初等数论§4.2孙子定理
初等数论教案
厦门大学教案学年度第学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材：《初等数论》，北京大学出版社授课对象：数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1：（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：702213152233⨯+⨯+⨯=，233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下：（1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323⨯÷=(余1)，而(702)346⨯÷=(余2)，所以140符合条件。
（2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
初等数论§4.2孙子定理
2020/4/1
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例2 〔韩信点兵〕有兵一队，若列成五行纵队，则 末行1人；成六行纵队，则末行5人；成七行纵队， 则末行4人；成十一行纵队，则末行10人。求兵数。
解 ： 即 求 解 同 余 式 组
x 1 ( m o d 5 ) , x 5 ( m o d 6 ) , x 4 ( m o d 7 ) ,2 6 , m 3 7 , m 4 1 1 .
202043阜阳师范学院1247年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中物不知其数一题的方法推广到一般的情况得到称之为大衍求一术的方法在数书九章中发表
§4.2 孙子定理
李新年
2020/4/1
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• 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒 ，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给 他们出了一题：
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中国剩余定理
➢ 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物
不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之 为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。 这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉 发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的， 特别称之为“中国剩余定理”
2020/4/1
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敬请指导，谢谢！
2020/4/1
阜阳师范学院 数科院
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m i ai 51 65 74 11 10
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3
1×462×3
1 5×385×1 6731
详析孙子定理
㊀㊀㊀㊀㊀１４６㊀详析孙子定理详析孙子定理Һ赵云平㊀（滇西科技师范学院数理学院，云南㊀临沧㊀６７７０９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ孙子定理在各版本的初等数论教材中均有介绍，但细节不够明确，使读者在学习过程中产生很多疑问，本文在给出孙子定理的基础上，通过实例详细分析了孙子定理的算法，让更多的读者受益．ʌ关键词ɔ孙子定理；同余式；一次同余式组孙子定理在数论及近世代数学领域是非常重要的理论，起着基础作用，所解决的问题是求未知量的系数为１，模两两互质的一次同余式的解．它在国际上被称为中国剩余定理或中国余数定理，是数论中一个重要定理，定理的构造值得仔细推敲．求解一个未知数联立同余式组，通常应用 孙子定理 ，这是初等数论教材中介绍的主要算法．１㊀基本概念定义１［１］㊀给定一个正整数ｍ，把它叫作模．如果用ｍ去除任意两个整数ａ和ｂ，所得余数相同，称ａ与ｂ关于模ｍ同余，记作ａʉｂ（ｍｏｄｍ）．若余数不同，称ａ与ｂ关于模ｍ不同余，记作ａʂｂ（ｍｏｄｍ）．定义２［２］㊀设ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋ ＋ａ０，其中ａｉ是整数，ｍ是一个正整数，就把ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋ ＋ａ０ʉ０（ｍｏｄｍ）叫作模ｍ的同余式，ｎ就叫作这个同余式的次数．定理１［２］㊀一次同余式ａｘʉｂ（ｍｏｄｍ），当（ａ，ｍ）＝１时，有唯一解．定理２［２］㊀（ａ，ｂ）＝１⇔存在整数ｓ，ｔ，使ａｓ＋ｂｔ＝１．定理３（传递性）［４］㊀如果ａʉｂ（ｍｏｄｍ），ｂʉｃ（ｍｏｄｍ）⇒ａʉｃ（ｍｏｄｍ）．２㊀孙子定理定理４（孙子定理）［１－６］㊀设ｍ１，ｍ２， ，ｍｋ是ｋ个两两互质的正整数，Ｍ＝ｍ１ｍ２㊃ ㊃ｍｋ＝ᵑｋｉ＝１ｍｉ，Ｍｉ＝Ｍｍｉ，ｉ＝１，２， ，ｋ，则同余式组ｘʉｂ１（ｍｏｄｍ１），ｘʉｂ２（ｍｏｄｍ２）， ，ｘʉｂｋ（ｍｏｄｍｋ）的解是ｘʉＭᶄ１Ｍ１ｂ１＋Ｍᶄ２Ｍ２ｂ２＋ ＋ＭᶄｋＭｋｂｋ（ｍｏｄｍ），其中ＭｉᶄＭｉʉ１（ｍｏｄｍｉ），ｉ＝１，２， ，ｋ．