数学试卷 (1)

数学试卷(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={2,4，8}，N={1,2}，P={x|x=ab,a∈M,b∈N}，则集合P的子集个数为()A. 4B. 6C. 16D. 632.已知f(x−2)=x2+4x−5，则f(x)的表达式是()A. x2+6xB. x2+8x+7C. x2+2x−3D. x2+6x−13.若集合A={x|y=√x−1}，B={y|y=x2+2}，则A∩B为()A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. (2,+∞)D. (0,+∞)4.已知函数y=f(−2x+1)定义域是[−1,3]，则y=f(x−1)的定义域是()A. [−2,0]B. [0,2]C. [−5,3]D. [−4,4]5.已知f(x)=ax2+(b+2)x是定义在[a−1,3a]上的偶函数，那么a+b的值是()A. −74B. 74C. −32D. −236.已知f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(3−a)>f(a+1)，则实数a的取值范围是()A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. [0,1)C. (0,1)D. (−∞,1)7.已知函数f(x)=x+√2x−3，则函数f(x)有()A.最小值1，无最大值B. 最大值32，无最小值C. 最小值32，无最大值 D. 无最大值，无最小8.若a>0，b>0，a+2b=1，则2a +3a+1b的最小值为()A. 8B. 6C. 12D. 99.命题p：ax2+2x+1=0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是()A. {a|a<1}B. {a|a≤1}C. {a|a>1}D. {a|a≥1}10.设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2−(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解为()A. (3a,a2+2)B. (a2+2,3a)C. (3,4)D. (3,6)11.若−4<x<1，则x−1+1x−1的()A. 有最小值2B. 有最大值2C. 有最小值−2D. 有最大值−212.设a，b∈R，现给出下列四个条件：①a+b=2；②a+b>2；③a+b>−2；④ab>1，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ②二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=(m2−5m−5)x2m+1在(0,+∞)上为增函数，则实数m=______．14.若函数y=f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(x−2)+1的图象必过点______．15.设集合A={0,a，b}，B={0,a2,−1}，且A=B，则a2020+b2020的值=______．16.若函数f(x)={(b−32)x+b−1(x>0)−x2+(2−b)x(x≤0)在R上为增函数，则实数b的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合M={x|−1≤x≤4}，N={x|a+1≤x≤2a+1}.若M∪N=M，求实数a的取值范围．18.函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)的奇函数，且f(12)=25．(1)确定f(x)的解析式；(2)判断函数在(−1,1)上的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．19.设集合A={x|x2+2x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，若A∩B=B，求a的取值范围．20.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时有f(x)=2x．x−2(1)判断函数f(x)在(−∞,0]上的单调性，并用定义证明；(2)求函数f(x)的解析式(写成分段函数的形式)．21.已知二次函数f(x)=x2−2x−2在闭区间[t,t+2](t∈R)上的最小值记为g(t)，求g(t)的表达式，并求出g(t)的最小值．22.设f(x)=mx2−2mx−4．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若m=1且x∈(1,+∞)，求y=x−1的最大值及对应的x的值．f(x)+2x+6答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2}，集合B={2,3}，∴C U A={3,4，5}，∴集合(∁U A)∩B={3}．故选：B．先求出C U A={3,4，5}，由此能求出集合(∁U A)∩B．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：对于①，由于A中元素1对应B中4或5，不唯一，且A中2在B中没有对应值，∴①中的对应不能构成映射；对于②，A中元素2在B中没有对应值，∴②的对应不能构成映射；对于③，由于A中元素1在B中对应的值可能是3或4，不唯一，∴③中的对应不能构成映射；对于④，A中的元素1、2、3分别对应B中的元素a、c、b，满足映射的定义，∴④中对应能构成映射．综上，不能构成映射的是①②③．故选：A．根据映射的定义，对题目中的对应分别加以分析判断，即可得出不能构成映射的对应．本题考查映射的定义与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A∩B=B，根据集合的性质，当9=x2，解得：x=3或−3，当x=x2时，解得x=1或0，根据集合的互异性可知，x≠1，故选：C．