【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件
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最新语文版中职数学拓展模块3.1排列、组合1课件PPT.ppt
动 脑 思 考
= n(n 1)(n 2) (n m 1) 21 (n m) 21
（n
n! m)!
探
索 新
即
Pnm
（n
n! m)!
知
例2 计算 P52 和 P44．
解 P52 =5×4=20， P44 4！ 4 3 2 1 24．
巩
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完 成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
设
上面的计数原理叫做分类计数原理．
导
北京→重庆，北京→上海， 重庆→北京，
入
重庆→上海，上海→北京， 上海→重庆．
我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，那么上面的
动
问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以
脑
得到多少种不同的排列．
思
考
一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照一定的顺
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
排列与组合、 二项式定理的应用PPT优秀课件
所以符合题意的不同取法种数为 C104(4C64+6+3)=141.
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
3.1中职数学《排列与组合》ppt课件1(详细)
探
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列．
索
新
当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
知
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
解 所有排列为
巩
ab, ac, ad,ba,bc,bd, ca, cb, cd, da.db, dc
固
知
分析 首先任取1个元
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第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有kn 种方法，那么完
成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
下面看一个问题：
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
本节完
从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的
所有排列的个数叫做从n个不同元素中任取m个不同
动 脑 思
A 元素的排列数．记做 m
n
考
探 索 新 知
如何计算 Amn 呢？
…
1号位
2号位
3号位
m号位
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》word教案
排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测20XX年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理_
我们看到a bn的二项式共有n 1项,其中各项的系 数Ckn(k 0,1,2, ,n)叫做二项式系数 (binomial coef
fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6
2x
16
x x
1 x3
2x
16
1 x3
2x6
C16 2x5
C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明 由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘 时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项 式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x
1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x
1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定
fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6
2x
16
x x
1 x3
2x
16
1 x3
2x6
C16 2x5
C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明 由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘 时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项 式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x
1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x
1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定
语文版中职数学拓展模块3.1《排列、组合》ppt课件3
解1： 桔子：0 – 6；苹果：0 - 9 包括空篮：7*10=70 篮子不空：70-1=69
解2： s1=没有桔子的装法：9 s2=至少有1个桔子的装法：6*10 由加法原理 S=s1+s2 篮子不空： 9+60=69
例5 解：
在1000和9999之间有多少个具有不同数字 的奇数？
1-9 0-9 0-9 奇数
解 (1)每2个点唯一确定一条直线
n
C
2 25
25! 2!23!
25 24 2
300
(2)每3个点唯一确定一个三角形
n
C
3 25
25! 3!22!
25 24 23 23
例2 15选修数学课，其中12人来上课，他们随 便坐在教室的25个座位上。
共有多少中不同坐法？
解 (1)选择12个人来上课：
设8个车中有1个红车，3个蓝车，4个黄车。
S {1 R,3 B,4 Y}, 所以
8! 8!2
n 8!
1!3!4! 1!3!4!
定理3.4.3
设n个 车 共 有k种 颜 色 ， 第i种 颜 色 的 车ni个,
n n1 n2 nk。 则 在n n的 棋 盘 上 ， 非 攻
定理3.3.1
特别：
n r
P(n, r) r!
n! r!(n r)!
C
0 n
1,
C
1 n
n,
C
2 n
n(n 1) 2
C
r n
C
n n
r
定理3.3.2
解2： s1=没有桔子的装法：9 s2=至少有1个桔子的装法：6*10 由加法原理 S=s1+s2 篮子不空： 9+60=69
例5 解：
在1000和9999之间有多少个具有不同数字 的奇数？
1-9 0-9 0-9 奇数
解 (1)每2个点唯一确定一条直线
n
C
2 25
25! 2!23!
25 24 2
300
(2)每3个点唯一确定一个三角形
n
C
3 25
25! 3!22!
