固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型

固体力学作业

薄板的振动的固有频率与振型

1、 问题

矩形薄板的参数如下

33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯

求矩形薄板在

（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型

2、薄板振动微分方程

薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：

（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；

（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。

为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。

图 1 薄板模型

根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为

()

a a a w u z

x w

v z

y w w ∂=-∂∂=-∂=+

高阶小量 (1.1)

根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为

22

22

22a x a y a a xy

u w z x x v w z y y

u v w z y x x y

εεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)

胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：

2222

222222222()()11()()111x x y y y x xy xy

E Ez w w

x y

E Ez w w y x

Ez w

G x y

σεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-

+∂∂ (1.3)

现画薄板微元的受力图如图 2所示。

图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。

图 2 薄板应力示意图

p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。应用动静法计算时，

沿z 轴负方向有一虚加惯性力22w

h dxdy t

ρ∂∂，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则

有

220(,)()0

z

y x

x x y y F

Q Q Q dy dydx Q dy Q dx dydx Q dx x

y

w

P x y f t dydx h dydx t

ρ=∂∂+

-++

-∂∂∂+-=∂∑ (1.4)

整理后，可得

22(,)()y x Q Q w

P x t f t h x y t

ρ∂∂∂++=∂∂∂

(1.5)

1

()()

2()0

0()()11

()0

22

x

y

y y y y y xy

xy xy y yx x x yx yx x x x M

M Q M dx M dx dydx Q dx dy Q dx dydx y y M M dy M dy dydx x M M Mx

M dy dxdy M dy M dx dxdy M dx x y Q Q dy dxdy dx Q dy dx x =∂∂-++⋅+∂∂∂-+=∂=∂∂+

-++-∂∂∂-+⋅-⋅=∂∑∑ (1.6)

整理得到

xy

x

y

y yx

x M M Q x y M M Q x y

∂∂+

=∂∂∂∂+=∂∂ (1.7)

由弯矩的计算公式

22

22

22

h

h x x h h y y h h xy yx xy M zdz

M zdz M M zdz

σστ---====⎰⎰⎰ (1.8)

将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得

222222222()

()(1)

x y xy w w

M D x y

w w

M D y x w

M D x y

μμμ∂∂=-+∂∂∂∂=-+∂∂∂=--∂∂

(1.9)

再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为

4442422422(,)()w w w w

D h P x y f t x

x y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦

(1.10)

这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中3

212(1)Et D v =- 为薄板的抗弯刚度。

3、 矩形板横向振动微分方程的解

矩形板的横向自由振动的微分方程为

44424224220w w w w

D h x

x y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦

(1.11)

或写成

24

20w

D w m t

∂∇+=∂

(1.12)

其中m h ρ=

设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式： (,,)(,)cos w x y t W x y t ω=

(1.13)

将式(1.13)代入式(1.12)）可得 440W k W ∇-=

(1.14)

42

h k D

ρω=

(1.15)

再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如下形式：(,)()()W x y X x Y y =

将上式代入式(1.14)中，可得

422444224

()()()()()2()()()0X x X x Y y Y y Y y X x k X x Y y x x y y

∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ (1.16)

上式可改写为