列表如下：除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数ｍ１ｂ１ｍ２ｂ２︙︙ｍｋｂｋｍ＝ｍ１㊃ｍ２㊃ ㊃ｍｋＭ１Ｍ１ᶄＭ１ᶄＭ１ｂ１Ｍ２Ｍ２ᶄＭ２ᶄＭ２ｂ２︙︙︙ＭｋＭｋᶄＭｋᶄＭｋｂｋｘʉðｋｉ＝１ＭｉᶄＭｉ㊃ｂｉ（ｍｏｄｍ）这个孙子定理就给出了求解一次同余式组的一般算法，这是关于模ｍ的运算．３㊀具体算法与实例这个方法具体是什么呢？来看几个例子．例１㊀求解同余式组ｘʉ１（ｍｏｄ３），ｘʉ－２（ｍｏｄ５），ｘʉ４（ｍｏｄ１１）．分析㊀把它列成一个表，大体上就是这样一个算法．除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数最小答数３１５－２１１４３ˑ５ˑ１１＝１６５５ˑ１１＝５５１５５ˑ１ˑ１＝５５３ˑ１１＝３３２３３ˑ２ˑ（－２）＝－１３２３ˑ５＝１５３１５ˑ３ˑ４＝１８０５５＋（－１３２）＋１８０＝１０３１０３它有这样几项，除数㊁余数㊁最小公倍数㊁衍数㊁乘率㊁各总㊁答数，最后还可以求出最小答数．这里除数分成三个，除数分别是３，５，１１，余数分别是１，－２，４，衍数是什么呢？如果对应除数３，那就是另外两个除数相乘，那就是５ˑ１１，对应除数５的就是３ˑ１１，对应除数１１的就是３ˑ５；来看这个乘率，就是１，２，３，这个所谓乘率是什么呢？求乘率稍麻烦一点，就是让衍数５ˑ１１＝５５乘上ｘ关于模３余１的解，即５５ｘʉ１（ｍｏｄ３），这个式子的解怎么求？因为（５５，３）＝１，１｜１有解，实际上就是转化为求二元一次不定方程５５ｓ＋３ｔ＝１的解，这种方法过程不够简便，那这个一次同余式里边，怎么方便地求出ｘ呢？首先把５５除以３，商１８余１，所以５５ｘʉ１（ｍｏｄ３）就变成了ｘʉ１（ｍｏｄ３），这是因为５５ʉ１（ｍｏｄ３），又ｘʉｘ（ｍｏｄ３），有５５ｘʉｘ（ｍｏｄ３），又根据同余的传递性，所以ｘʉ１（ｍｏｄ３）；另一种处理同余式５５ｘʉ１（ｍｏｄ３）的方法，就是当模不是太大的时候，可以把小于模３的３个整数０，１，２分别代入同余式试一下，看谁满足，所以可以推出ｘʉ１（ｍｏｄ３），所以除数３对应的乘率是１．再看下一个３ˑ１１＝３３，３３ｘʉ１（ｍｏｄ５），把３３除以５，商６余３，所以３３ｘʉ１（ｍｏｄ５），就变成了３ｘʉ１（ｍｏｄ５），模５不是很大可把小于模５的整数０，１，２，３，４这５个整数分别代入，容易得出ｘʉ２（ｍｏｄ５），除此之外还有一种处理方式，就是想办法把ｘ的系数变成１，通过把ｘ的系数变到和模５越来越接近，比如５和４，６很接近，比如３ｘʉ１（ｍｏｄ５），两边乘上２，６ｘʉ２（ｍｏｄ５），又６ʉ１（ｍｏｄ５），所以６ｘʉｘ（ｍｏｄ５）⇒ｘʉ２（ｍｏｄ５），所以除数５对应的乘率是２，在解同余式的过程中根据具体题目多种方法融入使用更加简便．同样地，３ˑ５＝１５，１５ｘʉ１（ｍｏｄ１１），１５ʉ４（ｍｏｄ１１），得４ｘʉ１（ｍｏｄ１１），两边同乘３，１２ｘʉ３（ｍｏｄ１１），１２ʉ１（ｍｏｄ１１），所以ｘʉ３（ｍｏｄ㊀㊀㊀１４７㊀㊀１１），除数１１对应的乘率是３．然后是各总，各总是什么呢？各总就是衍数㊁乘率㊁余数的乘积，５５ˑ１ˑ１＝５５，３３ˑ２ˑ（－２）＝－１３２，１５ˑ３ˑ４＝１８０，答数就是５５＋（－１３２）＋１８０＝１０３，也就是各总之和，那么这个答数可能会比较大，而且大于最小公倍数，要求它是最小的正整数，则这个最小答数就是用答数除以最小公倍数求余数，或答数减去最小公倍数的倍数．算出最小答数代回同余式组验证一下是否满足，如果在验证的过程中不满足某一个，说明该行可能算错了，经检验１０３是最小答数，这是孙子定理的算法．对于同余式组来说，要求出所有的解，也是很容易的，刚才在求最小答数的时候是减去最小公倍数的若干倍，现在是加上１６５的若干倍，所有解ｘʉ１０３＋１６５ｋ，ｋɪＺ．解㊀ȵ３，５，１１两两互质，由孙子定理得ｍ＝３ˑ５ˑ１１＝１６５，Ｍ１＝５ˑ１１，５ˑ１１ˑＭᶄ１ʉ１（ｍｏｄ３），Ｍᶄ１＝１，Ｍ２＝３ˑ１１，３ˑ１１ˑＭᶄ２ʉ１（ｍｏｄ５），Ｍᶄ２＝２，Ｍ３＝３ˑ５，３ˑ５ˑＭᶄ３ʉ１（ｍｏｄ１１），Ｍᶄ３＝３，ʑｘʉ５ˑ１１ˑ１ˑ１＋３ˑ１１ˑ２ˑ（－２）＋３ˑ５ˑ３ˑ４（ｍｏｄ１６５）ʉ１０３（ｍｏｄ１６５）．例２㊀求解同余式组ｘʉ５（ｍｏｄ７），ｘʉ３（ｍｏｄ１２），ｘʉ１７（ｍｏｄ５５）．分析㊀要求这个同余式组，列表如下：除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数最小答数７５１２３５５１７７ˑ１２ˑ５５＝４６２０１２ˑ５５＝６６０４１３２００７ˑ５５＝３８５１１１５５７ˑ１２＝８４９２７１３２１３２００＋１１５５＋２７１３２＝４１４８７４５２７其中乘率，求６６０ｘʉ１（ｍｏｄ７）的解，（６６０，７）＝１，１｜１有解，这个解怎么来求呢？实际上就是求６６０ｓ＋７ｔ＝１．来看怎么方便快捷地求出ｘ，首先我们把６６０除以７，商９４余２，所以６６０ｘʉ１（ｍｏｄ７）就变成了２ｘʉ１（ｍｏｄ７），为什么６６０可以写成被７除的余数２呢？因为６６０ʉ２（ｍｏｄ７），两边同乘ｘ，６６０ｘʉ２ｘ（ｍｏｄ７），要找６６０ｘʉ１（ｍｏｄ７），由同余的传递性，有２ｘʉ１（ｍｏｄ７）．所以由６６０ｘʉ１（ｍｏｄ７）就推出２ｘʉ１（ｍｏｄ７），那返回去怎么办呢？返回去实际上也是一样的，因为６６０ｘ与２ｘ同余，２ｘ与１同余，由传递性，所以６６０ｘ与１同余，因此６６０ｘʉ１（ｍｏｄ７）⇔２ｘʉ１（ｍｏｄ７），然后从２ｘʉ１（ｍｏｄ７）里边找ｘ，怎么找呢？