线性方程组的高斯消去法
高斯消去法
1
a(k) kk
a(k) k 1k
a(k) mk
a(k)
kk 1
a(k) k 1k 1
a(k) mk 1
a (1) 1n
a(k) kn
a(k) k 1n
a(k) mn
a (1) 11
a (1) 1n
a(k) kk
a
(k) kn
A(k1)
a a (k1) k 1k 1
A~
1 2
4 5
7 8
1
1
( (
E E
2 3
) )
2( 3(
E1 E1
) )
E2 E3
1 0
4 3
7 6
1(E3 ) 2(E2 ) E3 1
1
0
4 3
7 6
11，
3
6
11
1
0
6
10
2
0 0 2 0
（2）回代求解，得
x1
1， 3
x
2
1， 3
x
3
0。
m个方程，n个未知数的线性方程组的高斯消去法：
(iii)当m
<
n时，s
=
m-1，且设
a(k) kk
0，(k
1,2,, m
1),则
a1(11) A(m)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1n
a (2) 2m
a (1) 1n
U
说明：
a(m) mm
a
(m) mn
(1)上述约化过程，可用矩阵变换来叙述，因
由 约A(化k) 到 ,A实(k际1)上是由乘数
a112 a (2)
高斯消除法
高斯消除法高斯消除法是一种解线性方程组的常用方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍高斯消除法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消除法的原理高斯消除法的核心思想是利用行变换将线性方程组化为上三角形式。
其基本原理可以概括为以下几点：1. 首先，将线性方程组的系数矩阵进行增广，得到一个增广矩阵。
2. 选择一个主元素，一般选择第一行的第一个非零元素作为主元素。
3. 通过行变换，将主元素所在列的其他元素消为零。
4. 重复上述步骤，选择一个新的主元素，直到将矩阵化为上三角形式。
5. 对上三角矩阵进行回代，得到线性方程组的解。
下面我们通过一个具体的例子来演示高斯消除法的步骤。
假设有如下线性方程组：2x + 3y - z = 10x - y + 2z = -13x + 2y - 3z = 51. 首先，将系数矩阵进行增广，得到增广矩阵：[ 2 3 -1 | 10 ][ 1 -1 2 | -1 ][ 3 2 -3 | 5 ]2. 选择第一行的第一个非零元素2作为主元素。
3. 第一步消元：将第二行乘以2，减去第一行，得到新的第二行：[ 2 3 -1 | 10 ][ 0 -7 4 | 19 ][ 3 2 -3 | 5 ]将第三行乘以3，减去第一行，得到新的第三行：[ 2 3 -1 | 10 ][ 0 -7 4 | 19 ][ 0 -7 0 | -5 ]4. 选择第二行的第二个非零元素-7作为主元素。
5. 第二步消元：将第三行乘以(-1)，加上第二行，得到新的第三行：[ 2 3 -1 | 10 ][ 0 -7 4 | 19 ][ 0 0 4 | 14 ]6. 至此，已将矩阵化为上三角形式。
接下来进行回代，求解方程组的解。
由最后一行可知，4z = 14，即z = 14/4 = 3.5。
将z的值代入第二行的方程中，可得-7y + 4z = 19，即-7y + 4*3.5 = 19，解得y = -3。
matalab怎么用高斯消去法解方程组
matalab怎么用高斯消去法解方程组高斯消去法（Gaussian Elimination）是一种解线性方程组的常用方法，其中包括了高斯消元和回代两个步骤。
通过高斯消去法，我们可以将一个线性方程组转化为简化的上三角矩阵，从而简化求解过程。
要使用高斯消去法解决线性方程组，首先需要将方程组写成矩阵形式。
假设有一个n个方程和n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax = b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知数向量，b是一个n×1的常数向量。
下面我们将详细介绍高斯消去法的步骤：步骤1：将系数矩阵A和常数向量b合并为增广矩阵[Ab]，即在A的右边添加一个列向量b。
步骤2：选取主元素（pivot），通常选择第一行的首个非零元素作为主元素。
如果第一行的首个元素为零，则选择下一行的首个非零元素。
步骤3：将主元素所在的行交换到第一行，以确保主元素位于第一行。
步骤4：除以主元素，使主元素变为1。
这可以通过将主元素所在的行除以主元素的值来实现。
步骤5：用第一行的主元素消去其它行。