本题考查集合的运算，考查集合的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：集合M={2,4，8}，N={1,2}，,a∈M,b∈N}，P={x|x=ab∴P={1,2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24=16．故选：C．,a∈M,b∈N}，求出集合P，由此能求由集合M={2,4，8}，N={1,2}，P={x|x=ab出集合P的子集个数．本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：令x−2=t，则x=t+2，将其代入表达式得f(t)=(t+2)2+4(t+2)−5=t2+8t+7，∴f(x)=x2+8x+7．故选：B．利用换元法即可求出．本题考查了利用换元法求函数的解析式，属于基础题．6.【答案】B，得到x−1>0，【解析】解：由A中y=√x−1即A=(1,+∞)，由B中y=x2+2≥2，即B=[2,+∞)，则A∩B=[2,+∞)，故选：B．求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=f(−2x+1)定义域是[−1,3]，所以x∈[−1,3]，所以−2x+1∈[−5,3]，即函数f(x)的定义域是[−5,3]．令−5≤x−1≤3，解得−4≤x≤4，所以y=f(x−1)的定义域是[−4,4]．故选：D．根据函数y=f(−2x+1)的定义域求出f(x)的定义域，再求y=f(x−1)的定义域．本题考查了抽象函数的定义域计算问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=ax2+(b+2)x是定义在[a−1,3a]上的偶函数，则有(a−1)+3a=0，即4a−1=0，解可得a=14，f(x)=ax2+(b+2)x是二次函数，其对称轴为x=−b+22a，若其为偶函数，必有−b+22a=0，则有b+2=0，则b=−2，则a+b=14+(−2)=−74，故选：A．根据题意，由函数奇偶性的性质可得(a−1)+3a=0，解可得a的值，结合二次函数的性质可得b+2=0，解可得b的值，相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性对函数定义域的要求，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：因为f(x)=x2−(2a−1)x+2在[−1,2]上不单调，所以−1<2a−12<2，解可得，−12<a<52．故选：C．由已知可得−1<2a−12<2，解不等式可求．本题主要考查了二次函数的单调性与对称轴的位置关系的应用，属于基础试题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x= (x+1)2−1，则f(x)在区间[0,3]上为增函数，f(x)为奇函数，则f(x)在区间[−3,3]上为增函数，若f(3−a)>f(a+1)，则有{−3≤3−a≤3−3≤a+1≤3 3−a>a+1，解可得：0≤a<1，即a的取值为[0,1)，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与解析式可得f(x)在区间[−3,3]上为增函数，则原不等式等价于{−3≤3−a≤3−3≤a+1≤33−a>a+1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，注意函数的定义域，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵−1∈A，1−1=−12∈A则12∈A12∈A则2∈A∴A={−1}或A={2，12}或A={−1，2，12}故选：B．由定义求出集合A中的元素可为−1，2与12必然同时出现，然后利用n集合的非空子集个数为2n−1．本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x+√2x−3的定义域为[32,+∞)，由y=x和y=√2x−3在[32,+∞)均为增函数，可得f(x)=x +√2x −3在[32,+∞)为增函数， 则f(x)有最小值32，无最大值． 故选：C ．求得f(x)的定义域，判断f(x)=x +√2x −3在定义域内的单调性，可得所求最值情况． 本题考查函数的最值求法，运用函数的单调性是解题的关键，属于基础题．13.【答案】[1,+∞)【解析】解：由集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x >a}， 又∵A ∩B =⌀，∴实数a 的取值范围为：a ≥1． 故答案为：[1,+∞)．直接由已知集合A 、集合B 以及A ∩B =⌀求出实数a 的取值范围． 本题考查了交集及其运算，是基础题．14.【答案】6【解析】解：由y =(m 2−5m −5)x 2m+1是幂函数，得m 2−5m −5=1， 化简得m 2−5m −6=0， 解得m =6或m =−1；当m =6时，y =x 13，是(0,+∞)上的增函数，满足题意； 当m =−1时，y =x −1，不是(0,+∞)上的增函数，舍去． 综上知，实数m =6． 故答案为：6．由幂函数的定义列方程求出m 的值，再根据幂函数的单调性判断m 的值是否满足题意． 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．15.【答案】2【解析】解：∵A =B ，∴{a =a 2≠0b =−1或{a =−1b =a 2，解得{a =1b =−1或{a =−1b =1， ∴a 2020+b 2020=1+1=2． 故答案为：2．根据A =B 即可得出{a =a 2≠0b =−1或{a =−1b =a 2，然后即可解出a ，b 的值，进而可求出答案．于基础题．16.【答案】(32,2]【解析】解：∵函数f(x)={(b −32)x +b −1(x >0)−x 2+(2−b)x(x ≤0)在(−∞,+∞)上为增函数， ∴{b −32>0b −1≥02−b2≥0，解得32<b ≤2， 故实数b 的取值范围是(32,2]， 故答案为：(32,2]．由题意列出不等式组，解此不等式组求得实数b 的取值范围．