【考研数学】2017版线代讲义练习题解答

0
所以求得方程组的解为 1, 0,
, 0T ．
第 47 页 答案 A
解析 A* = AT 即
A11 A21 A31 a11 a21 a31
A12
A22
A32
=
a12
a22
a32
A13 A23 A33 a13 a23 a33
可见 aij Aij i, j 1, 2,3
那么 A a11A11 a12 A12 a13 A13 a121 a122 a123 3a121 0
练习二 答案 A 解析 因为 B E A B
所以 B A B E B E A E B
E1 A
又因为 C A C A
所以 C C A A C E A A C = AE1 A
所以 B C E A 1 A E A 1 = E A E A 1 E
正确答案选（A）
第 56 页 答案 D 解析 用初等矩阵 P 左乘矩阵 A ，所得矩阵 PA 就是对矩阵 A 做一次相应的 行初等变换所成矩阵；用初等矩阵 P 右乘矩阵 A ，所得矩阵 AP 就是对矩 阵 A 做一次相应的列初等变换所成矩阵．
而 A 1 a 1 a2 01 a
a 0.
(Ⅱ) X (E A2 ) AX (E A2 ) E
(E A) X (E A2 ) E
E A, E A2必可逆
X (E A)1(E A2 )1
1 1 01 0 0 11
= 1
1
1
0
1 0
0 1 1 1 0 2
2 1 1 2 0 1
1 a1
D
AT
1
a2
an1 1
an1 2
ai a j 0
1 jin
1 an
an1 n
由克拉默法则知，方程组有唯一的解．
x1
D1 D
1,
范德蒙行列式，参见 6 页（4）
11
a n 1 1
11
a n 1 2
x2
D2 D
1
1
D
a n 1 n
0
行列式的性质，两列元素相同，行列式为零
xn
Dn D
（3 阶矩阵 3 个特征值．）
A E 的行列式等于特征值乘积， A E 1 3 1 1． 3
答案 （2）24
解析 相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵 B 的特征值为 1,2,3，B E 的
特征值为 2，3，4.
B E 23 4 24.
第 26 页
答案 1 , 0 , ,T0
解析 线性方程组的系数行列式
即， 矩阵 A 列向量线性相关． 类似，矩阵 B 的行向量线性相关．
第 82 页 解析 β 由 α1, α2 , α3 线性表出问题转化成方程组解的问题.
设 k1α1 k2α2 k3α3
k1
α1 ,
α2
,α3k2来自k3 1 1 1 1 1 1 1 1
α1
,
α2
,
α3
,
2
（Ⅱ）当 a≠0, 且 a -b≠0 时,有唯一解
ka1 k2k2
a
b
k3 1 bk3 1
k3 0
k1
k2
k3
1 1 a
1 a
0
此时 β 可由 α1, α2 , α3 唯一地线性表出,表达式为
= 1 1 1 0 1
0
1 1 0 1 0 0
3 1 2 = 1 1 1 .
2 1 1
第 77 页 答案 A
解析 将矩阵 A 按列分块，即 A α1, α2, , αn ，
k1
矩阵 B 为非零矩阵，所以至少存在元素不全为零的一列
k2
，
kn
由 AB O ，得
k1α1 k2α2 knαn 0 ，
假设不成立， E BA可逆．
方法三 （分块矩阵 行列式）
E
B
A E
E
B
O E
E
AB O
A
E
E OE
B
E
B
取行列式
A
E
E O
A E BA
E A E O E AB A
E AB
B E B E O E
E OE A E A
E BA
B E B E O E BA
即 E BA E AB 0 ， E BA 不可逆．
又因 AA* = A E 即 AAT = A E 两边取行列式，有
A ΑΤ = Α Ε Α 2 = Α 3 A 为 0 或 1.
从而 3a121 1
故 a11
3 3
第 51 页 练习一 解析 方法一（定义法）
E E BA BA E BA B E AB E AB1 A
条件 E AB 可逆
a2
b 2
3
~
0
a
b
1
0 3a a 2b 3 0 3a a 2b 3
1 1 1 1
~
0
a
b
1
0 0 a b 0
（I）当 a=0 时,有
1 1 1 1
α1
,
α2
,
α3
,
~
0
0
b
1
0 0 0 1
r α1, α2, α3 r α1, α2, α3, ,无解, β 不能由 α1, α2 , α3 线性表示.
E BA B E AB1 A BAB E AB1 A
E BA E BA B E AB1 A
E BA E B E AB1 A
有可逆矩阵的定义知， E BA 可逆且逆矩阵为 E B E AB1 A ．
方法二（反证法）
假设 E BA 不可逆，则齐次线性方程组 E BA x 0 有非零解 η ，
1 0 0
1 0 0
根据题设条件 A 1 1 0 B ， 0 0 1 B E
0 0 1
0 1 0
即
P2 ΑP1 E
,
Α
P 1 2
EP11
P 2
P11 ．
这里
P 1 2
P2
，初等矩阵的逆矩阵形式要记住．
第 59 页 答案 (Ⅰ) a 0
3 1 2 (Ⅱ) 1 1 1
2 1 1 解析 (Ⅰ)
A3 O A3 0 A 0 a1 0
即 E BAη 0
左乘 A ，
A E BAη 0
Aη ABAη 0
E AB Aη 0 Aη 0 （若 Aη 0 ， E BAη η BAη η 0，与 η 是非零解矛盾）
E AB x 0 有非零解 Aη ．
齐次线性方程组有非零解， E AB 不可逆，与题设条件矛盾．
《2017 线性代数辅导讲义》练习参考答案
第 19 页 （特征值的相关知识见第五章） 答案 （1）1 解析 矩阵不可逆，矩阵行列式为零．
A 0 ， A 2E 0 ， 3A 2E 0 （特征值 E A 0）
矩阵 A 的特征值为 0, 2, 2 3
矩阵 A E 的特征值为 1,3, 1 , 3