25 24 23 23
例2 15选修数学课，其中12人来上课，他们随 便坐在教室的25个座位上。
共有多少中不同坐法？
解 (1)选择12个人来上课：
设8个车中有1个红车，3个蓝车，4个黄车。
S {1 R,3 B,4 Y}, 所以
8! 8!2
n 8!
1!3!4! 1!3!4!
定理3.4.3
设n个 车 共 有k种 颜 色 ， 第i种 颜 色 的 车ni个,
n n1 n2 nk。 则 在n n的 棋 盘 上 ， 非 攻
定理3.3.1
特别：
n r
P(n, r) r!
n! r!(n r)!
C
0 n
1,
C
1 n
n,
C
2 n
n(n 1) 2
C
r n
C
n n
r
定理3.3.2
排列组合与二项式定理PPT课件
(1)C0n＋Cn1
＋
…＋
Crn＋…
＋
Cnn＝ 2n；
C0n＋
Cn2
＋
…＝
Cn1
＋
C
3 n
＋…＝2n－1.
(2) 应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 二 项 展 开 式 中 各项 系 数 和 为
f(1)．“奇数(偶次)项”系数和为12[f(1)＋f(－1)]，“偶数(奇次)
项”系数和为12[f(1)－f(－1)]．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 计数原理及其应用
例1(1)在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用⊗表 示运算符号，并规定，当m和n都为奇数或都为偶数时，m⊗n ＝m＋n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n ＝mn，设集合M＝{(a，b)|a⊗b＝36，a、b∈N＋}，则集合M 中共有________个元素；
第18讲 │ 要点热点探究
41 【解析】 一类：当 m、n 都为奇数时，由 m＋n＝36， 可知 m＝1,3,5，…，35，相应的 n 随之确定，共有 18 个不同 数对(a，b)；
二类：当 m 和 n 都为偶数时，由 m＋n＝36，可知 m＝ 2,4,6，…，34，相应的 n 随之确定，共有 17与D”看成一个整体，故有2A
3 4
＝
48种涂法．
故不同的涂法共有24＋48＝72种，选A.
【点评】 本题的涂色问题是一类典型应用两个计数原理解决的 计数问题，在高考中多次出现这类问题，解决的基本思路有两条：一 是按照颜色的种类进行分类；二是按区域一个一个地涂色．在具体填 涂的过程中应用计数原理，找到问题的解决方案．
第18讲 │ 要点热点探究
【点评】 分清是分类还是分步，是决定用分类计算原理 还是分步计算原理的必要条件；分类时标准统一，做到不重不 漏．分步时程序清晰，做到独立、完整．如果题目中既要用到 分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分 类，再分步”的原则．
【高教版】中职数学拓展模块：3.1《排列与组合》ppt课件(2)
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
例7 从5名学生中，选出2名学生． （1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ （2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）不同的选法共有
2 C5
分析 人担 任两项不同的工 作，是有序的， 是排列问题．
2 C100
100 99 98 161700． 3 2 1
巩 固 知 识 典 型 例 题
例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检 查．问 （1）一共有多少种不同的抽取方法？ （2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多 少种？ （3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有 多少种？ （2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98 件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取 方法的种数为
自 我 反 思 目 标 检 测
袋中共有10个不同的球，其中白色球友8个，红色球有2 个．从中任意取出3个球， （1）取出的3个球全部是白球的取法共有多少种？ （2）取出的3个球中恰好有1个是红球的方法共有多少种？ （3）取出的3个球中至少有1个是红球的方法共有多少种？
56； 56； 64．
继续探索 活动探究
3 3 C100 C98 161700 152096 9604．
例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须 要相邻，那么共有多少种不同的排法？ 解 不同的排法共有
巩 固 知 识 典 型 例 题
P22 P66 2 1 6 5 4 3 2 1 1440 （种）． 要注意“先 考虑特殊元素 分析 或特殊位置， 分成两步来 再考虑一般元 排队．第一步， 素或位置”这 将这两个人的顺 种分步骤研究 序排好；第二步， 方法的使用． 将这两个人作为 一个总体，与剩 下的5名学生一 起排队．
3.1 排列与组合
例7 从5名学生中，选出2名学生． （1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ （2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）不同的选法共有
2 C5
分析 人担 任两项不同的工 作，是有序的， 是排列问题．
2 C100
100 99 98 161700． 3 2 1
巩 固 知 识 典 型 例 题
例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检 查．问 （1）一共有多少种不同的抽取方法？ （2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多 少种？ （3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有 多少种？ （2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98 件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取 方法的种数为
