分为 CO, C O, C O, C O 四个 部分。可以更为深入地了解系统的结构特性,揭示状态空间描述和输入输出描述间的关系。 结论 4.66[系统按能控性结构分解] 对不完全能控的 n 维多输入多输出连续时间线性时不变系统
（1）对于 LTIC 系统，按能控性的结构分解式可以把一个不完全能控的系统显式的区分为完全能控 和不能控部分，两者之间存在由不能控到能控部分的耦合作用。 （2）结构分解的形式唯一结果不唯一。 （3）结构分解的能控性判据。
四、系统能控性的应用
4.1 状态反馈极点配置 极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题，状态反馈极点配置的含义是， 以一组期望极点即 特征值为性能指标， 对线性时不变受控系统综合一个状态反馈型的控制， 使综合导出的控制系统特征 值配置到复平面上期望位置。 4.1.1 问题的提法：
x A BK x Bv 的特征值满足关系式： i A BK * i ， i 1,2, , n .

状态反馈的引入， 不改变系统的能控性。 闭环系统的传递函数矩阵为：GB s C sI A BK B ，
1
K 的引入改变了系统矩阵，即系统极点的位置。


dim Ac n1

4.2.4 状态反馈镇定问题举例及仿真 4.2.5 输出反馈镇定问题 说明： （1）系统能通过输出反馈实现镇定的充要条件是：系统结构分解中能控且能观部分可经输出反 馈进行极点配置，其余部分渐进稳定。 （2）能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。反之不成立。 结论：若系统输出矩阵 C 非奇异，则系统能用输出反馈镇定的充要条件是系统能用状态反馈镇定。 实质线性方程组解的存在性：
1 Signal Generator 输入矩阵B 1 s 积分器 X 1 输出矩阵C 输出y
系统矩阵A 1
输出反馈矩阵F 1
静态输出反馈
u Fy v
1 参考输入v 输入矩阵B
1 s 积分器
X
1 输出矩阵C 输出y
系统矩阵A 1
状态反馈矩阵K 1
静态状态反馈
u Kx v
（1）输出反馈既不改变系统的能控性，也不改变系统的能观性，状态反馈不改变系统的能控性， 但有可能改变能观性。 （2） 由输出反馈和状态反馈的闭环控制系统状态空间模型可知， 输出反馈其实可以视为当 K=FC, 时的状态反馈。因此，在进行系统分析时，输出反馈可看做状态反馈的一种特例，反之则不然，由此 也可知，状态反馈具有比输出反馈更好的控制品质。缺点是物理实现差（内部状态不可观的情形） （3）对不完全能控和不完全能观的 MIMO-LTIC，作为输入输出函数的传递函数 G s 只能反映 系统能控能观测部分。 （一般而言传递函数矩阵是对系统结构的一种不完全描述，系统可由传递函数 矩阵完全表征， 当且仅当系统为完全能控和完全能观测即系统为不可简约； 状态空间描述是对系统结 构的完全描述，能够同时反映系统结构的各个部分） 极点配置出现零极点对消会对系统能控性和能观测性产生怎样的影响？
系统仿真
2016.6.10
线性系统能控、能观性理论及应用
一、连续时间线性系统能控(达)性和能观性的定义： （物理直观描述） 二、系统完全能控（达）性和完全能观性判据
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据③PBH 判据④Jordan 判据
时不变系统
x Ax Bu y Cx Du

所有 属于同一特征值若尔当小块的末行组成矩阵为行满秩[有几个若尔当块(特征值)就有几个判别阵]
Fp q C q n K p n
（ n q 待定量的个数等于方程的个数）
例：考虑线性定常系统Σ(A,B,C)
x Ax Bu y Cx

0 其中： A 1 0
0 0 1
5 2 1， B 1 3 0
0 2 ， C 0 1
0
1
确定输出反馈矩阵使闭环系统可镇定。 解：由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的，因此,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个 系统都应是能镇定的。通过求解系统的特征值可知开环系统不稳定，设输出反馈矩阵为 F f1 , f 2 ,
T
则闭环系统的系统矩阵为 A BFC ,此时相应的闭环系统特征多项式为:
* * , * 考虑连续时间线性时不变受控系统 x Ax Bu ，任意指定 n 个期望闭环极点即特征值 1 2 , n ，
限定控制输入为状态反馈 u Kx v ，其中 K 为 p n 反馈矩阵， v 为 p 维参考输入，基此，状态反馈 极点配置的形式化提法就是，对给定受控系统确定一个状态反馈矩阵 K ,使所导出的闭环控制系统
相比于单输入情形，多输入情形极点配置在研究思路和计算方法上都要复杂一些，常用的极点配 置算法有 3 种， 课本上介绍算法的主要思想是化多输入系统为单输入系统， 利用单输入系统极点配置 算法求出状态反馈矩阵 K 。
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称一个状态反馈矩阵被认为是较好的，如果其元反馈系数总体较小和相应闭环系统的响应较好。 4.1.3 极点配置问题举例及仿真 MATLAB提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K。该函数的调用格式为K=place(A,B,P)。Place 函数既可以用于单输入情形下的极点配置也可以用于多输入情形，值得注意的是能控性依然是应用 place函数的先决条件。具体程序见附录。 说明： 线性系统的动态性能主要取决于系统极点的位置。 极点配置问题就是把闭环极点组配置到 所希望的位置上，等价于使综合系统的动态性能达到期望要求。极点配置问题的算法有多种，且取得 的结果并不唯一。 4.1.4 状态反馈极点配置对系统传递函数矩阵零点的影响 SISO 情形： 对完全能控 n 维 SISO 连续时间线性时不变系统， 引入状态反馈任意配置传递函数 g s 全部 n 个极点，一般不影响 g s 的零点。特别如果状态反馈使 g s 某些极点配置为与 g s 零点相重合 从而构成零极对消， 被消掉的极点就成为不能观测， 这也是状态反馈不一定保持能观测性的一个直观 解释。 MIMO 情形：一般不影响传递函数矩阵 G s 的零点，但是并不意味着 G s 每个元传递函数的分子多 项式不受状态反馈的影响。 4.1.5 输出反馈极点配置及局限性 输出反馈是以输出为反馈变量的一类系统结构信息的不完全反馈。输出反馈控制系统的特点是易
A PAP 1
B PB
C CP 1 对完全能控部分 Ac , Bc ,任意指定 n1 个负实部期望特征值， 按多输入极点配置算法， 计算 p n1 状
态反馈矩阵 K1 ,最后综合到 p n 镇定镇定状态反馈矩阵 K K1 ,0 P .
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[可镇定充要条件] [可镇定充分条件]
LTIC 系统可由状态反馈镇定当且仅当系统不能控部分渐进稳定。 LTIC 系统可由状态反馈镇定充分条件是系统为完全能控。
4.2.3 状态反馈镇定的算法 给定 n 维线性时不变受控系统 A, B,设其满足可镇定的条件， 要求综合 p n 镇定镇定状态反馈矩 阵 K .（从极点配置的角度确定状态反馈矩阵） 若给定系统完全能控，任意指定 n 个负实部期望特征值，按多输入极点配置算法，计算 p n 镇定 镇定状态反馈矩阵 K . 如果给定可镇定系统 A, B不完全能控，则构造能控性结构分解变换矩阵 P 1 ，
: x Ax Bu ， 通过引入线性非奇异变换 x Px 可使系统实现按能控性的结构分解， rankQc k n ， y 统仿真
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其中 xc 为 k 维能控分状态， x 为 n k 维不能控分状态。
c


几点说明：
能观性判据
①Gram 判据②秩判据③PBH 判据④Jordan 判据
连续时间线性
所有 属于同一特征值若尔当小块的首列组成矩阵为列满秩[有几个若尔当块(特征值)就有几个判别阵]
能控性判据
①Gram 判据②秩判据
时变系统
x A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
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f F s s 3 3 f 2 s 2 1 f1 2 f 2 s 2 f1 5 , 由劳斯判据, 可以得出特征方程根均具有负实部(能够
镇定)的 f1 及 f 2 取值范围为: f1 5 2 , f 2 3, f1 2 f 2 1 ,若取 f1 3 , f 2 2 ,则闭环系统特征多项 式化为: f F s s 3 s 2 2 s 1 , 其特征根为 s1=-0.57,s2=-0.22+1.3j, 因此, 原系统经过输出反馈 H=[-3 -2]T 能够镇定.注意：利用输出反馈未必能使所有能控且能观的系统得到镇定。