初中数学——构造全等三角形的五种常用方法

所以∠1＝∠2. ∠1＝∠2，
在△ACD 和△CBG 中，AC＝CB， ∠ACD＝∠CBG＝90°，
所以△ACD≌△CBG(ASA)． 所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 CD＝BD.所以 BD＝BG. 因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. 因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD， 所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
所以∠DBF＝∠GBF. BD＝BG，
在△BDF 和△BGF 中，∠DBF＝∠GBF， BF＝BF，
所以△BDF≌△BGF(SAS)．所以∠BDF＝∠G.
所以∠ADC＝∠BDF.
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方 法 3 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为 CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数． 解：如图，延长CB 到点H，使得BH＝ DF，连接AH.
所以∠D＝∠ABH＝90°. AB＝AD，
在△ABH 和△ADF 中，∠ABH＝∠D＝90°， BH＝DF，
所以△ABH≌△ADF(SAS)． 所以 AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. 所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF. 所以∠HAF＝∠BAD＝90°.
因为 BE＋DF＝EF，所以 BE＋BH＝EF，即 EH＝EF. AH＝AF，
在△AEH 和△AEF 中，AE＝AE， EH＝EF，
所以△AEH≌△AEF(SSS)．
所以∠EAH＝∠EAF.
所以∠EAF＝12∠HAF＝45°.
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方 法 4 倍长中线法
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5， AC＝3，求AD长度的取值范围． 解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB.
因为AB－EB<AE<AB＋EB，
所以AB－AC<2AD<AB＋AC.
又因为AB＝5，AC＝3，
所以2<2AD<8. 所以1<AD<4.
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方 法 5 截长补短法
5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在 AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？ 为什么？
∠ABD＝∠FBD， 在△ABD 和△FBD 中，BD＝BD，
∠ADB＝∠FDB＝90°， 所以△ABD≌△FBD(ASA)．所以∠2＝∠DFB.
又因为∠DFB＝180°－∠AFC，
∠1＋∠C＝180°－∠AFC，
所以∠DFB＝∠1＋∠C.所以∠2＝∠1＋∠C.
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பைடு நூலகம் 方 法 2 构造法
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD 于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 试说明：∠ADC＝∠BDF.
第四章 三角形
构造全等三角形的五种常用方法
方 法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.
解：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻 折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)． 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因为BD⊥AD， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°.
＝∠BCD＝90°.
因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.
又因为CE＝CF，GC＝GC，
所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.
所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
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解：成立．理由如下： 如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF. 在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°， 所以∠CDF＝∠B＝90°. 又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)． 所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.
所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF