2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ． 设 函 数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ， 其 中 k 是 一 个 正 整 数 ． 若 对 任 意 实 数 a ， 均 有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ，这 .令 ，则 解答：由题意得 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2
12
ED DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )
1 1 1 , x, y N* ，则集合 M 中的元素个数为（ x y 45
C. 2 D. 3
）.
A. 0 解答：由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 + + ，这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分） 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（
2 2
）.
(2)i (b2 b1 ). 所以
11. 设 a R ，方程 x a a 2 恰有三个不同的根，则 a
.
解答：原方程可变形为 x a a 2 ，要使方程恰有三个不同的根，则 a 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 2, x2 6, x3 2 .所以 a 2.
为 （ A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 4
）.
3 1 2
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．。
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试
nx 2 x
10. （本小题满分 20 分）已知函数 f n( x)
x2
， x1 , x2, 1
, xn 为正实数，且 x1
x2 ...
xn
1，
证明： fn( x1) fn ( x2 ) ... fn ( xn ) 0
（略）
11.（本小题满分 20 分） .
an 1 an 1 ,
已知数列 an , bn 满足 a1 0, b1 0,
(3)
3
现考虑 20*(1) 12*(2) 27*(3) ， 59k 140 a1 a2 a3 ，所以 m 59 k 140
3 k ，即为所求 .
7
两点处的切线交于点 Q ，则点 Q 的轨迹方程是
8．选择集合 S 1,2, , n n N * 的两个不同的非空子集 A 和 B ．
则使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是
设 A 中的最大数为 k，其中 1≤k≤ n 1 , 整数 n≥ 3，
则 A 中必含元素
k，另元素
1， 2，…， k
1可在 A 中，故 A 的个数为：
Ai ,i a3，有 Ai X X 3 2 .
类似地， 在集合 X X 3中依次选定集合 Ai ，使得这些集合的并集 Ai 的元素个数每次递增 2 个，不妨设这些
集合 S2
Aa3 1 , Aa3 2 , , Aa3 a2 全部被选出，则有
S2
X X 3 X 2 ，且 X 2 2a2 ；同理，对于剩下
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.
2
2
9. （本小题满分
16 分） .
已知椭圆
E
:
x a2
y b2
1 的左、右焦点分别为
浙江高三高中数学竞赛测试带答案解析
浙江高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，，则集合（）A．B．C．D．2.若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3.如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．4.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．6.记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2B．C．D．1二、填空题1.数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．2.省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．3.已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________． 4.已知，则的取值范围为__________．5.已知是偶函数，时，(符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．6.已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．7.方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．8.一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．三、解答题1.已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．2.（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，四边形F 1 B 1F 2 B 2的内切圆半径为（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，交直线于点P ，设，，试证为定值，并求出此定值．3.已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．浙江高三高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若集合，，，则集合（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；2.若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；3.如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设 (在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.【考点】正弦定理与倍角公式.5.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6.记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号)故选B．二、填空题1.数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．2.省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．3.已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．4.已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．5.已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．6.已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．7.方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．8.一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题1.已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴ ，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．2.（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，四边形F 1 B 1F 2 B 2的内切圆半径为（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，交直线于点P ，设，，试证为定值，并求出此定值． 【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）设四边形F 1B 1F 2B 2的内切圆与边B 1B 2的切点为G ，连接OG ，则|OG|=由S △OB2F2=|OB 2||OF 2|=|B 2F 2||OG|，|OB 2|=b ， |OF 2|=c ， |B 2F 2|=a ，得bc=a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN 的方程为y=k （x+1）代入椭圆方程，整理得 （3+4k 2）x 2+8k 2x+4（k 2-3）=0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2= ，x 1x 2=又P （-4，-3k ），F 2（-1，0） 由 ， 得，∴∵∴为定值【考点】本题考查椭圆的几何性质 向量共线 点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可3.已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.。
浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷14 含答案
2016年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表题序考查内容分值难易程度1常用逻辑用语集合运算5容易题2函数的基本性质5容易题3三视图，直观图5容易题4三角函数的性质5中档题5平面向量概念及数量积的几何意义5中档题6数列与基本不等式5中档题7立体几何的问题5中等偏难题8函数与方程、函数的零点及不等式5较难题9数列的通项与求和6容易题10三角函数的求值问题6容易题11线性规划6中档题12对数的运算6中档题13平面向量概念及数量积的几何意义4中档题14立体几何的动态问题4较难题15双曲线离心率最值问题4较难题16三角函数的性质与解三角形15容易题17空间中线线、线面垂直的判断及用向量、几何法求面面角15中档题（4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度"的原则．(5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识． （6)体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。
2016年高考模拟试卷数学卷（理科）本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ)卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径；球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径；棱柱体积公式：V Sh =,其中S 为棱柱的底面面积,h 为棱柱的高；棱锥体积公式：13V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积,h 为棱柱的高； 台体的体积公式:()1213V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.(原创) 设全集U ＝R,集合P {2}=>x x ，Q ＝2{20}--<x x x ，则（∁U P ） Q=（ )A ．)21(，-B ．]21(，-C ．)12(，- D ．∅ 2。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−= 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）． 联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷19 含答案
试卷设计说明本试卷设计是在《学科教学指导意见》的基础上，通过对《浙江考试2016第1期增刊高考考试说明》与《2016高考命题解析》的学习与研究，精心编撰形成.注重考查学生的基础知识的同时,注重考查对数学思想方法、数学本质的理解，考查涉及空间想象能力，抽像概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据图表处理能力以及应用意识和创新意识等。
同时也注重学生对通解通法的掌握，不追求解题的技巧.题目基本上追求原创,部分题目进行了改编,每个题目都呈现出编者的意图，说明考查的知识点。
整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致，同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求。
对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查,对相关知识联系设问。
从了解、理解、掌握三个层次要求学生。
对能力考查做到多层次、多方位，选题以能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。
样卷.2016年高考模拟试卷 数学卷（理科)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上． 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高343V R π= 棱锥的体积公式 其中R表示球的半径()1213V h S S =棱锥的体积公式 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高13V Sh =h 表示棱锥的高其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1。
(原创题）在空间直角坐标系xyz O -中,一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2,0），（1，2,1)，（0，2，2），该四面体正视图面积为1S 、侧视图面积为2S 、俯视图面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是( )（A ）231S S S>> （B ）321S S S>> （C ）321S S S== （D ）321S S S >=【命题意图】：考查用平行投影解决三视图的问题，属容易题。
2016年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 3+a 2a 6+2a 23=36，则a 2+a 4的值为.2.设A ={a |−1⩽a ⩽2}，则平面点集B ={(x,y )|x,y ∈A,x +y ⩾0}的面积为.3.已知复数z 满足z 2+2z =z =z (z 表示z 的共轭复数)，则z 的所有可能值的积为.4.已知f (x ),g (x )均为定义在R 上的函数，f (x )的图像关于直线x =1对称，g (x )的图像关于点(1,−2)中心对称，且f (x )+g (x )=9x +x 3+1，则f (2)g (2)的值为.5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为.6.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1:x 2+y 2−a =0关于直线l 对称的圆为C 2:x 2+y 2+2x −2ay +3=0，则直线l 的方程为.7.已知正四棱锥V −ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱V B 的中点，N 是侧棱V D 上的点，满足DN =2V N ，则异面直线AM,BN 所成角的余弦值为.8.设正整数n 满足n ⩽2016，且¶n 2©+¶n 4©+¶n 6©+¶n 12©=3.这样的n 的个数为.这里{x }=x −[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 50,a 51是方程100lg 2x =lg (100x )的两个不同的解.求a 1a 2···a 100的值.10.在△ABC 中，已知# »AB ·# »AC +2# »BA ·# »BC =3# »CA ·# »CB .(1)将BC,CA,AB 的长分别记为a,b,c ，证明：a 2+2b 2=3c 2；2016年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷)(2)求cos C的最小值.11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2−y2=1.求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点(a,0)任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线C交于P,Q两点，l2与C交于R,S两点，则总有|P Q|=|RS|成立.。