对于第i行，将其乘以第一行的主元素的负倒数，并加到第一行上。
步骤6：重复步骤2至步骤5，直到最后一行或最后一列为零。
如果最后一行或最后一列为零，则说明方程组无解或有无穷多解。
步骤7：回代。
从最后一行开始，将求得的解代入每一行的方程中，依次求解未知数。
下面我们将通过一个具体的例子来说明高斯消去法的过程。
假设有以下线性方程组：2x + y - z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们首先将方程组转化为增广矩阵形式：[2 1 -1 | 8][-3 -1 2 | -11][-2 1 2 | -3]首先我们选择第一行的主元素，即第一行第一个非零元素2。
然后将第一行与第二行交换，使主元素位于第一行：[-3 -1 2 | -11][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]接下来我们将主元素化为1，即将第一行除以-3：[1 1/3 -2/3 | 11/3][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]然后用第一行的主元素消去第二行和第三行：[1 1/3 -2/3 | 11/3][0 1/3 1/3 | 2/3][0 5/3 4/3 | 2/3]此时我们得到了上三角矩阵形式的增广矩阵。
高斯消去法
高斯消去法高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。
当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。
目录例如信息学方面的应用下面介绍一下矩阵的初等行变换:对于增广矩阵A求解线性方程组的步骤：历史编辑本段例如一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，系数相等的未知数就被除去了（系数为0）。
同样的也适合多元多次方程组。
编辑本段信息学方面的应用高斯消元是求解线性方程组的重要方法，在OI中有广泛的应用。
本文就来讨论这个方法。
什么是线性方程组？含m个方程和n个未知量的方程组定义为a(11)x(1)+a(12)x(2)+...+a(1n)x(n)=b(1)a(21)x(1)+a(22)x(2)+...+a(2n)x(n)=b(2)...a(m1)x(1)+a(m2)x(2)+...+a(mn)x(n)=b(m)这个方程组称为m*n线性方程组，其中a(ij)和b(i)为实数，括号中为下标。
这个方程组有多种表示方法。
例如，我们知道m*n矩阵（用大写字母表示）是一个m行n列的数阵，n维向量（用加粗的小写字母表示）是n个数的数组，也就是一个n*1矩阵（列向量。
我们不考虑行向量）。
另外，大家也都知道矩阵乘法。
因此一个m*n线性方程组可以表示为Ax=b，其中A是由系数aij组成的m*n矩阵即系数矩阵，x是n维的未知数向量，b是m维的结果向量。
如果把向量b写到A的右边得到m*(n+1)的矩阵，得到的新矩阵称为这个方程组的增广矩阵。
每一个方程组均对应于一个增广矩阵。
编辑本段下面介绍一下矩阵的初等行变换:1 交换两行2 用非零实数乘以任一行3 把某一行的倍数加到另一行上同理可以定义初等列变换。
数学实验“线性方程组高斯消去法”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题线性方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容线性方程组高斯消去法线性方程组高斯列主元消去法线性方程组高斯全主元消去法成绩教师实验一实验报告一、实验名称：线性方程组高斯消去法。
二、实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。
四、实验原理：消元过程：设0)0(11≠a ，令乘数)0(11)0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n）则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++这样消去第2，3，。
，n 个方程的变元i x 后。
原线性方程组变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . ... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 这样就完成了第1步消元。
回代过程：在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nnn n n a b x再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解：其通项为3, (1)-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a bx 五、实验内容：function maintest2clcclear allA=[134;245;146];%系数矩阵b=[176]'%常数项num=length(b)for k=1:num-1for i=k+1:numif A(k,k)~=0l=A(i,k)/A(k,k);A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l;b(i)=b(i)-b(k)*l;endendendAb%回代求xx(num)=b(num)/A(num,num);for i=num-1:-1:1sum=0;for j=i+1:numsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endxEnd六、实验结果：A=1.0000 3.0000 4.00000-2.0000-3.0000000.5000 b=1.00005.00007.5000x=16-2515。
高斯消去法解方程组
高斯消去法解方程组
高斯消去法是数值计算中一种解线性方程组的标准算法，由查尔斯·高斯在 18 年发明，是向量空间下线性方程组的计算最有效的算法。
它利用线性变换（例如交换、加减乘除），逐步将线性方程组化简成上三角形形式进而得到解，称为高斯消去法。
其核心思想是：由方程组的关系式可得出系数矩阵，采用层层消去的方法使其变成上三角矩阵，再解出解向量。
高斯消去法的具体步骤是：
（1）以第一列为基元，化为消去向量，即第一列第一项（用a表示）对应的消去系数，然后将其他行的第一项做除法，消去第一列。
（2）以第二列为基元，化为消去向量，消去其余行第二项。
（3）以此类推，以每一列为基元，化为消去向量，将其
余行此列之项全部消去；直至消去完毕。
（4）最后一步是逆序求出解向量。
由最后一个方程式，
可直接求出最后一列解向量（用x表示）特征值，若n表示方程组的阶数，则n=1时即可求得解向量的所有特征值，若n>1，则逆序回代求出前面的特征值。
高斯消去法解线性方程组的算法比较简单，易于理解，
但它会遇到数值误差、文本输入错误等问题，所以在使用高斯消去法时，应当注意它的准确性，以及在使用这种解法时可能出现的数值不稳定性。
此外，高斯消去法的效率较低，其计算
时间与方程组系数的规模呈指数增长关系，因此也可以通过其他算法来求解线性方程组，如 LU 分解等。
线性方程组的高斯消元法
线性方程组的高斯消元法线性方程组是一个非常常见的数学问题，它涉及到多个未知数，以及这些未知数之间的线性关系。
在实际应用中，我们经常需要求解这些未知数的具体值，从而可以得到问题的解答。
而高斯消元法则是一个经典的数学方法，用于求解线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的基本思路、具体操作流程以及应用技巧。
一、高斯消元法的基本思路高斯消元法是一种基于矩阵运算的求解线性方程组的方法。
它的基本思路是，通过一系列的变换操作，将原始方程组转化为一个更为简单的方程组，从而可以方便地进行求解。
这些变换操作包括：交换任意两行或列、将某一行或列乘以一个常数、将某一行或列加上另一行或列的若干倍。
高斯消元法的核心在于，通过这些变换操作，将方程组转化为一个上三角矩阵或下三角矩阵，从而可以逐步求解出未知数。
在实际操作中，我们通常采用高斯-约旦消元法，即在将方程组转化为上三角矩阵的同时，将矩阵主对角线上的元素全部化为1，从而可以更加方便地进行计算。
二、高斯消元法的具体操作流程下面我们将通过一个具体的例子来介绍高斯消元法的操作流程。
假设我们有一个线性方程组：x1 + 2x2 + x3 = 62x1 + x2 + x3 = 5x1 + x2 + 2x3 = 7我们可以将其转化为一个增广矩阵的形式：1 2 1 | 62 1 1 | 51 12 | 7接下来，我们需要通过一系列的变换操作，将矩阵转化为一个上三角矩阵：2 1 1 | 50 1 3 | -40 0 1 | 3通过以上的变换操作，我们得到了一个上三角矩阵。
接下来，我们可以倒序进行计算，逐步求解未知数。
从最后一行开始，根据矩阵的线性关系，我们可以得到：x3 = 3接下来，考虑第二行中的未知数：x2 + 3x3 = -4代入我们刚才求解的x3的值，可以得到：x2 = -13最后，根据第一行中的线性关系，我们可以求解出x1的值：x1 = 5因此，我们得到了线性方程组的解：x1=5，x2=-13，x3=3。
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11)0()1(1a a aij j =， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+ 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2） 其中n i a m a a iji ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
gauss消去法求解方程组matlab
高斯消去法是一种用于求解线性方程组的经典方法，它可以通过矩阵的初等变换将方程组化为上三角形式，然后通过回代的方式求解方程组。
在Matlab中，我们可以利用高斯消去法求解方程组，这样可以更加高效地进行数值计算。
下面我们将简要介绍高斯消去法的原理，并通过Matlab代码演示如何使用高斯消去法求解方程组。
一、高斯消去法原理及步骤高斯消去法是一种通过矩阵的初等变换将线性方程组化为上三角形式的方法，其求解过程主要包括以下几个步骤：1. 将系数矩阵增广为增广矩阵；2. 首先通过初等行变换将增广矩阵化为上三角矩阵；3. 然后通过回代的方式求解方程组。
通过这样的步骤，我们可以将原始的线性方程组化简为上三角形式，从而更容易求解方程组。
二、Matlab代码演示在Matlab中，我们可以通过编写代码实现高斯消去法来求解线性方程组。
下面是一个简单的例子代码，用来演示如何在Matlab中使用高斯消去法求解方程组：```matlabfunction x = gauss_elimination(A, b)[n, m] = size(A);if n ~= merror('A must be a square matrix');endAb = [A, b];for k = 1 : n - 1for i = k + 1 : nfactor = Ab(i, k) / Ab(k, k);Ab(i, k : n + 1) = Ab(i, k : n + 1) - factor * Ab(k, k : n + 1); endendx = zeros(n, 1);x(n) = Ab(n, n + 1) / Ab(n, n);for i = n - 1 : -1 : 1x(i) = (Ab(i, n + 1) - Ab(i, i + 1 : n) * x(i + 1 : n)) / Ab(i, i); endend```通过以上的Matlab代码，我们可以实现高斯消去法的求解过程，并得到方程组的解。
解线性方程组-高斯消去法列主元
的数作主元 arkk1
max
kin
aikk
1
,然后将第 r 行和第 k 行交换(如 r k )。从而在计算 lik 时保证了被除
数的绝对值大于等于除数的绝对值。
实际计算时,当最大的 arkk1 很小时,求解结果同样会严重失真,则求解过程应当停止。设 0是某个 很小的数,当 arkk1 时,过程应该停止,此时已不是算法的问题,而是方程组本身的问题了。
x3 5 1 5 , x2 3 3x3 3 3 35 3 4 , x1 7 x2 x3 2 7 4 5 2 1
此方法就是高斯消去法。
计算流程
记初始方程组 Ax b 为 A0 x b0 。
k 1,即消去第 2 到第 n 个方程中的 x1 ,假定 a110 0 , 目标
a110 a120
是:
A
a201
a202
an01 an02
a1n0
b10
a110 a120
a20n
b20
0
a212
对于j k 1, , n 做 aijk aijk1 lik akkj 1
bik bik1 lik bkk1
直到 k n 1时,消元过程结束, An1 成为上三角矩阵,最后一个方程成为一元一次方程(只含 xn ),
第一步,消元过程: 对增广矩阵进行消元,
7b 11ຫໍສະໝຸດ , 0 x1
x
x2
。
x3
2
A b 4
1
1 5 1
1 1 1
求解线性方程组的不同高斯消去法
【求解结果及分析】 （1）消元后的 A 4.0000 0 0 0 14.0000 6.5000 0 0 9.0000 -5.2500 -2.0769 0 -13.0000 3.2500 2.0000 -0.4444 消元后的 b 7.0000 10.2500 1.7692 -1.7778 结果 x 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