因为（２，７）＝１，所以它只有１个解，现在我们要求２ｓ＋７ｔ＝１很容易．或当模不是太大的时候，我们也可以从０到６一个一个代进去试一下，看谁满足，所以可以推出ｘ＝４，因此除数７对应的乘率是４．在这里还有一种解法，就是想办法把ｘ的系数变成１，通过把ｘ的系数变到和７越来越接近，比如６和８与７很接近，比如在２ｘʉ１（ｍｏｄ７）两边乘上３，得６ｘʉ３（ｍｏｄ７），因６模７余－１，所以－ｘʉ３（ｍｏｄ７），两边乘－１，ｘʉ－３（ｍｏｄ７），－３被７除，因－３＝－１ˑ７＋４，找最小正整数，就是４，所以ｘ＝４，或者在式子２ｘʉ１（ｍｏｄ７）两边乘４，得８ｘʉ４（ｍｏｄ７），又８模７余１，ｘʉ４（ｍｏｄ７），所以得到的也是４，这是乘率．这个除数和余数根据同余式组可以直接写出来，最小公倍数的计算也简单．衍数呢？在除数里边，除了这一行所在的数，把其他几个除数乘起来便可．乘率稍稍麻烦一点，要把它们解出来，对于模７，４是第一个乘率．对于模１２的乘率，就是要找３８５ｘʉ１（ｍｏｄ１２）的解，现在我们还是按刚才的办法，３８５太大，把它变小，就是３８５被１２除找余数，３８５除以１２，商３２余１，原同余式等价于ｘʉ１（ｍｏｄ１２），所以１２对应的乘率为１，最后一个乘率，找８４ｘʉ１（ｍｏｄ５５）的解，当然我们还是用８４被５５除，来看它的余数，２９ｘʉ１（ｍｏｄ５５），下面我们再让它接近５５，然后再去掉５５的倍数，上式两边乘２，得５８ｘʉ２（ｍｏｄ５５），再模一个５５，得３ｘʉ２（ｍｏｄ５５），再让３与５５接近，式子两边同时乘１８，５４ｘʉ３６（ｍｏｄ５５），又５４＝１ˑ５５－１，５４模５５余－１，有－ｘʉ３６（ｍｏｄ５５），式子两边乘－１，ｘʉ－３６（ｍｏｄ５５），取最小正整数１９，当然也不一定找最小的正整数，只是为了和古代的孙子算经对应，里面找的就是最小正整数．下面就要算各总，各总就是将表格每一行里边的衍数㊁乘率㊁余数这３个数乘起来，它们依次为６６０ˑ４ˑ５＝１３２００，３８５ˑ１ˑ３＝１１５５，８４ˑ１９ˑ１７＝２７１３２，答数就是把各数加起来得４１４８７，最小答数就是用答数除以最小公倍数，求余数，４１４８７ː４６２０＝８ ４５２７，最小答数为４５２７．算出最小答数代回同余式组验证一下是否满足，如果在验证的过程中不满足某一个，说明该行可能算错了．经检验４５２７是最小答数，这就是孙子算经的算法．对于同余式组来说，要求出所有的解也是很容易的，所有的解为ｘ＝４５２７＋４６２０ｋ．我们在求最小答数的时候是去掉４６２０的若干倍，而所有的解是加上４６２０的若干倍．４㊀结论中国著名数学著作‘孙子算经“中记载 物不知数 问题，就是孙子定理的体现，给出了求解一般同余式组的方法，成为解决特定一次同余式组的主要模式．文章对孙子定理进行了阐述，并通过实例对孙子定理问题的算法进行了详细的分析．但孙子定理也有一定缺陷，求解同余式㊁同余式组并不完善，有一定的局限性，要求模必须两两互素，且解法唯一．文章仅分析了一些简单的例子，以帮助学者更好地理解并掌握算法，相关问题有待进一步探讨．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．［２］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［３］课程教材研究所，数学课程教材研究开发中心．初等数论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００６．［４］胡典顺，徐汉文．初等数论（第二版）［Ｍ］．科学出版社，２０１７．［５］边红平．初等数论［Ｍ］．浙江大学出版社，２００７．［６］柯召，孙琦．数论讲义（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．。
初等数论§4同余式
2013-8-2
阜阳师范学院 数科院
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四、其他解法 ——应用欧拉定理 定理5 设(a, m) = 1，并且有整数 > 0使得 a 1 (mod m)， 则同余方程ax b (mod m)的解是 x ba 1 (mod m). 注1：直接验证即可。 注2：由定理5及Euler定理可知，若(a, m) = 1，则 x ba(m) 1 (mod m) 是同余方程ax b (mod m)的解。
17 x 14(mod 21)
例4 解同余方程
解：x ba(21) 1 14 1711 7(mod 21)
2013-8-2
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五、简单同余方程组〔模相同〕的解法
3 x 5 y 1(mod7) (*) 例5 解同余方程组 2 x 3 y 2(mod7)
（1）设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与 f(x) b(x) b(x) (mod m)等价； （2）设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与 bf(x) 0 (mod m)等价；
（3）设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是 整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解， 则x0必是同余方程 g(x) 0 (mod m) 或 h(x) 0 (mod m)的解。
第四章
同 余 式
§4.1 基本概念及一次同余式
2013-8-2
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一、基本概念 定义1
