243-5反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
反函数的求导法则
dx
dx du dx
例例1130.ylncos(e x) 求 dy dx
解解 dy [ln cos(ex)] 1 [cos(ex)]
dx
cos(ex)
1 [sin(ex)](ex)ex tan(ex) cos(ex)
例 例141.1
y
esin
1 x
求 dy
dx
解解
dy
(esin
1 x
)
esin 1x
(sin
1
)
esin
1 x
c
os
1
(
1
)
dx
x
xx
1 x2
esin
1 x
cos 1 x
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四、基本求导法则与导数公式
•基本初等函数的导数公式
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x
复合而成的
因因此此
ddyyddyydduu ccoossuu22((11xx22))((22xx))22 22((11xx22))ccooss 22xx
ddxx dduu ddxx
((11xx22))22 ((11xx22))22 11xx22
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复合函数的求导法则: dy f (u)g(x) 或 dy dy du
(16)
(arccotx) 1 1 x2
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四、基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则
(1) (u v)u v (2) (Cu)Cu (C是常数)
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗,如果不记得了,请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”,仅供参考,欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
课件:复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即:反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时,必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x,求
dy dx
.
解 令 u tan x ,则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ,求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
反函数、复合函数的求导法则
类似地有:(arccos x) = 1 。
1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0,
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2.求(arctan x)及(arccot x)。
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则:
dy dx
=
dy du
du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0,
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du
du dx
,或 y=yuux
。
例 7. y = 3 1 2x 2 ,求 dy 。 dx
解:
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]
高等数学 第2章 第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则
记y1 f (sin2 x)
y2 g(cos 2 x)
以抽象形式给出的函 数求导数
y1' f (sin2 x) sin2 x f '(sin2 x) 2sin x cos x
f (sin2 x) sin2x
y2 ' g(cos 2 x)( sin2x)
y ' f (sin2 x) sin2x g'(cos 2 x)( sin2x)
第三节 反函数的导数
复合函数的求导法则
一、反函数求导法则
设:x ( y)单调连续并在点y可导,且'( y) 0 x ( y)的反函数y f ( x)在对应点x处可导,则
f '(x) 1
'( y)
或者记为dy 1 dx dx
dy
注意:1、这里反函数的记法,并不把自变量按习惯记作x.
2、反函数关系是相互的。
2
.
例6 :y (2 x tan x)2 , 求y '
解: y ' 2(2x tan x) (2x tan x)' 2(2x tan x) (2 sec2 x)
例7 f ( x) sinnx cos n x (n R) 求f '( x).
解: f '( x) sinnx'cosn x sinnx (cosn x)'
du
dv v
dv
dw
1
cos w,
dw
dx
x2
dy dx
eu
1 v
cos w
1 x2
ln sin 1
ex
1 1
sin
cos
1 x
1
x2
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式:如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导,则复合函数y=f(g(x))也可导,且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数:对于自然对数函数y=ln(u),其中u是一个关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数:对于幂函数y=u^n,其中u是关于自变量x的函数,n是常数,则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数:对于指数函数y=a^u,其中a是常数,u是关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数:对于三角函数y=f(u),其中u是关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数:对于反三角函数y=f(u),其中u是关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数:对于双曲函数y=f(u),其中u是关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数:对于反双曲函数y=f(u),其中u是关于自变量x的函数,其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1:求函数y=(2x+1)^3的导数。
解:将y看作是外层函数f(u)=u^3,其中u=2x+1、根据链式法则,导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗,如果不清楚,快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”,仅供参考,欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读:求导公式运算法则是什么运算法则是:加(减)法则,[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则,[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则,[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。
导数也叫导函数值,又名微商,是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是:加(减)法则:[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则:[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则:[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式是什么怎么求导
复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的,该怎么求导呢?同学们清楚吗,不清楚的同学来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”,仅供参考,欢迎大家阅读。
复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法:先对该函数进行分解,分解成简单函数,然后对各个简单函数求导,最后将求导后的结果相乘,并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式:①设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解,分解成简单函数,然后对各个简单函数求导,最后将求导后的结果相乘,并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0,否则无意义。
复合函数求导,就是找出构成复合函数的子函数,一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数,一般来说会以它为中心进行化简,即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数,化好子函数后,就是求导过程,划出来的函数全部求导,代入即可。
拓展阅读:微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ,则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数:
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例:求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解:y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
2[1][1].4.3-5_反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
例 解:
设函数 y = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
, 求 y′ .
y′ = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
ln 3
⋅ 2 cos(x sin x2 ) ⋅ (− sin(x sin x2 ))
⋅ (sin x 2 + x cos x 2 ⋅ 2 x).