自 我 反 思 目 标 检 测
袋中共有10个不同的球，其中白色球友8个，红色球有2 个．从中任意取出3个球， （1）取出的3个球全部是白球的取法共有多少种？ （2）取出的3个球中恰好有1个是红球的方法共有多少种？ （3）取出的3个球中至少有1个是红球的方法共有多少种？
56； 56； 64．
继续探索 活动探究
3 3 C100 C98 161700 152096 9604．
例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须 要相邻，那么共有多少种不同的排法？ 解 不同的排法共有
巩 固 知 识 典 型 例 题
P22 P66 2 1 6 5 4 3 2 1 1440 （种）． 要注意“先 考虑特殊元素 分析 或特殊位置， 分成两步来 再考虑一般元 排队．第一步， 素或位置”这 将这两个人的顺 种分步骤研究 序排好；第二步， 方法的使用． 将这两个人作为 一个总体，与剩 下的5名学生一 起排队．
【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件
(2)由组合数的性质可得 ++ = + + =+.
又= , 所以 = + , 即 + = +, 所以 = ， 所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
凡遇到解排列、组合的方程, 不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
则有 2x+y≥5
x,y∈N*,
x=1 x=2 x=3 x=4 解得
y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
++
+ =195.
本题需运用不等式的知识，确 定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
一.特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=① 种不m同1+的m2方+m法3＋. …+mn 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
高教版中职数学(拓展模块)3.1《排列与组合》ppt课件3
用符号Amn表示。
当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同
判断下列问题是否是排列问题： 1、从2,3,4,5中任取两个数进行如下运算，分别有多少 种结果 A、相加 B、相减 C、相乘 D、相除
2、某班50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写 多少信？
3、若把上题中写信改为通电话，共需通电话多少次？
排列数为： A53
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的 顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排 列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的 方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关， 也就是说与位置有关的问题才能归纳为排列问 题。当元素较少时，可以根据排列的意义写出 所有的排列．（树形图）
求从4个不同的元素中取出 3个元素的排列数
思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排 列数 An2 是
多少？ An3 呢？
求从A、B、C、D四个元素中任取两个元 素的所有排列以及排列数．
解：所有排列有： AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、
CD、DA、DB、DC．
排列数为： A42
排列数与排列是两个不同的概念：
注意： 定义中包含两个基本内容：
取出元素 按照一定的顺序排列
判断一个问题是否 是排列的标志
排列
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列(arrangement).
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，
用排列原理解决问题
求从3个不同的元素中取 出2个元素的排列数。
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一
当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同
判断下列问题是否是排列问题： 1、从2,3,4,5中任取两个数进行如下运算，分别有多少 种结果 A、相加 B、相减 C、相乘 D、相除
2、某班50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写 多少信？
3、若把上题中写信改为通电话，共需通电话多少次？
排列数为： A53
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的 顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排 列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的 方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关， 也就是说与位置有关的问题才能归纳为排列问 题。当元素较少时，可以根据排列的意义写出 所有的排列．（树形图）
求从4个不同的元素中取出 3个元素的排列数
思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排 列数 An2 是
多少？ An3 呢？
求从A、B、C、D四个元素中任取两个元 素的所有排列以及排列数．
解：所有排列有： AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、
CD、DA、DB、DC．
排列数为： A42
排列数与排列是两个不同的概念：
注意： 定义中包含两个基本内容：
取出元素 按照一定的顺序排列
判断一个问题是否 是排列的标志
排列
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列(arrangement).