设f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 , ai Z ,
孙子定理公式
孙子定理公式孙子定理，又称中国剩余定理，这可是数学世界里一颗璀璨的明珠！咱先来说说啥是孙子定理。
简单来讲，就是在解决一类同余式组问题时的超级神器。
比如说，有一堆东西，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，问这堆东西最少有多少？这时候孙子定理就派上用场啦。
那孙子定理的公式是啥样呢？咱来瞧瞧。
设 m1, m2,..., mk 是两两互质的正整数，M = m1 × m2 ×... × mk，Mi = M / mi ，ti 是满足Mi × ti ≡1 (mod mi) 的整数，则同余式组x ≡ a1 (mod m1) ，x ≡ a2 (modm2) ，... ，x ≡ ak (mod mk) 的解为x ≡ a1 × M1 × t1 + a2 × M2 × t2 +... + ak × Mk × tk (mod M) 。
是不是有点晕乎？别着急，我给您举个例子就清楚了。
有一天，我在课堂上讲这个孙子定理。
我问同学们：“假设一堆苹果，除以 5 余 2，除以 7 余 3，那最少有多少个苹果呀？”这时候，教室里安静得连根针掉地上都能听见。
大家都皱着眉头，苦思冥想。
我看着他们的样子，心里也有点着急。
不过我还是耐着性子，一步一步引导他们。
“咱们先算算 M 是多少呀？5×7=35，所以 M 就是 35。
那 M1 呢？就是 35÷5 = 7，M2 就是 35÷7 = 5。
接下来，咱们要找到满足7×t1 ≡ 1 (mod 5) 和5×t2 ≡ 1 (mod 7) 的 t1 和 t2 。
”这时候，有个平时挺机灵的同学小声说：“老师，t1 是不是 3 啊？因为 7×3 = 21，21 除以 5 余 1 。
”我一听，特别高兴，赶紧表扬他：“对啦，真聪明！那 t2 呢？”大家又陷入了思考。
孙子定理的定义
孙子定理的定义1. 引言孙子定理是数学中一个重要的几何定理，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
孙子定理起源于中国古代数学家孙子，被广泛应用于解决三角形相关问题。
2. 孙子定理的表述孙子定理可以通过以下方式表述：对于一个任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
那么，可以得到以下等式关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 推导过程现在我们来推导一下孙子定理。
首先，根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c将等式两边取倒数，并且交换分子和分母位置，得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC这就是孙子定理的表述。
4. 孙子定理的应用孙子定理在解决三角形相关问题时非常有用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
4.1 求解缺失边长或角度当我们已知一个三角形的两个边长和它们夹角的情况下，可以使用孙子定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形的边长a=5，b=7，夹角C=60°。
我们可以通过孙子定理来求解边长c。
根据孙子定理，我们有：c/sinC = a/sinA代入已知数据：c/sin60° = 5/sinA通过简单计算，我们可以得到sinA = (5/7) * sin60°。
然后，通过反正弦函数计算得到A的值。
最后，再利用三角函数关系求解出c的值。
4.2 判断三角形类型孙子定理也可以用于判断三角形的类型。
根据孙子定理中等式两边之间的比例关系，我们可以得到以下结论：•如果a=b=c，则三角形为等边三角形。
•如果a=b或b=c或c=a，则三角形为等腰三角形。
•如果a^2 + b^2 = c^2，则三角形为直角三角形。
•如果a^2 + b^2 < c^2，则三角形为钝角三角形。
•如果a^2 + b^2 > c^2，则三角形为锐角三角形。
4.3 解决几何问题除了上述应用外，孙子定理还能够帮助我们解决其他几何问题。
初等数论讲义修改版
3.10 Gauss整数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第九讲 模m的原根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模m的原根存在的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 公钥密码应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十讲 群， 环， 域理论简介（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 群的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 似曾相识的群理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 基本的群论定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十一讲 必备的抽象代数（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 环和域的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 环的算术性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 理想的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 域的“熟知”定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 数论函数 第十二讲 基本的数论函数及运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 数论函数pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯函数和Euler函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirichlet乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯反演公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 积性函数和完全积性函数 素数分布 同余方法 柯召方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
中国剩余定理
中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。
2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。
N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。
同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。
孙子定理公式详解
孙子定理公式详解孙子定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。
这定理听起来是不是有点高大上，让人感觉摸不着头脑？别担心，咱一步步来把它弄明白。
先来说说孙子定理到底是个啥。
想象一下，你有一堆苹果，要分给几个小伙伴。
但是呢，你只知道这些苹果除以某个数会余几，除以另一个数又会余几，然后你想知道到底有多少个苹果。
这时候孙子定理就派上用场啦！比如说，有一堆物品，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，那这堆物品最少有多少个？这就是孙子定理能解决的问题。
咱们来看看孙子定理的公式。
假设整数 m1，m2，... ，mk 两两互质，M = m1 × m2 ×... × mk，Mi = M / mi（i = 1，2，... ，k），则同余方程组：x ≡ a1（mod m1）x ≡ a2（mod m2）...x ≡ ak（mod mk）的解为：x = （a1M1y1 + a2M2y2 +... + akMkyk）mod M ，其中 yi满足Miyi ≡ 1 （mod mi）（i = 1，2，... ，k）。
哎呀，这公式是不是看起来有点复杂？别着急，咱们通过一个具体的例子来理解。
就拿前面说的那堆物品的例子，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7余 2。
首先，3、5、7 两两互质，M = 3×5×7 = 105。
M1 = 105÷3 = 35，M2 = 105÷5 = 21，M3 = 105÷7 = 15。
接下来要找 y1、y2、y3，使得35y1 ≡ 1 （mod 3），21y2 ≡ 1（mod 5），15y3 ≡ 1 （mod 7）。
对于35y1 ≡ 1 （mod 3），因为 35 = 3×11 + 2，2×2 ≡ 1 （mod 3），所以 y1 = 2。
对于21y2 ≡ 1 （mod 5），因为 21 = 5×4 + 1，所以 y2 = 1。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
初等数论第四章课件
解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7, , -1, 0,1,7,直接代入检验知x 6,3是解，
所以同余式有两个解： x 6(mod15), x 3(mod15)
注：①同余式x x 0(mod p)有p个解
p
（由Fermat小定理可得）
②同余式f ( x) ms( x) 0(mod m)与（2）等价 特别地，一个同余式中系数为模的倍数的项去掉 后，同余式的解不变。
qd k x =x0 m d m x0 mq k d m x0 k (mod m)，k 0,1, 2,, d 1 d
（3）
m 但x0 k , k 0,1, 2, , d 1是对模m两两不同余的，故 d （1）有d 个解，即（3）
例2
求解18x 30(mod 42)
一般地用数学归纳法不难证明同余方程
a1 x1 ak xk b(mod m)有解的充要条件为d b , d (a1 , , ak , m), 此时有m k 1d 个解
第二节
孙子定理
我国古代的《孙子算经》里有问题如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”. 这是一个求解同余式组的问题，《孙子算经》 已给出了求解方法，即为下面的孙子定理:
例3、求解9 x 21(mod30)