此结果和利用顺序高斯消去法得到的结果一样，可见对于方程组（1）两种方法同样有 效，并且由计算结果可得知列主元高斯消去法的计算结果要更加精确。 （2）消元后的 A 1 0 1 1 消元后的 b 2 1 结果 x 1 1
10 -18 1 x1 1 (2) 1 1 x 2 2
【Matlab 程序】
2
clear; MatrixA=[2 10 0 -3;-3 -4 -12 13;1 2 3 -4;4 14 9 -13]; MatrixB=[10;5;-2;7]; %MatrixA=[1e-18 1 ;1 1]; %MatrixB=[1;2]; Lent=length(MatrixB); MatrixX=zeros(Lent,1); for i=1:Lent-1 for j=i+1:Lent for k=i+1:Lent MatrixA(j,k)=MatrixA(j,k)-MatrixA(i,k)*(MatrixA( j,i)/MatrixA(i,i)); end
【求解结果及分析】 （1）消元后的 A 2.0000 0 0 0 （2）消元后的 A 1.0e+018 * 0.0000 0 0.0000 -1.0000 10.0000 11.0000 0 0 0 -12.0000 -0.2727 0 -3.0000 8.5000 -0.1818 -4.0000 消元后的 b 1.0e+018 * 0.0000 -1.0000 0 1 消元后的 b 10.0000 20.0000 -1.5455 -16.0000 结果 x 结果 x 1 2 3 4
数学复习线性方程组的高斯消元法与矩阵法
数学复习线性方程组的高斯消元法与矩阵法高中数学中，线性方程组是一个重要的概念和应用。
解线性方程组的方法有很多种，其中比较常见且实用的是高斯消元法和矩阵法。
本文将为大家详细介绍这两种解线性方程组的方法，并附有相应的答案和解析。
一、高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的算法，通过逐步化简线性方程组，将其转化为阶梯形矩阵。
以下是解线性方程组的高斯消元法步骤：1. 行初等变换对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，我们可以将其表示为增广矩阵[A|B]，其中A是一个m×n的系数矩阵，B是一个m×1的常数矩阵。
首先，我们需要对增广矩阵进行一系列的行初等变换。
行初等变换包括以下三种操作：- 将某行的倍数加到另一行上。
- 交换两行的位置。
- 将某行的元素乘以一个非零常数。
2. 消元过程在进行行初等变换后，我们需要逐行对增广矩阵进行消元操作，以得到阶梯形矩阵。
消元过程主要包括以下几个步骤：- 选取第一行的第一个非零元素作为主元素（主元素为0时向下一行继续选取）。
- 使用主元素将下方的元素消为零，得到一个新的增广矩阵。
- 重复以上步骤，直到将整个增广矩阵化为阶梯形矩阵。
3. 回代求解得到阶梯形矩阵后，我们可以通过回代的方式求解线性方程组。
回代的过程主要包括以下几个步骤：- 从最后一行开始，求解得到最后一个未知数的值。
- 将求解得到的最后一个未知数的值代入到倒数第二行的方程中，求解得到倒数第二个未知数的值。
- 重复以上步骤，直到求解得到所有的未知数的值。
高斯消元法的优点是步骤简单易懂，适用于任意规模的线性方程组。
但当系数矩阵的元素过大或过小，或者方程组的条件较差时，可能会出现误差累积的问题。
二、矩阵法矩阵法是另一种解线性方程组的常用方法，它将线性方程组转化为矩阵形式，并通过矩阵的性质求解。
以下是解线性方程组的矩阵法步骤：1. 矩阵表示将一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组表示为矩阵形式[A|B]，其中A是一个m×n的系数矩阵，B是一个m×1的常数矩阵。
高斯(Gauss)消去法
( 1) 如果 a11 0 由于 det(A) 0
则 A 的第一列中至少有一个 元素不为零
如 ai(111) 0, 则将( A(1) , b (1) )的第一行与第 i1行 交换后消元
( 1) a11 0 0 ( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
n n n 2 2 n O ( n ) MD 3 3 3
当n很大时
3 n3 n n n2 MD 3 3 3
3
3
四、高斯消去算法 输入： 输出
方程组的解 x1 , x 2 ,, x n或方法失败的信息
A, b的元素aij ,1 i n,1 j n 1 方程组的阶数 n；增广矩阵
对i n 1, n 2,..., 1
n ai ,n 1 aij x j j i 1 置xi
aii
S4 输出x1, x2 ,..., xn ; 停机.
作业： P49 习题1
i , j 2 ,3 , , n
i 2 ,3 , , n
( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
( A( 1) , b( 1) )
且
因此, 第k 1步后, ( A(1) , b(1) )将化为
( 1) ( 1) a11 a 12 ( 1) ( 1) (2) (A ,b ) a 22 (k ) (k ) (A ,b ) (k ) aik mik ( k ) i k 1, , n akk
Gauss消去法求解线性方程组
Gauss消去法求解线性方程组
Gauss消去法，又称高斯-约旦消去法，是求解线性方程组的一种常用方法。
其基本思想是通过行变换将线性方程组转化为行最简形式，然后利用回代法求解。
以下是Gauss消去法求解线性方程组的详细步骤：
1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成增广矩阵。
2. 从第一行开始，将第一列的元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第一元素消成0。
3. 将第二行的第二个元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第二元素消成0。
4. 以此类推，直到将增广矩阵转化为行最简形式。
5. 利用回代法求解，即从最后一行开始，解出未知数依次代入上面的方程中求解。
其中，初等行变换包括以下三种：
1. 交换矩阵中两行的位置。
表示为 Ri<->Rj。
2. 将矩阵中某一行的每个元素乘以一个非零常数k。
表示为Ri*k。
3. 将矩阵中某一行的每个元素加上另一行对应元素的k倍。
表
示为 Ri+k*Rj。
Gauss消去法是一种较为常用的求解线性方程组的方法，但当系数矩阵存在奇异现象或行列式为0时，此方法无法求解。
此时可以采用LU分解法、SOR迭代法等其他方法进行求解。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法
数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU 分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A 可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。
列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U 是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U 是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U 是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件 是矩阵A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零；矩阵A 有唯一的Crout 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle 分解的实现； (2)Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x a 、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU 分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵A 及向量b, A=LU 分解的L 及U ，detA 及解向量x.b 、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。
高斯顺序消去法的条件 -回复
高斯顺序消去法的条件-回复高斯顺序消去法（Gaussian elimination）是一种数值线性代数方法，用于求解线性方程组。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为上三角形式，然后通过回代求解得到方程组的解。
在使用高斯顺序消去法求解线性方程组之前，我们需要满足一些条件。
下面一步一步介绍这些条件：1. 方程组的个数和未知数的个数相等高斯顺序消去法只能求解个数和未知数个数相等的线性方程组。
这是因为高斯顺序消去法的过程涉及到行变换，行变换后方程的形式会发生变化，只有个数和未知数个数相等时，才能确保对应关系的完整性。
2. 方程组中没有无解或无穷解的情况高斯顺序消去法只适用于有唯一解的线性方程组。
如果方程组中存在无解或无穷解的情况，高斯顺序消去法将无法进行下去。
因此，在使用高斯顺序消去法之前，我们需要确保方程组是可解的。
3. 方程组中的系数矩阵是非奇异的高斯顺序消去法要求方程组的系数矩阵是非奇异的，也就是说，它的行列式不为零。
如果系数矩阵是奇异的，那么高斯顺序消去法会出现除以零的情况，从而导致计算错误。
因此，在应用高斯顺序消去法之前，我们需要检查系数矩阵的行列式是否为零。
4. 排列矩阵的对角元素非零高斯顺序消去法还需要保证排列矩阵（P矩阵）的对角元素非零。
排列矩阵是用于记录行变换的操作，并且在高斯顺序消去法中起到重要的作用。
如果排列矩阵的对角元素为零，将导致行变换时除以零，从而产生错误的计算结果。
因此，在使用高斯顺序消去法之前，我们需要确保排列矩阵的对角元素非零。
在满足以上条件的前提下，我们可以开始使用高斯顺序消去法求解线性方程组。
首先，我们将线性方程组的系数矩阵和常数向量构成增广矩阵（A B），然后应用一系列行变换将增广矩阵化简为上三角形式。
具体的高斯顺序消去法的步骤如下：1. 找出系数矩阵中的主元素，即第一列中绝对值最大的元素。
将该元素所在行与第一行交换，确保主元素在第一行。
2. 利用主元素进行消元。
求解线性方程组的高斯消去法的研究及实现
求解线性方程组的高斯消去法的研究及实现（1）题目的复述；高斯消去法(Gauss elimination method)是求解线性方程组的基本方法，各种直接解法基本上都是高斯消去法的变形，或者针对特殊矩阵的改进。
本文将简单分析用高斯消去法求解线性方程组的基本思想及其实现。
（2） 问题的分析；在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及到解线性方程组。
因此,对线性方程组的研究具有十分重要的意义。
线性方程组的数值解法一般有两类：1、直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），高斯消去法就是直接法中具有代表性的算法。
2、迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。
也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。
(一般有限步内得不到精确解)高斯消去法解方程组基本思想是设法消去方程组的系数矩阵A 的主对角线下的元素,而将Ax=b 化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过程便可获得方程组的解。
换一种说法就是用矩阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变量n x ，1-n x ...1x 。
通过一个方程乘或除以某个常数,以及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为消元,然后再回代求解。
（3）算法的建立和描述；高斯消去法算法构造 :我们知道,齐次线性方程组用矩阵形式表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a (21212122221)11211 消元过程：设0)0(11≠a ，令乘数)0(11)0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ）则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++这样消去第2，3，。
数值分析5-2(高斯消去法)
M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用 高斯 约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 用高斯-约当消去法求解两个方程 例 用高斯 约当消去法求解两个方程 组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次 消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 程组：
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法 高斯 约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6
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