课内练习
求下列函数的导数: 求下列函数的导数:
(arctan x )′ = 1 1 + x2
(e x )′ = e x
1 (ln x )′ = x (cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc 2 x (csc x )′ = − csc x cot x 1 (arccos x )′ = − 1 − x2 1 ′=− (arc cot x ) 1 + x2
tan
2
(2) y =
x
y′ =
2 x tan 2 x − x 2 2 tan x sec 2 x tan 4 x 2 − 2x . = tan x
(3) y = sin2 ( x cosx)
y′ = 2sin(x cos x)(x cos x)′
= 2 sin(x cos x)(cosx + x sin x)
dy 例: y = arctan x , 求 . 设 dx
解: 函数 y = arctan x 的反函数是 x = tan y ( −
dx = (tan y )′y= sec 2 y > 0. dy
π
2
< y<
π
2
).
1 1 dy 1 1 . = = = = 2 2 2 dx dx sec y 1 + tan y 1+ x dy
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念,是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数,其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u),u=g(x),则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导,可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式:(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示,对于复合函数y=f(g(x)),其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则:设有函数y=f(u)=u^2,u=g(x),则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为:(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则:设有函数y=f(u)=1/u,u=g(x),则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为:(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则:设有函数y=f(u)=e^u,u=g(x),则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为:(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则:设有函数y=f(u)=ln(u),u=g(x),则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为:(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则:设有函数y=f(u)=sin(u),u=g(x),则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为:(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则:设有函数y=f(u)=cos(u),u=g(x),则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为:(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则:设有函数y=f(u)=tan(u),u=g(x),则y=f(g(x))=tan(g(x))。
反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
2.4.5 基本求导数公式 0 1( . C) 2. ( x ) x 1
1 4. (loga x ) x ln a 5. (sinx ) cos x (tan x ) sec2x (se cx ) se cx tan x 1 6. (arcsinx ) 1 x2 1 (arctanx ) 1 x2
则 f [ g( x )] | x 4 | x 4 在x 0处可导.
故选( 3 )。
(2) 错
16. ( x ) x 1
y x e
ln x
e ln x
令 t ln x 则y x 可看成由 y e t 与 t ln x复合而成。
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例如: y ln(sin( 2 x 1)), 则 1 y cos(2 x 1) ( 2 x 1) sin( 2 x 1) 2 cos(2 x 1) sin( 2 x 1)
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(sh x ) ch x
(ch x ) sh x
(cth x )
1
(arch x )
1 (th x ) 2 ch x
(arshx ) x 1
2
1 sh2 x
1 x2 1
1 (arth x ) 1 x2
(arcth x )
(1)必可导; ( 2)必不可导; ( 3)不一定可导
解: 已知 f (u) | u | 在u 0处不可导,
a . 若u g ( x ) sin x , u在x 0处可导,
反函数复合函数求导法则及基本求导公式
反函数复合函数求导法则及基本求导公式反函数求导法则:设函数y=f(x),在定义域上有反函数x=g(y)。
对于点(a,b)属于f上的一个点,则点(b,a)一定属于g上的一个点。
根据导数的定义,有:f'(a) = limΔx→0 [f(a+Δx) - f(a)]/Δx现在我们将Δx改为h,那么将f(a)改为b,即:f'(a) = limh→0 [f(a+h) - f(a)]/h令h=g(b+h)-g(b),那么有:g'(b) = limh→0 [g(b+h) - g(b)]/h将h=q-a,代入上式得:g'(b) = limh→0 [g(q-a) - g(b)]/(q-a)即:g'(b)=1/[(q-a)/(g(q-a)-g(b))]令q→a,得:g'(b)=1/f'(a)综上所述,若函数f(x)在特定点a处存在导数,并且f'(a)不等于0,则它的反函数g(y)在点(b,a)处有导数,并且g'(b)=1/f'(a)。
复合函数求导法则:设函数y=f(u)和u=g(x),那么复合函数y=f(g(x))表示为:y=f(u),u=g(x)那么通过链式法则,复合函数的导数可以表示为:dy/dx = dy/du * du/dx其中,dy/du表示函数y=f(u)对自变量u的导数,du/dx表示函数u=g(x)对自变量x的导数。
基本求导公式:1.常数法则:若f(x)=C,其中C为常数,则f'(x)=0。
2. 幂函数法则:若f(x) = x^n,其中n为常数,则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数法则:若f(x) = a^x,其中a为常数且不等于1,则f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数法则:若f(x) = log_a(x),其中a为常数且大于0且不等于1,则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数求导法则,也叫链式法则,是微积分中的重要概念,是求解复杂函数的导数的关键。
本文将介绍复合函数求导法则的基本概念、公式和应用。
一、什么是复合函数复合函数是将一个函数作为另一个函数的输入值,类似于嵌套,通过组合这两个函数产生一个新的函数的过程。
形式上,若函数f(x)和g(x)均为实数到实数的映射,则其复合函数为所定义的函数h(x),对于每个x∈ R,有:h(x) = f(g(x))其中,g(x)为函数f(x)的自变量。
用图像来表示复合函数,可以想象成,首先从自变量x开始,先经过g(x)的变换,得到中间量g(x),再将其作为f(x)的输入,进行f(x)的变换,这样得到的最终输出即为h(x)的值。
二、链式法则的引入对于给定的复合函数h(x),求其导数可以采用基本的导数法则,如求和法则、差法则和积法则等。
但对于如上所述的复合函数,常规的导数法则并不能直接得到其导数的表达式。
例如,设:h(x) = (x^2 + 1)^5如果直接对其求导,式子会变得非常复杂。
但如果我们将其看成是将一个函数g(x)作为另一个函数f(x)的输入来进行计算,即:g(x) = x^2 + 1f(g(x)) = g(x)^5这样,我们就可以通过f(x)和g(x)的导数来求出复合函数h(x)的导数,从而避免了直接对h(x)求导时的复杂度。
这就是链式法则的思路。
三、链式法则的公式1.一元函数的链式法则假设y=f(u)和u=g(x)是实值函数,且它们都可导,则$y=f(g(x))$为实值函数,且它的导数由下式计算:$$\\left.y^{\\prime}\\right|_{x}=\\left.\\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u}\\right|_{u=g(x)} \\cdot \\frac{\\mathrm{~d} u}{\\mathrm{d} x} $$其中,“|”表示在某个特定点处求导。
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数,通常被写作f(g(x))。
求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。
链式法则可以让我们求解复杂函数的导数,它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数,然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。
首先了解几个基本概念:
1、定义域:定义域指变量的取值范围,所有在定义域内的取值,对应的函数值都是定义的。
2、域:函数的取值范围就叫域,也就是实际上函数所取得的真实数值范围。
3、反函数:如果一个函数f(x)的反函数是g(x),那么g(x)的定义域就是f(x)的域,而f(x)的定义域就是g(x)的域。
4、导数:导数表示函数的变化率,是描述函数单调性的概念。
基于上文所说的基本概念,可以提出反函数的导数复合函数的求导法则:
即反函数的导数复合函数f(g(x))的求导法则是:
f(g(x))的导数等于f(g(x))在g(x)处的导数乘以g(x)在x处的导数。
即:
f(g(x))′=f(g(x))′g(x)′
举例说明:
如果f(x)和g(x)分别如下定义:
f(x)=x2+1
g(x)=ln(x)。
反函数和复合函数的求导法则
二、反函数的导数法则定理1:设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数,若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续,严格单调,且0)(0≠'y ϕ,则)(x f 在0x (即)(0y f 点有导数),且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明:00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1:00y y x x →⇔→,因为)(y ϕ在0y 点附近连续,严格单调;2:若视0x 为任意,并用x 代替,使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =,其中dydx dx dy ,均为整体记号,各代表不同的意义;3:)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导,但意义不同; 4:定理1即说:反函数的导数等于直接函数导数的倒数; 5:注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数,解:由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ,是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数,由定理1得:2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1:同理可证:22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--=';2:2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数,求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u),u=g(x),则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为:$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中,$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数,$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如,设 $f(u) = u^2$,$g(x) = 3x +1$,则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式,可得:$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以,$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为:$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中,$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数,$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数,$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数,$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数,$y=f(u)$。