解： (9,30) 3 21， 同余式有3个解
将同余式化为9x 30 y 21 或3x 10 y 7
上述不定方程有一组解为x 1, y 1
则同余式的3个解为：x 1,9,19(mod30)
注：由ax b(mod m) 或my b(mod m)，
第三四节高次同余式一质数模的同余式其中是质数1定理同余式与一个次数不超过的质数模同余式等价xqxrx利用带余除法及费马小定理可得出结论埃菲尔铁塔的整个塔体结构高耸上窄下宽给人以平衡稳定的美感
孙子定理简单理解
孙子定理简单理解
孙子定理可以说是初中数学中的重要定理之一，它是一个用于计
算三角形面积的公式，也叫做海伦公式。
它的应用范围广泛，可以在
建筑、地理测量、物理等多个领域中找到它的踪迹。
所谓的孙子定理，是由中国古代著名军事家孙武所提出的，因此
得名。
这个公式可以用来快速地计算出三角形的面积，而无需准确地
测量三角形的边长和高度等参数。
因此，在进行一些基本的测量时，
孙子定理能够为我们节省很多时间和成本。
孙子定理的公式如下：S = √p(p - a)(p - b)(p - c)。
其中，S
代表三角形的面积，p表示半周长，即p = (a + b + c) / 2，而a、b、c则分别代表三角形的三条边长。
从公式中可以看出，孙子定理的精髓就在于能够快速算出半周长p 以及三角形的三边长。
通过使用计算器或手算，我们可以简单地使用
这个公式来计算出一个任意三角形的面积。
然而，在实际应用中，我们还需要掌握一些技巧性的计算方法，
才能充分利用好孙子定理。
例如，当我们只知道三角形的三个顶点坐
标时，如何用孙子定理来计算出它的面积呢？
我们可以通过勾股定理计算出三条边的长度，然后代入孙子定理
公式中得出面积。
计算出三条边长之后，我们还可以应用海伦公式求
解三角形高度，或是运用余弦定理求解角度等进一步问题。
总之，孙子定理虽然看似简单，但在实际运用中需要综合运用多个定理和技巧。
只有学好了三角形相关的数学知识和技巧，才能为我们在实际生活和工作中提供帮助，让我们更好地应对复杂的问题。
初等数论 第四章 同余式
第四章 同余式§1 基本概念及一次同余式作为一个解。
中的一切数，即成立，故把都能使中的任意整数，则剩余类的合理性：若定义的一个解。
叫做成立的一个整数，则是使若称为次数。
，则的同余式。
若称为模，则，其中，设余方程）的求解问题。
课题是研究同余式（同初等数论中的一个基本)(m od )(m od 0)()(m od 0)(2)(m od 0)()(m od )(m od 0)()(m od 0)(m od 0)()(011m a x K m a f a K m a f m x f m a x m a f a n m a m m x f a a x a x a x f m a a n i n n n n ≡≡''≡≡≡≡≡/≡∈+++=∈--+定义2定义1Z Z 。
，解数为，的解为同余式，所以，，的一切整数解为因为不定方程。
有解不定方程有解同余式的任一个解。
是同余式其中，，个解，它们是余式共有。
当此条件成立时，同有解的充分必要条件是，则一次同余式设d d k m dmk x x m b ax t t dmx x b my ax b d b my ax m b ax m b ax x d k m dmk x x d b d m b ax d m a 1,,1,0)(m od )(m od )2(|)(m od )1()(m od 1,,1,0)(m od |)(m od ),(0000-=⋅+≡≡∈+==+⇔=+⇔≡≡-=⋅+≡≡= Z 证明定理。
解时，一次同余式有唯一当)(m od 1),(1)(m b a x m a m -≡=ϕ注同余式的解法1、代入法（适用于模较小时） 。
，得的完全剩余系逐一代入以，，所以同余式有唯一解因为解同余式)17(m od 6171)17,3()17(m od 13≡=≡x x 解例12、公式法（适用于模较小时）。
从而，，，所以同余式有唯一解因为解同余式)11(m od 8656)2()2()3(98981)11,8()11(m od 98491101)11(≡⋅≡⋅-≡-⋅-≡⋅≡⋅≡=≡--ϕx x 解例23、变换系数法 。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21Λ都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++Λ。
或着i b a |，则∑=ni ii b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,Λ=∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p Λ21|，则p 能整除n a a a ,,,21Λ中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
孙子定理的定义
"孙子定理"是数论中的一个重要定理，也叫做中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）。
它涉及到模同余方程组的解法，特别是在中国古代的数学发展中得以广泛应用，因此得名中国剩余定理。
这个定理在数论、密码学、编码等领域有重要的应用。
下面是孙子定理（中国剩余定理）的定义：
定理： 设n1, n2, ..., nk 是两两互质的正整数，a1, a2, ..., ak 是任意整数，那么对于给定的模数 n = n1 * n2 * ... * nk，存在一个整数 x，满足以下同余方程组：
x ≡ a1 (mod n1)
x ≡ a2 (mod n2)
...
