高等代数欧几里得空间知识点总结
高等代数-9第九章 欧几里得空间
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a aa a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ijb a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B =③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
高代第9章讲义
(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。
这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2、向量的长度 α= 。
3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。
当且仅当α,β线性相关时，等号成立。
4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。
αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。
6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。
7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。
2） 标准正交基的度量阵是单位阵。
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < ห้องสมุดไป่ตู้ , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
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例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
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证毕. 证毕
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
欧几里德空间知识点总结 (2)
AY
y1 y2 yn
A a ij
n n
,
X
Y
（4） 内积的简单性质 V为欧氏空间，
1)
, , V , k R
( , k ) k ( , ),
（2）
x 1 1 x 2 2 x n n y 1 1 y 2 2 y n n
f ( , )
n n
则
i1 j1
f i ,
j
xi y j X
T
AY
(3)设 1 , 2 , , n ; 1 , 2 , , n 为向量空间V的两组基， 双线性函数 f 在这两组基下的度量矩阵分别为A、B ， 则A与B 合同：
f ( x ) g ( x ) dx
a
b
f ( x ) dx
2
a
b
g ( x )d x
2
ii )
d ( , ) d ( , ) d ( , )
三角 不等式
例1、证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 , ,
以下列式子成立：
（P182习题2）
(2)求与下列向量都正交的单位向量
1 1, 1, 1, 1 , 2 1, 1, 1, 1 , 3 2 , 1, 1, 3
二、长度、夹角、距离、正交、不等式
长度
1) 2)
V ,
( , )
0;
0 0
1 2 m
0
所得的正交组，证明:
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
高等代数欧几里得空间知识点总结
⾼等代数欧⼏⾥得空间知识点总结第九章欧⼏⾥得空间（ * * * ）⼀、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对⾓化，如何求标准形。
除此之外，欧⽒空间的含义，概念，性质也要作为⼀个⽐较重要的内容来复习。
⼆、考点精讲：三、⾸师⼤真题：（⼀）欧⽒空间1.设V 是是数域R 上⼀线性空间，在V 上定义了⼀个⼆元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有⼀下性质：（1）(,)(,)αββα=；（2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这⾥,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧⼏⾥得空间。
2.α的长度，记为α。
3.⾮零向量的夹⾓,β规定为(,),arccos,0,ααβαβπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是⼀个n 维欧⼏⾥得空间，在V 中取⼀组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧⽒空间V 中⼀组⾮零向量，如果它们两两正交，就称为⼀正交向量组。
在n 维欧⽒空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化这是把线性⽆关向量组改造为单位正交向量组的⽅法. 以3个线性⽆关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交⾮零向量组.（⼆）同构1.实数域R 上欧⽒空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有⼀个1-1上的映射σ，适合（1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这⾥,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。
高等代数II期末复习提纲及题型
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， ，那么有 。
22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于 ，都有 ，则称V1与V2是正交的，记作 。
例如：〔1〕 中，子空间 ，，那么有 。
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， 由一些奇函数组成的，那么有 。
15、等价的 矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。
16、 矩阵的标准形是唯一的。 的标准形的主对角线上的非零元素 称为 的不变因子。
17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：
〔1〕特征矩阵 与 等价；
〔2〕特征矩阵 与 有相同的标准形；
〔3〕特征矩阵 与 有相同的不变因子〔 的不变因子以后就简称为A的不变因子〕；
20、正交变换的性质
〔1〕正交变换是可逆的〔因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式= ，是可逆的，所以正交变换是可逆的。〕
〔2〕正交变换的逆变换也是正交变换。〔证明过程？〕
〔3〕两个正交变换的乘积也是正交变换。〔证明过程？〕
〔4〕正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射〔满足同构映射的条件〕。
〔5〕正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的〔旋转〕；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换 是第几类的？
21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于 ，都Biblioteka ，称向量 与子空间W正交，记作 。
〔4〕A与B有相同的不变因子；
〔5〕A与B有相同的初等因子。
18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。
19、行列式因子与不变因子的关系：
高等代数考研复习[欧氏空间]
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3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A
V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
高等代数课件
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
欧几里德空间知识点总结PPT课件
例6、 （1）设 A Rnn 为反对称矩阵，证明： E A 可逆，且 P (E A)(E A)1
是正交矩阵. （P395习题16） （注意：反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数）
（2）设 AT A Rnn且满足A2 4 A 3I 0
证明：A 2I是正交矩阵.
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求a, b及所用的正交线性替换。 （类似P199习题5）
例2、设A是正定实对称矩阵，证明：
A E 1.
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例3、设 A, B 都是实对称矩阵，
（1）证明：存在正交矩阵 T ，使得 T 1AT B
的充分必要条件是 A, B的特征多项式的根全部相同.
（2）如果 B 是正定矩阵，证明存在一个 n n
将 11,12 , ,1n1 ,
,r1,r 2 , ,rnr 的分量依次作
矩阵P的第1，2，…，n列，
使 PT AP P 1 AP为对角形．
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2.对称变换定义
欧氏空间V的线性变换 ，如果
( ), ( , ( )), , V
则称 为对称变换.
