两块平面镜成像知多少

两块平面镜成像知多少
作者：王红根
来源：《物理教学探讨》2008年第24期
在光学竞赛题中，经常涉及到两块平面镜成一定角度放置时的成像问题。

下面就这个问题由特殊到一般来进行探究。

题1 两平面镜平行地竖直放置，中间放一物体S，求物体经两平面镜成像的个数并作出在两平面镜间看见的最近的四个像的位置。

解析由于从S上发出的光可以在平面镜间多次反射，故有一次反射成像、二次反射成像，直至n次反射成像。

如图1所示，图中S1S2分别是S经镜A和镜B一次反射形成的像，S′1S′2分别是S经镜A和镜B二次反射形成的像，也就是分别以S1和S2为物点经镜B和镜A反射后形成的像，以此类推，还有三次、四次……因此，在两平行的平面镜间的物体S经镜反射可成无数个像。

作图如图1所示。

题2 两块平面镜M和N相互垂直放置,一物点S位于两镜之间。

求S经平面镜能成多少个像?作出光路图。

解析如右图,S发出的光射到镜M上,一次反射成像S1,然后再经平面镜N二次反射成像
S3；由于此时S3位于二块平面镜的后面,无法再成像了；同理,S发出的光射到平面镜N上一次反射成像S2,然后再经平面镜N二次反射成像S4, 由于此时S4位于二块平面镜的后面,无法再成像；且根据对称性,S3与S4重合.故一共只能成3个像。

题3 两块平面镜成α角放置(α能被180°整除) 一物点S位于两镜之间。

求S经平面镜能成多少个像?
解析要使物体经第一个平面镜成的像能通过第二个平面镜断续成像,第一个像必须在第2个平面镜的前面,且第二个平面镜必须处在第一个平面镜成的像的可见区域中,使物射向第一个镜的光线的反射光线能射向第二个平面镜并再次反射成像。

设两块平面镜成α角,设∠SON=θ, ∠SOM=β, 则α=β+θ，不妨先考虑S在镜N中成像后再成像的情况。

S在镜N中的像为S′,由于S′在平面镜OM前,且OM在的S′可见区域,所以能经平面镜OM成像S″。

由图中几何关系可得, ∠S″ON=∠S″OS′－∠S′ON=2∠S′OM－θ=2(α+θ) －θ=2α+θ。

同理S″还能再经镜面ON成像S,且∠S OM=3α+θ,分析知每经过一次反射成像O与像的连线与下一个成像的镜面的夹角增加α,如此连续下去,直至nα+θ≥180°。

所以成像个数为
n=180°-θα。

再考虑S在镜M中成像后再成像的情况。

如前所述，成像个数为m=180°-βα。

则成像总个数为
x=n+m=180°-θα+180°-βα=360°-(θ+β)α=360°-αα=360°α-1。

当180°α=k(k=1,2,3,…)时，经OM和ON最后成的像是重合的。