x ≡ ak (mod nk)
换句话说，定理保证在给定的一系列两两互质的模数下，可以找到一个整数 x，使得 x 在每个模数下与给定的余数 ai 同余。
要注意的是，这个定理的前提是所涉及的模数两两互质。
如果模数之间不互质，这个定理就不一定成立。
孙子定理的应用范围很广，特别是在计算机科学领域，例如在密码学中的一些加密算法和解密算法，以及在编码和通信中的纠错码等技术中都有应用。
高等教育 孙子定理
《孙子定理》诌议我国古代数学名著《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
”书中不但给出了答案，而且提供了解法。
此类问题，后经历代中国数学家研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。
此定理用现代数学符号表述一般都用初等数论中的同余概念，但从定理的具体内容用“带余除法”（指：被除数=除数×不定商+余数）的形式叙述更为自然易懂。
因此，该定理可表述为：某数x，用m1除余b1，用m2除余b2，…，用m k除余b k，即（1）m1, m2, …, m k是k个两个互质的正整数（k≥2），M=m1m2…m k，，，…，，（0<r<M）（2）则方程（1）的解，（k取任意整数）。
其中：，（i=1,2,…,k）（3）由（2）式可知，应用《孙子定理》的关键是求出F i(i=1,2,…k)的值。
那么怎样求出F i的值呢？因为（3）式可化为：（4）由于m1,m2,…,m k两两互质可知M i与m i也互质，故它们的最大公约数是（1），根据两数最大公约数的性质，存在F i（和q i）使得（4）式成立。
为此，先用辗转相除法求出（4）式也就是（3）式中M i与m i的最大公约数。
对M i与m i辗转相除是指下列一串等式：当r n=1（这就是M i与m i的最大公约数）时，再利用这串等式求得F i的值。
例如，设（3）式中M i=7，m i=5 则7F i=5q i+1。
首先对7与5辗转相除，求它们的最大公约数（1）。
，（这里r2=1，是7与5的最大公约数）利用上式求F i的值：即，故得F2=-2。
我们可以证明，用上述方法求（3）式中F i的值，如F i=F0，则F0+Km i（K取任意整数）都是F i的值。
本例F i=-2，那么-2+5K（K取任意整数）都满足7F i=5q i+1，但在应用《孙子定理》中只需要求出一个值即可。
郭学军--初等数论
§7
二次剩余
假设m是一个大于1的整数， 假定m, n互素， 如果
x2 ≡ n (mod m)
有整数解，那么我们就称n是模m的二次剩余，否则我们就称n是模m的二次 非剩余。假设p是一个素数， 我们定义勒让德符号为 1, n为二次剩余 ( ) n = −1, n为二次非剩余 p 0, p|n.
S= ∑
xi ∈Fp an 1 xa 1 · · · xn = 0 .
5
定理6.6 (Wolstenholme定理). 假设p是一个大于3的素数, 用1/s表一整数s∗ 使 得 ss∗ ≡ 1 (mod p2 ). 则
1+ 1 1 1 + + ··· + ≡ 0 (mod p2 ). 2 3 p−1 1 1 1 + + ··· + ≡ 0 (mod p3 ). 2 3 p−1
对任意的i ̸= j 成立。 有解的时候，解模N = [n1 , ..., nk ] （最小公倍数） 惟一。 注意我们这里的解都是一次的，如果是高次的同余方程，那么求解非常 困难， 而且没有固定的方法。
§6
有限域初步
假设p是一个固定的素数。 我们在这一节中只考虑由集合{0, 1, 2, ..., p − 1}构成的有限域Fp 。作为集合来看，Fp = {0, 1, 2, ..., p − 1}。但是Fp 跟单 纯的集合相比，它里面多了两种运算，一种是加法，一种是乘法。任给a, b ∈ {0, 1, 2, ..., p − 1}, a, b之和有可能大于等于p, 不在{0, 1, 2, ..., p − 1}里 面了。假设x是a, b之和再除以p的余数。在有限域Fp 中，我们定义a + b等于 这个余数x。同样的任给a, b ∈ {0, 1, 2, ..., p − 1}, a, b之乘积有可能大于等 于p, 不在{0, 1, 2, ..., p − 1}里面了。假设y 是a, b之积再除以p的余数。在有 限域Fp 中， 我们定义ab等于这个余数y。 注意在有限域Fp 中，−a = p − a, p = 0。任取一个非零元素a ∈ Fp 。因 为a不能被p整除，所以由欧几里得除法可知，存在整数x, y 使得ax + py = 1. 所以在有限域Fp 中，ax = 1. 也就是说，有限域Fp 中，任何非零元素都可逆。 显然这个逆元素也是唯一确定的。我们记x = a−1 . 例子6.1. 例如在F5 中， 3 + 4 = 2 ∈ F5 , 4 · 4 = 1 ∈ F5 . 3 − 1 = 2 ∈ F5 有限域Fp 的所有的元素加起来等于(p − 1)p/2. 如果p > 2, 则p − 1是偶数, 所以(p − 1)p/2能够被p整除，所以在有限域Fp 中(p − 1)p/2 = 0。我们再看看 有限域Fp 中所有的非零元素乘起来等于多少。 定理6.2 (威尔逊定理).
【精品】孙子定理
【关键字】精品孙子算经●“”《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。
卷下第31题，是后世“”题的始祖，后来传到，变成“鹤龟算”。
书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？趣题1：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？●“荡杯问题”“今有妇人河上荡杯。
津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘有客。
’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。
不知客几何？”“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。
这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。
其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。
通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。
因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。
●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论）《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”这个问题也被称为“物不知数”问题。
西方数学史将其称为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。
与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。
此题相当于求大概方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。
孙子算经给出了算法：N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数。
这里给出的是符合条件的最小正整数。
对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。
初等数论(严蔚敏版) 第四章同余式
((m1, m2 , m3 )m1m2 , (m1, m2 , m3 )m1m3, (m1, m2 , m3 )m2m3 )
(m12
m2
,
m1m22
,
m12
m3
,
m1m32
,
m22
m3
,
m2m32
,
m1m2
m3
)(m1
,
m2
)(m1m3
)(m2m3
)
(m12 , m1m3, m1m2 , m2m3 )(m2 , m3
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《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
§4.2 孙子定理
1、试解下列各题：
（i） 十一数余三，七二数余二，十三数余一，问本数。
（ii） 二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。
（杨辉：续古摘奇算法（1275））。
x 3(mod11)
15M
3
1(mod
7)
M
3
1(mod
7)
根据孙子定理方程组的解是
x 2 35 2 1 21 3 1115 2 233 23(mod105)
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《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
注意到 x0 x1 x2 , 故有限步后，必有 axn y(mod m) m
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《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
x 4 y 29 0(mod143)
2、求联立同余式
的解。
2x 9 y 84 0(mod143)
解：据同余式的有关性质，
x 4 y 29 0(mod143) x 4 y 29(mod143)
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x a 1 ( m o d m 1 ) , x a 2 ( m o d m 2 ) , L , x a k ( m o d m k ) ( 1 )
m1, m2, , mk是两两互质的正整数，
记 m = m1m2
mk
，
Mi
m,1 mi
i
k.