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，
用排列原理解决问题
求从3个不同的元素中取 出2个元素的排列数。
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一
最新语文版中职数学拓展模块3.1排列、组合2课件PPT.ppt
A55 A41 A44 A31 A44 A21 A44 A44
2005年11月7日7时33分
解：所有可能的取法共有
C81 C110C110 C110C110C110C110 8000000(门）
例5: 4个男同学进行乒乓球双打比 赛，有几种配组方法？
解：配对方法有
1 2
C42
（3 种）
（或先固定一人，其余3人中再选一人与之配对， 则另两人自然组成一组，故共有配组方法C31 （3 种））
合数
C1300
பைடு நூலகம்
100 99 98 3 21
161700
(2)分两步完成。第一步从2件次品中抽取1件，第二步从98件 正品中抽取2件由分步计数原理知，恰有一件次品的不同抽 取方法的种数为
C21
C928
2
98 97 21
9506
（3）从中任意抽取不同的3件产品的取法总数，减去3件全 是正品的抽取种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方
解:从30名男生中选3人的选法有： C330
从20名女生中选2人的选法有：C
2 20
所以不同的选法共有：C330 C220 A55
解例：3投：掷一5枚次硬投币掷可5能枚出不现的同结的果硬一币共有，问 可能2×出2×现2的×2结×果2=2一5=共32有多少种？
例4
某城市的电话号码是从0，1，2，…， 9这10个数字中选出7个不同的数字组 成（允许数字重复），但0,1不能作为 电话号码的首位数，问城市最多可装电 话多少门？
3.1.3 排列与组合的 应用举例
• 例1.100件产品中有两件次品，从中任取3件 进行检查。问
（1）一共有多少不同的抽取方法？
2005年11月7日7时33分
解：所有可能的取法共有
C81 C110C110 C110C110C110C110 8000000(门）
例5: 4个男同学进行乒乓球双打比 赛，有几种配组方法？
解：配对方法有
1 2
C42
（3 种）
（或先固定一人，其余3人中再选一人与之配对， 则另两人自然组成一组，故共有配组方法C31 （3 种））
合数
C1300
பைடு நூலகம்
100 99 98 3 21
161700
(2)分两步完成。第一步从2件次品中抽取1件，第二步从98件 正品中抽取2件由分步计数原理知，恰有一件次品的不同抽 取方法的种数为
C21
C928
2
98 97 21
9506
（3）从中任意抽取不同的3件产品的取法总数，减去3件全 是正品的抽取种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方
解:从30名男生中选3人的选法有： C330
从20名女生中选2人的选法有：C
2 20
所以不同的选法共有：C330 C220 A55
解例：3投：掷一5枚次硬投币掷可5能枚出不现的同结的果硬一币共有，问 可能2×出2×现2的×2结×果2=2一5=共32有多少种？
例4
某城市的电话号码是从0，1，2，…， 9这10个数字中选出7个不同的数字组 成（允许数字重复），但0,1不能作为 电话号码的首位数，问城市最多可装电 话多少门？
3.1.3 排列与组合的 应用举例
• 例1.100件产品中有两件次品，从中任取3件 进行检查。问
（1）一共有多少不同的抽取方法？
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计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n①类m办1+法m中2+m有3m＋n…种+不m同n种的不方同法的方,那法么. 完成这件事共有N= 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
练习题
1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若
两种花不种在中间，也不种在两端的花
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有A53种排法
第二步排其余的位置：有A44种排法共有A53 A44种不同的排法 解二：第一步由葵花去占位：有A42种排法 第二步由其余元素占位：
(方法二)不大于21034的偶数可分为三类： 1为万位数字的偶数，有 A31A33 =18(个); 2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A21 =2(个); 还有21034本身. 而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
A44 + A21 A31 A33=60(个). 故满足条件的五位偶数共有
60- A31 A33 - A21 -1=39(个).
分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是 全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分 类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进 行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互 独立.
(２)用间接法.