注. 对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2, ,n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形 矩阵P，使 A PT P 。
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二、正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，
( ), ( ) ( , ), , V
(v) 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数（重根按重数计）． (vi) 当A退化时, n－秩(A)是0为A的特征值的重数.
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章 欧式空间 【圣才出品】
第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。
高等代数--第九章 欧几里得空间
在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 , 正交时， 2 2 2
| | | | | | .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如 果向量1 , 2 ,, m两两正交，那么
| 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2 | m |2 .
定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定 义了一个二元实函数，称为内积，记作 ， ( , ) 它具有以下性质： 1)( , ) ( , ); 2)(k , ) k ( , ); 3)( , ) ( , ) ( , ); 4)( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0.
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij ( i , j ) 显然 aij a ji .
(i, j 1,2,, n),
(8)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
( , ) 还可以写成 利用矩阵，
定义2 非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记 为| | 。 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量 的长度才是零。且 | k || k || |, (3)
k R, V . 事实上， 这里，
| k | (k , k ) k 2 ( , ) | k || | .
这里 , , 是V中任意的向量，k是任意实数，这 样的线性空间V称为欧几里得空间。
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举
的性质，所以几何空间中向量的全体构成一 个欧几里得空间。
例1 在线性空间Rn中，对于向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 anbn . (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就 成为一个欧几里得空间。以后仍用Rn来表示这 个 欧几里得空间。 在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式。
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第九章 欧几里得空间（ * * * ）
一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。
除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。
二、考点精讲：
三、首师大真题： （一）欧氏空间
1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ=
（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；
（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2.α的长度，记为α。
3.非零向量的夹角,β规定为(,)
,arccos
,0,ααβαβπαβ
=≤≤
4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令
(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；
（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化
这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,
β2=α2-
11112)
,()
,(ββββα,
β3=α3-11113),(),(ββββα-22223)
,()
,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.
（二）同构
1.实数域R 上欧氏空间V 与'
v 称为同构，如果由V 到'
v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=
（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'
v 的同构映射。
2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。
（三）正交矩阵 1.基本概念
（1）n 级实数矩阵A 称为正交矩阵，如果'A A E =。
（2）欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的
,V αβ∈ 都有(,)(,)A A αβαβ=
2.主要结论
设A 是欧氏空间V 的一个线性变换，于是下面4个命题等价： （1）A 是正交变换；
（2）A 保持向量的长度不变，即对于V α∈，A αα=；
（3）如果1,2,......,n εεε是标准正交基，那么1,2,......,n A A A εεε也是标准正交基； （4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
（四）正交子空间 1.基本概念
（1）设12,V V 是欧氏空间V 中两个子空间。
如果对于任意的12,V V αβ∈∈恒有(,)αβ=0，
则称12,V V 为正交的，记12V V ⊥。
一个向量α，如果对于任意的1V β∈，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间1V 正交，记为1V α⊥。
（2）子空间2V 称为子空间的一个正交补，如果12V V ⊥，并且12V V +=V 。
2.主要结论
（1）如果子空间1,.....,s V V 两两正交，那么和1.....s V V ++是直和。
（2）欧氏空间V 的每一个子空间1V 都有唯一的正交补1V ⊥。
（3）1V ⊥
恰由所有与1V 正交的向量组成。
（五）对称矩阵的性质 1.实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值皆为实数。
（2）设A 是n 级实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
（3）对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使'1T AT T AT -=成对角矩阵。
2.对称矩阵
（1）设A 是欧氏空间V 中的一个线性变换，如果对于任意的,V αβ∈，有
(,)(,)A A αβαβ=则称A 为对称变换。
（2）对称变换的性质
①对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。
②设A 是对称变换，1V 是A-子空间，则1V ⊥也是A-子空间。
③设A 是n 维欧氏空间V 中的对称变换，则V 中存在一组由A 得特征向量构成的标准正交基。
（3）实对称矩阵的对角化
A 是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.
A 的特征值和特征向量有以下特点:
(1) 特征值都是实数.
(2) 对每个特征值λ,其重数=n-r(λE -A ). (3) 属于不同特征值的特征向量互相正交.
于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化. 设A 是实对称矩阵,构造正交矩阵Q (使得Q -1
AQ 是对角矩阵)的步骤: (1)求出A 的特征值;
(2)对每个特征λ,求(λE -A )X =0的单位正交基础解系,合在一起得到A 的n 个单位正交的特征向量;
(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q .
（六）向量到子空间的距离，最小二乘法
1.长度αβ-称为向量α和β的距离，记为(,)d αβ，且 （1）(,)d αβ=(,)d βα
（2）(,)0d αβ≥，当且仅当αβ=时等号成立； （3）(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+ （三角不等式） 2.实系数线性方程组
11122111222222112211
000
n n n n n nn n n n a a x a x b a x a x b a x a x b x a x a x +++-=⎧⎪
+++-=⎪⎨⎪
⎪+++-=⎩
可能无解，即任何一组实数12,,......s x x x 都可能使
211
221
(......)n
i i is s i i a
x a x a x b =+++-∑不
等于零，寻找实数组0
12,,.....,s x x x 使上式最小，这样的0
12,,.....,s x x x 称为方程组的最小二乘解。
3.线性方程组AX=b 的最小二乘解即为满足方程组'
'
A AX Ab =的解0X。