k
则(1)的解为
x aiM iM i(m odm )
i 1
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列表如下：
除余 数数 32
53 72
最小公 衍数 乘 各 总
倍数
率
3×5×7 5×7 2
=105
3×7 1
35×2×3 21×1×3
3×5 1 15×1×2
答 数 最小
答数
140+63 233+30 2×105 =233 =23
2020/4/1
为什么啊？ 7
分析：设所求物数为x，则有 x 2 ( m o d 3 ) , x 3 ( m o d 5 ) , x 2 ( m o d 7 ) .
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敬请指导，谢谢！
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阜阳师范学院 数科院
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
(2)
其中，整数Mi（1 i k），满足MiMi 1 (mod mi).
2020/ o d 3 ) , x 3 ( m o d 5 ) , x 2 ( m o d 7 ) .
解：m1 3,m2 5,m3 7两两互质， m = 3 5 7 1 0 5 . M 1 3 5 ,M 2 2 1 ,M 3 1 5 .衍数 由 M i M i ' 1 ( m o d m i ) M 1 ' 1 , M 2 ' 1 , M 3 ' 1 乘率 35 1(m od3) 3 5 ( 1 ) 1 ( m o d 3 ) ;(Mi'不唯一)
211(m od5) 2 1 1 1 ( m o d 5 ) ;
151(m od7) 1 5 1 1 (m o d 7 ).
k
x aiMiMi i1
(衍 数 乘 率 余 数 )
2 3 5 ( 1 ) 3 2 1 1 2 1 5 1 2 3 ( m o d 1 0 5 )
4
古人解法：
• 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则 置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上 ，以一百零五减之即得。
• 依定理译成算式解为：
•
70×2＋21×3＋15×2＝233
•
233－105×2＝23
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阜阳师范学院 数科院
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明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式 总结为一首通俗易懂的歌决：
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例2 〔韩信点兵〕有兵一队，若列成五行纵队，则 末行1人；成六行纵队，则末行5人；成七行纵队， 则末行4人；成十一行纵队，则末行10人。求兵数。
解 ： 即 求 解 同 余 式 组
x 1 ( m o d 5 ) , x 5 ( m o d 6 ) , x 4 ( m o d 7 ) , x 1 0 ( m o d 1 1 ) . 其 中 ， m 1 5 , m 2 6 , m 3 7 , m 4 1 1 .
§4.2 孙子定理
李新年
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• 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒 ，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给 他们出了一题：
• “今有物不知其数，三三数之剩二；五 五数之剩三：七七数之剩二。问物几 何？”
• 黄蓉天资聪慧，她略微思考，答：23。 • 大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出
a 1 1 ,a 2 5 , a 3 4 , a 4 1 0 .——余数
M 1 6 7 1 1 4 6 2 , M 2 5 7 1 1 3 8 5 , ——衍数
M 3 5 6 1 1 3 3 0 , M 4 5 6 7 2 1 0 .
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列表如下：
m i ai 51 65 74 11 10
m
Mi
462
385 2310 330
210
M i ' aiMiMi ' aiMiMi'
3
1×462×3
1 5×385×1 6731
2111
1
4×330×1
(m od 2310)
1 10×210×1
4 6 2 2 ( m o d 5 ) 4 6 2 3 1 ( m o d 5 )其它略
称之为同余式组。 即要求这些同余式的公共解。 一般情况下，同余式组可记作： x a 1 ( m o d m 1 ) , x a 2 ( m o d m 2 ) , L , x a k ( m o d m k )
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一、一次同余式组的解法——中国剩余定理
定理1[孙子定理] 设有同余式组
不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之 为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。 这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉 发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的， 特别称之为“中国剩余定理”
➢（Chinese remainder theorem ）。
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阜阳师范学院 数科院
这道题的呢？
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其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
剩余问题:在整数除 法里，一个数同时 除以几个数，整数 商后，均有剩余； 已知各除数及其对 应的余数，从而要 求出适合条件的这 个被除数的问题， 叫做剩余问题。
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中国剩余定理
➢ 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。
其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7； 70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了。 详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘70，5除 的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“ 除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的 （最小）解了。