本题主要考查二次函数的性质的应用，分段函数的应用，列出不等式组是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵全集U =R ，集合A ={x|−1<x +2<5}={x|−3<x <3}，集合B ={x|x −2>0}={x|x >2}． ∴集合A ∩B ={x|2<x <3}． (2)∵集合A ∪B ={x|x >−3}， C U A ={x|x ≤−3或x ≥3}．【解析】(1)求出集合A ，集合B ，由此能求出集合A ∩B ． (2)利用并集、补集定义能求出集合A ∪B 和C U A .本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：∵M ∪N =M ，∴N ⊆M ，①当N =⌀时，a +1>2a +1， 解得a >0，②当N ≠⌀时，a ≤0， ∵N ⊆M ， ∴{a +1≥−12a +1≤4，解得−2≤a ≤32，∴−2≤a ≤0，综上所述，实数a 的取值范围为：[−2,+∞)．【解析】由M ∪N =M 可得N ⊆M ，再对集合N 是否为空集分情况讨论，分别求出a 的取值范围，再求并集即可．本题主要考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题． 19.【答案】解：(Ⅰ)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，故f(x)=ax 2+bx +1．因为f(x +1)−f(x)=2x +2，所以a(x +1)2+b(x +1)+1−(ax 2+bx +1)=2x +2．即2ax +a +b =2x +2，∴2a =a +b =2，解得：a =1，b =1，∴f(x)=x 2+x +1；(2)：2f(x)+f(1x )=3x ，∴2f(1x )+f(x)=3x ，解方程组得f(x)=2x −1x ．【解析】(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，由f(x +1)−f(x)=2x +2，得2ax +a +b =2x +2，解方程组求出a ，b 的值，从而求出函数的解析式；(2)用1x 代换x 可得出2f(1x )+f(x)=3x ，解方程组得出f(x)．本题考查了函数解析式的求法，待定系数法和方程组法，属于基础题． 20.【答案】解：∵集合A ={x|x 2+2x =0}={0,−2}，B ={x|x 2+(a +1)x +a 2−1=0}，B ⊆A ．∴B =⌀或B ={0}或B ={−2}或B ={0,−2}，当B =⌀时，x 2+2(a +1)x +a 2−1=0无解，△=4(a +1)2−4(a 2−1)<0，解得a <−1．当B ={0}时，把x =0代入x 2+2(a +1)x +a 2−1=0，得a =±1，当a =−1时，B ={0}，成立；当a =1时，B ={0,−4}，不成立；当B ={−2}时，须有{−2+(−2)=−2(a +1)(−2)(−2)=a 2−1， 解得a 不存在．当B ={0,−2}时，须有{(−2)+0=−2(a +1)(−2)×0=a 2−1，a 不存在．综上，实数a 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】求出集合A ={0,−2}，B ={x|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}，由B ⊆A ，得到B =⌀或B ={0}或B ={−2}或B ={0,−2}，由此分类讨论，能求出实数a 的取值范围． 本题考查实数值、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集的定义、不等式性质的合理运用．21.【答案】解：(1)根据题意，当x ≤0时有f(x)=2x x−2=2+4x−2，在区间(−∞,0]上为减函数，设x 1<x 2<0，则f(x 1)−f(x 2)=(2+4x 1−2)−(2+4x 2−2)=4(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由x 1<x 2<0，则(x 1−2)<0，(x 2−2)<0，(x 2−x 1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，即函数f(x)在区间(−∞,0]上为减函数，(2)设x >0，则−x <0，则f(−x)=2×(−x)−x−2=2x x+2， 又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=2x x+2，综合可得：f(x)={2x x+2,x <02x x−2,x ≥0．【解析】(1)根据题意，设x 1<x 2<0，由作差法分析可得结论，(2)设x >0，则−x <0，求出f(−x)的解析式，由函数的奇偶性可得f(x)的表达式，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． 22.【答案】解：因为f(x)=x 2−2x −2的开口向上，对称轴x =1，①当t ≥1时，函数在间[t,t +2]上单调递增，g(t)=f(t)=t 2−2t −2，②当t +2≤1即t ≤−1时，函数在间[t,t +2]上单调递减，g(t)=f(t +2)=(2+t)2−2(2+t)−2=t 2+2t −2，③当t <1<t +2即−1<t <1时，函数在闭区间[t,t +2]上先减后增，g(t)=f(1)=−3，综上g(t)={t 2−2t −2,t ≥1−3,−1<t <1t 2+2t −2,t <−1因为当t ≥1时，g(t)=t 2−2t −2=(t −1)2−3≥−3，−1<t <1时，g(t)=−3，当t ≤−1时，g(t)=t 2+2t −2=(t +1)2−3≥−3，综上，g(t)≥−3即最小值−3．【解析】先确定已知二次函数的开口方向及对称轴，然后讨论已知区间与对称轴的位置关系，从而可求g(t)，再结合二次函数的性质可求g(t)的最小值．本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用．。