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有4个黄球，6个红球，击 黄球入袋记2分，击红球入袋记1分.欲将 此１0个球中的4个球击入袋中，但总分 不低于5分，则击球方法有几种？
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
先排末位共有_C_31_ 然后排首位共有_C_41_
最后排其它位置共有_P4_3_C
种方法；
由分类计数原理，共有不同的选派方法有 40+60+20=120种.
(方法二)在这九名同学中任选四名，有
C94 =126种方法.其中四人都是男同 学的有 C44 =1种方法；四人都是女同 学的有 C54 =5种方法，因此符合要求 的选派方法有126-1-5=120种.
点评 有限制条件的组合应用题的限制条件主
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女
同学中选派４名参加小合唱节目，如果要
求男女同学至少各选派１名，那么不同的
选派方法有多少种？
(方法一)按选派的男同学的人数分三类：
①选派一名男同学，三名女同学有
C
1 4
·C53
＝40
种方法； ②选派两名男同学，两名女同学有C42 C·52 ＝60
种方法； ③选派三名男同学，一名女同学有C43 C·51 ＝20
(2)（方法一）可分两类:
0是末位数，有 A22 A22 =4（个）；
２或４是末位数，有 A22 A21 =4(个). 故共有4+4=8(个).
(方法二)第二位、第四位从奇数1，3中取， 有 个A;首22 位从２,４中取，有 个；A21余下 排在剩下的两位，有 个,A故22 共有 A22 A21 A22 =8(个).
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语
书各一本，有多少种不同的取法？
N=m1×m2×m3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
+ C C x
x2
x 1
x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有 (4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n①类m办1+法m中2+m有3m＋n…种+不m同n种的不方同法的方,那法么. 完成这件事共有N= 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
练习题
1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若
两种花不种在中间，也不种在两端的花
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有A53种排法
第二步排其余的位置：有A44种排法共有A53 A44种不同的排法 解二：第一步由葵花去占位：有A42种排法 第二步由其余元素占位：
(方法二)不大于21034的偶数可分为三类： 1为万位数字的偶数，有 A31A33 =18(个); 2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A21 =2(个); 还有21034本身. 而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
A44 + A21 A31 A33=60(个). 故满足条件的五位偶数共有
60- A31 A33 - A21 -1=39(个).
分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是 全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分 类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进 行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互 独立.
(２)用间接法.
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有4个黄球，6个红球，击 黄球入袋记2分，击红球入袋记1分.欲将 此１0个球中的4个球击入袋中，但总分 不低于5分，则击球方法有几种？
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
先排末位共有_C_31_ 然后排首位共有_C_41_
最后排其它位置共有_P4_3_C
种方法；
由分类计数原理，共有不同的选派方法有 40+60+20=120种.
(方法二)在这九名同学中任选四名，有
C94 =126种方法.其中四人都是男同 学的有 C44 =1种方法；四人都是女同 学的有 C54 =5种方法，因此符合要求 的选派方法有126-1-5=120种.
点评 有限制条件的组合应用题的限制条件主
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女
同学中选派４名参加小合唱节目，如果要
求男女同学至少各选派１名，那么不同的
选派方法有多少种？
(方法一)按选派的男同学的人数分三类：
①选派一名男同学，三名女同学有
C
1 4
·C53
＝40
种方法； ②选派两名男同学，两名女同学有C42 C·52 ＝60
种方法； ③选派三名男同学，一名女同学有C43 C·51 ＝20
(2)（方法一）可分两类:
0是末位数，有 A22 A22 =4（个）；
２或４是末位数，有 A22 A21 =4(个). 故共有4+4=8(个).
(方法二)第二位、第四位从奇数1，3中取， 有 个A;首22 位从２,４中取，有 个；A21余下 排在剩下的两位，有 个,A故22 共有 A22 A21 A22 =8(个).
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语
书各一本，有多少种不同的取法？
N=m1×m2×m3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
+ C C x
x2
x 1
x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有 (4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.