2017高考一轮复习教案-函数及其表示

第一节函数及其表示

1．函数的概念及其表示

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

了解映射的概念．

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

2．分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用．

知识点一函数与映射的概念

函数映射

两集合A，

B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合

对应关系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对

于集合A中的任意一个数x，在集合B

中都有唯一确定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对

于集合A中的任意一个元素x，在集合

B中都有唯一确定的元素y与之对应名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一

个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的一

个映射

易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

[自测练习]

1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()

知识点二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域

(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法 求函数解析式的四种常用方法

(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；

(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．

[自测练习]

2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞)

D ．(1，＋∞)

3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝

x 2－1与

g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x

x 2＋1

C ．y ＝x 与y ＝(x )2

D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3

x 3

4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋1，x ≤0，log 12x ，x >0，则f (f (2))＝( )

A ．－1

B ．2

C ．1

D ．0

考点一 函数的定义域问题|

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：

1．求给定函数解析式的定义域；

2．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； 3．已知定义域确定参数问题． 探究一 求给定解析式的定义域 1．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3x

x －2

＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3)

D ．(2，＋∞)

探究二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域

2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )

x －1的定义域是( )

A ．[0,1)

B ．[0,1]

C ．[0,1)∪(1,9]

D ．(0,1)

探究三 已知定义域求参数范围问题

3．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．

函数定义域的三种类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．

考点二 函数解析式的求法|

(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；

(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫

1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．

函数解析式求法中的一个注意点

利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．

求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；

(2)2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )．