24.1.4圆内接四边形课件PPT
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第二十四章
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
简单的计算和证明等问题． 重点 圆内接四边形的性质的运用． 难点 圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加 辅助线．
共15张 7
练一练
1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A ) A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. 2.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ） 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
一个例题：利用圆内接四边形性质求角之间的关系。
共15张 14
作业布置
教材第91页 习题第17题． 2.已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个 外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC 3.已知：如图，四边形ABCD是圆的内 接 四边形，且ABCD是平行四边形。
4.(1)圆内接平行四边形一定是______形。 (2)圆内接菱形一定是 _________ 形。
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
共15张 1
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
» DE » （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. BD
共15张
E C
13
课堂小结
本节课所学的内容可概括为四个“一”.
一个概念：圆的内接四边形；
顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形,该圆叫四边形的外接圆。
来自百度文库
一个定理：圆的内接四边形的性质定理； 圆的内接四边形的对角互补。
一个推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
1 BAC BOC , 2
O A B C
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
共15张 12
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? » DE » (2)求证： . BD
A
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， D B ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
归纳总结 B
D
O
C E
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内 对角.
共15张 5
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，
∠B=80°，则∠C= 70º ，∠D= 100º .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，
（1）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90º . （2）∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.则 ∠D=___ 112.5°
共15张
求证：四边形ABCD是矩形。
A
O
B C
15
D
C
O
8
∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
共15张
A
B
4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于
点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准
确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 符号表达式： ∵ 四 边 形 ABCD 是 ⊙O 的 同理∠B＋∠D＝180°， 内接四边形， 归纳总结 ∴ ∠A+∠C=180° 共15张 推论：圆的内接四边形的对角互补 . ∠B+∠D=180° 4
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A＋∠C＝180°， A 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
一 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这
个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
共15张 3
探究性质 如图，四边形ABCD为的内接四边形，⊙O为四 边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 ， 的关系为： ∠A+ ∠C=180º ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？
共15张
6
例1：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据．
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
简单的计算和证明等问题． 重点 圆内接四边形的性质的运用． 难点 圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加 辅助线．
共15张 7
练一练
1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A ) A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. 2.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ） 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
一个例题：利用圆内接四边形性质求角之间的关系。
共15张 14
作业布置
教材第91页 习题第17题． 2.已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个 外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC 3.已知：如图，四边形ABCD是圆的内 接 四边形，且ABCD是平行四边形。
4.(1)圆内接平行四边形一定是______形。 (2)圆内接菱形一定是 _________ 形。
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
共15张 1
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
» DE » （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. BD
共15张
E C
13
课堂小结
本节课所学的内容可概括为四个“一”.
一个概念：圆的内接四边形；
顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形,该圆叫四边形的外接圆。
来自百度文库
一个定理：圆的内接四边形的性质定理； 圆的内接四边形的对角互补。
一个推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
1 BAC BOC , 2
O A B C
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
共15张 12
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? » DE » (2)求证： . BD
A
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， D B ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
归纳总结 B
D
O
C E
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内 对角.
共15张 5
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，
∠B=80°，则∠C= 70º ，∠D= 100º .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，
（1）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90º . （2）∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.则 ∠D=___ 112.5°
共15张
求证：四边形ABCD是矩形。
A
O
B C
15
D
C
O
8
∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
共15张
A
B
4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于
点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准
确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 符号表达式： ∵ 四 边 形 ABCD 是 ⊙O 的 同理∠B＋∠D＝180°， 内接四边形， 归纳总结 ∴ ∠A+∠C=180° 共15张 推论：圆的内接四边形的对角互补 . ∠B+∠D=180° 4
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A＋∠C＝180°， A 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
一 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这
个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
共15张 3
探究性质 如图，四边形ABCD为的内接四边形，⊙O为四 边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 ， 的关系为： ∠A+ ∠C=180º ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？
共15张
6
例1：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据．