复合函数导数的基本公式14个
复合函数导数的基本公式14个下面是复合函数导数的14个基本公式:1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法。
设函数y=f(u)和u=g(x),则复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx等于dy/du乘以du/dx,即(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
2.反函数法则如果函数y=f(x)的反函数存在,则反函数y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
3.乘积法则设函数y=u(x)v(x),其中u(x)和v(x)是关于x的函数,则函数y的导数dy/dx等于u'(x)v(x)+u(x)v'(x),即(dy/dx)=(u'(x)v(x))+(u(x)v'(x))。
4.商法则设函数y=u(x)/v(x),其中u(x)和v(x)是关于x的函数,且v(x)不等于0,则函数y的导数dy/dx等于(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2,即(dy/dx)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^25.幂函数法则设函数y=u(x)^n,其中u(x)是关于x的函数,n是常数,则函数y的导数dy/dx等于n(u(x))^n-1*u'(x),即(dy/dx)=n(u(x))^n-1*u'(x)。
6.指数函数法则设函数y=a^u(x),其中a是常数,u(x)是关于x的函数,则函数y的导数dy/dx等于a^u(x)ln(a)*u'(x),即(dy/dx)=a^u(x)ln(a)*u'(x)。
7.对数函数法则设函数y=log_a(u(x)),其中a是常数,u(x)是关于x的函数,则函数y的导数dy/dx等于1/(u(x)ln(a))*u'(x),即(dy/dx)=1/(u(x)ln(a))*u'(x)。
8.双曲函数法则设函数y=sinh(u(x)),其中u(x)是关于x的函数,则函数y的导数dy/dx等于u'(x)cosh(u(x)),即(dy/dx)=u'(x)cosh(u(x))。
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解: yax的反x函 loa数 y g(0是 y ).
dx 1 dy y lna
1 a x lna .
dy 1
dx dx dy
axlna.
特别的 (ex), ex.
基本求导公式 2
1.( 0 x ) x 1
1.1 (ax)axln a
x2 x
(2) y tan2 x
y 2xta2x nx22taxn se2x c
2x2
.
tan x
ta4x n
(3)ysi2n (xcox)s
y 2six n co x ()x s (co x)s
2 six c nx o )(( sx c x s ox is )n
x2 (4)y(x2 2)3
1.2(ex)ex.
1.3(arcx)s in 1 . 1x2
1.5(arcxt)a 1n1x2.
1.4(arcx)cos 1 . 1x2
1.6(arccox)t11x2.
1.7(sh)xch. x
1.8(ch)x sh.x
1.(9 ar)s (h lx n x1 ( x 2)) 1 . 1 x 2
2. y sin 2 x x
2xco2sxsin2x
x2
1
3. y ln( x a 2 x 2 ) a2 x2
4. y ln(csc x cot x);csxc
5. y (arcsin x )2 2
2
x
arcsin
4x2
2
6. y e arctan
x
1
earctaxn
2 x(1x)
2 1 x 3 x 2 8 1 ta 2 (n l2 n x 3 ( 1 )s)2 e (lc 2 n x 3 ( 1 )).
例
设 函 y3 c2 o 数 (x six 2 n ),求 y.
解: y3co2(sxsixn2)ln3
2 co x ssix 2 (n )( six s nix 2 (n )) (sx i2n xco x2s2x).
6、 设 f ( x)可导,且 y f ( x 2 ),
则dy =
2xf(x2)
.
dx
7. 设 f ( x) e tank x,则 f ( x)= e ta kx n k ta k 1x n s2 e xc,
1
若 f e,则 k
2
.
4
二、 -求下列函数的导数:
1. y arccos 1 x x x2 x2 1
推广
1 .设 yf(u ),u(v),v (x)均可导,
则复合y函 f{数 [(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
例 y ta 3(n l2 n x 3 (1 )) 求 ,y .
解 y 3 ta 2(n l2 n x 3( 1 ))
s e2(cln 2x(31))
2x3116x2
2x 0(x21)9.
例3
求函 yx数 a2x2a2arx c的 sin 导 . 数
2
2a
(a0)
解 y(xa2x2)(a2arcx)s in
2
2a
1a 2 x 2 1 x 2 a 2
2
2a 2 x 2 2a 2 x 2
a2x2.
例4
求函 yl数 nx21(x2)的导 . 数 3x2
解 y1ln x2 (1 )1ln x (2 ),
ห้องสมุดไป่ตู้
或者,
(ar x )s h 1 1 1 1 (sy h ) chy s2 h y 1 x 2 1
例 : 求c函 hx数 ex ex 反 函 数 及 其 导 2
解 : yc令 h xexex 2
e2x2yex10
ex
2y
4y24 y
y21(减号舍
2
xlny ( y21)
互 x 与 y 换 得 :y ln x (x 2 1 )
y 2x(x22)3x23(x22)22x (x22)6
4x(1 x2) (x2 2)4 .
(5)ylnx( x21)
y (x
x
x2 1) 1 x2
1( x2 1)
1 x2
x 1 x2 1 x2
x
(6) y 2lnx.
y
x
2lnx ln2(
x
)
lnx
2lx nxln2(l1 nxln 1 2x)
即 arxc lh n x (x2 1)
( archx) (x x2 1) x x2 1
1
2x
(1
)
x x2 1 2 x2 1
x x2 1 1 1 x x2 1 x2 1 x2 1
或者,
(ar x )c h 1 1 1 1 (cy h ) shy c2h y 1 x 2 1
' (arxt)h ( t1y h )c2 h y1s2 h y
(taxn )se2xc
(cox)tcs2xc
(sx e) csextcaxn (cx)s c cs xcco xt
6.(arcxs)in 1 (arcxc)os 1
1x2
1x2
(arcxt)an11x2
(arccox)t11x2
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(shx)'chx
(thx)'
1 ch2x
练习题
一、 填空题:
1、 设 y (2x 5)4,则 y= 8(2x5)3
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= taxn
.
1 0xta n2x ln1 0
5、 设 y 10x tan 2x ,则 y= (ta2nx2xse2c2x) .
因 此dy f(u)(x).
dx
或可 f( x ) '写 f'(( x ) 成 ) '( x )
例设 : ysix n2 (1)求 , d.y dx
解 设 y : su i,n u x 2 1 . d y dd y u cu o 2 x s 2 x co x 2 s 1 )( dx dd ux
例 设f( 函 x ) ln 数 x ( 1 s )求 ) if n ,(0 ).(
解
f(0)ln(s1i)n
f(0)(ln1 ())si0n
f(x)co1 sx ()co1 tx () si1 nx ()
f(0)co1.t
例 设 f(x )可y 导 f(s2 , x i)n 求 ,d y ?
2.4.4 复合函数求导法则
定理 1 (链式法则)
若 u(x)在x处 点可 yf(u 导 )在, 对 u( 应 x)处 点 也,可 则 y导 f(x)在x处 点也 且 可 导
且dy dy du dx du dx
即dyf(u)(x)
dx
证明: 由 u (x )在 x 处 点可 且 yf导 (u )在 , 对 (x )
ex0 exy 1y2 xlny ( 1y2) 互 x 与 y 换 得 :y ln x (1 x 2)
即 arx slh n x (1x 2)
( arshx) (x 1 x2 ) x 1 x2
1
2x
(1
)
x 1 x2 2 1 x2
x 1 x2 1
1
x 1 x2 1 x2 1 x2
知当 道 x , 0时 u 有 0 , 从而有
li m ( u ) li m ( u ) 0 ,
x 0
u 0
于 li y 是 m f ( u ) ( x ) f ( u ) li( m x ) li( m u ) li u m .
x 0 x
x x 0 u 0 x 0
(s x 2 i 1 ) ) n c( x o 2 1 )x s 2 ( 1 ( ) 2 x cx o 2 1 )s .
例 (x : )(el n x)elnx(lnx) elnx x1.
x (ax)(exlna)exlna(xlna)exlnalnaax lna.
(xtan(sxi))nxtanx()s x itnanx()sin
课内练习
求下列函数的导数:
(1)ylnx,
(2)
y
x2 tan2
x
(3)ysi2n (xcox)s
x2 (4)y(x2 2)3
(5)ylnx( x21)
x
(6) y 2lnx.
(1)ylnx,
lnx lln nx(x)
x0, x0.
(lnx)1, x0.
(l
x
nx)
1
.
(lnx())1, x0. x
. 三、
7. y arcsin x
arccos x 2 1x2(arccxo)2s
8. y arcsin
1 x 1 x
1 (1x) 2x(1x)
三.设 f (x), g(x)可导,且 f 2(x) g2(x) 0,求函数 y f 2 ( x) g 2 ( x)的导数 . yf(x)f(x)g(x)g(x)
tan x ) (x se 2 i(n c sx ) in (x s)in tan x ) (x s se 2 i(n c sx ) ic no x . s
( x2 ) (x2) 1x2x2( 1x2)
1 x2
( 1x2)2
2x 1x2 x2 (1x2)
2 1x2 1x2
2x x3 3.
(1 x 2 ) 2
的点u处也可导故, y f ( u ) u ( u ) u ,