高等代数欧几里得空间知识点总结

第九章 欧几里得空间（ * * * ）

一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。

二、考点精讲：

三、首师大真题： （一）欧氏空间

1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ=

（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；

（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2.α的长度，记为α。

3.非零向量的夹角,β规定为(,)

,arccos

,0,ααβαβπαβ

=≤≤

4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。

5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令

(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。

（1）度量矩阵是正定的；

（2）不同基底的度量矩阵是合同的。

6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 （1）施密特正交化

这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,

β2=α2-

11112)

,()

,(ββββα,

β3=α3-11113),(),(ββββα-22223)

,()

,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.

（二）同构

1.实数域R 上欧氏空间V 与'

v 称为同构，如果由V 到'

v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=

（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'

v 的同构映射。

2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。

（三）正交矩阵 1.基本概念

（1）n 级实数矩阵A 称为正交矩阵，如果'A A E =。

（2）欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的

,V αβ∈ 都有(,)(,)A A αβαβ=

2.主要结论

设A 是欧氏空间V 的一个线性变换，于是下面4个命题等价： （1）A 是正交变换；

（2）A 保持向量的长度不变，即对于V α∈，A αα=；

（3）如果1,2,......,n εεε是标准正交基，那么1,2,......,n A A A εεε也是标准正交基； （4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

（四）正交子空间 1.基本概念

（1）设12,V V 是欧氏空间V 中两个子空间。如果对于任意的12,V V αβ∈∈恒有(,)αβ=0，

则称12,V V 为正交的，记12V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V β∈，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间1V 正交，记为1V α⊥。

（2）子空间2V 称为子空间的一个正交补，如果12V V ⊥，并且12V V +=V 。 2.主要结论

（1）如果子空间1,.....,s V V 两两正交，那么和1.....s V V ++是直和。 （2）欧氏空间V 的每一个子空间1V 都有唯一的正交补1V ⊥

。 （3）1V ⊥

恰由所有与1V 正交的向量组成。

（五）对称矩阵的性质 1.实对称矩阵的性质

（1）实对称矩阵的特征值皆为实数。

（2）设A 是n 级实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交。 （3）对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使'1T AT T AT -=成对角矩阵。 2.对称矩阵

（1）设A 是欧氏空间V 中的一个线性变换，如果对于任意的,V αβ∈，有

(,)(,)A A αβαβ=则称A 为对称变换。

（2）对称变换的性质

①对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。

②设A 是对称变换，1V 是A-子空间，则1V ⊥也是A-子空间。

③设A 是n 维欧氏空间V 中的对称变换，则V 中存在一组由A 得特征向量构成的标准正交基。

（3）实对称矩阵的对角化

A 是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.

A 的特征值和特征向量有以下特点:

(1) 特征值都是实数.

(2) 对每个特征值λ,其重数=n-r(λE -A ). (3) 属于不同特征值的特征向量互相正交.

于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化. 设A 是实对称矩阵,构造正交矩阵Q (使得Q -1

AQ 是对角矩阵)的步骤: (1)求出A 的特征值;

(2)对每个特征λ,求(λE -A )X =0的单位正交基础解系,合在一起得到A 的n 个单位正交的特征向量;

(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q .

（六）向量到子空间的距离，最小二乘法

1.长度αβ-称为向量α和β的距离，记为(,)d αβ，且 （1）(,)d αβ=(,)d βα

（2）(,)0d αβ≥，当且仅当αβ=时等号成立； （3）(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+ （三角不等式） 2.实系数线性方程组

11122111222222112211

000

n n n n n nn n n n a a x a x b a x a x b a x a x b x a x a x +++-=⎧⎪

+++-=⎪⎨⎪

⎪+++-=⎩

可能无解，即任何一组实数12,,......s x x x 都可能使

211

221

(......)n

i i is s i i a

x a x a x b =+++-∑不

等于零，寻找实数组0

12,,.....,s x x x 使上式最小，这样的0

12,,.....,s x x x 称为方程组的最小二乘解。

3.线性方程组AX=b 的最小二乘解即为满足方程组'

'

A AX Ab =的解0X