2016年高中数学联赛试题答案
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2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
浙江省高中数学竞赛试卷详解
浙江省高中数学竞赛试卷详解一、试卷概述本次浙江省高中数学竞赛旨在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
试卷总分为150分，考试时间为3小时。
二、试题特点1、注重基础：试卷中大部分题目涉及的都是高中数学的基础知识，如代数、几何、概率等。
2、突出能力：部分题目难度较大，需要学生具备一定的数学思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3、实际：试卷中的部分题目与实际问题相结合，考查学生的数学应用能力。
三、详细解析1、选择题部分选择题共10题，每题3分，总计30分。
其中，前8题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第9、10题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例1：设a、b为实数，且满足a + b = 2，则a2 + ab + b2的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：本题考查代数式的求值，需要学生运用基本不等式进行计算。
根据题意，我们有a+b=2，需要求a2+ab+b2的最小值。
利用基本不等式，可以得到a2+ab+b2⩾(a+b)2−ab=4−ab。
又因为ab⩽(2a+b21，所以a2+ab+b2⩾4−1=3。
因此，本题答案为B. 3。
2、填空题部分填空题共5题，每题4分，总计20分。
其中，前3题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第4、5题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例2：设函数f(x) = x2 + ax + b(a、b为实数)，且f(f(f(x))) = x3 + ax2 + bx + 2b。
若f(1) = 1，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 7B. 8C. 9D. 10解析：本题考查函数的求值，需要学生运用函数关系式进行计算。
根据题意，我们有f(1)=1和f(2)=4两个条件。
首先代入函数关系式得到：1+a+b=1①,4+2a+b=4②；然后我们求解这两个方程得到a=0,b=0；最后代入到原函数关系式中得到原函数为f(x)=x2从而计算得到f(3)=9；因此本题答案为C. 9。
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2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()()2220x y a x y++-=表示曲线是三条交于原点的直线．反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =2.函数()234sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）．（A ）2π （B ）2π（C ）23π （D ）π答案：（C ）解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3π2 3.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22222.a c c +=解得1.ca= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）（A （B （C （D 答案：（D ）解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点E ，连接,,EC DE SE ，则DEC ∠为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ．在△SEC中，2SE EC SC ===，所以中线DE =在△DEC 应用余弦定理得cos θ=5.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为（ ）（A ）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）12,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）42,57⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：（D ）解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+，c a b =-，则3422102.5112234353a b c u v v a b u v u ++++==-+-+-----由此即知4312.5227a b a b ++-≤≤+- 6.已知向量,OA OB 垂直，且24.OA OB ==若[]0,1t ∈，则()5112t AB AO BO t BA -+--的最小值为（ ）（A ）（B ）26 （C ） （D ）24 答案：（B ）解：用数形结合方法求解，作正方形OACB ，连对角线AB ，则向量t AB AO -等于向量OD （D 为对角线AB 上一点）．向量()5112BO t BA --等于向量DE （E 为OB 上一点，10EB =）．因为OD DC =，所以 ()51.12t AB AO BO t BA DE DC -+--=+ 由几何意义可知DE DC +的最小值为EC 的值，即等于26.7.设集合()*,|,M x y x y N ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合M 的元素个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3答案：（B ） 解：由=得115=，从而11152255x y =++这样.Q 同理，.Q 所以可设22*5,5,,.x a y b a b N ==∈因此，原式等价于111.3a b -=解得()(),2,6.a b =又(),a b 与(),x y 一一对应，则集合M 中元素的个数为1. 8.记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{},|1S x y x y x y =++-≤，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）． （A ）52 （B ）3 （C ）92（D ）4 答案：（A ）解：当01x y ≤+<时，[]0x y +=，所以[]1x y -≤，即12x y -≤-<； 当12x y ≤+<时，[]1x y +=，所以[]0x y -=，即01x y ≤-<； 当10x y -≤+<时，[]1x y +=-，所以[]0x y -=，即0 1.x y ≤-< 画出满足上述条件的区域，可知集合S 所表示的平面区域的面积为5.2二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则(f = ．答案：36-解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此(()((16161836f f f f ==--=-=-10.已知数列{}{},n n a b 满足：()*11111,2,,23,n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈则20152016b b += ． 答案：201532.-⨯解：由题设递推关系，我们有()211111123222,n n n n n n n n n b b a b b b b b b ++++++++=-+=--=-+从而，()()21212nn n b b b b +++=-+，注意到211238b a b =-=-．我们有20152015201632.b b +=-⨯11.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =12.已知两个底面重合的正四面体A -OBC 和D -OBC ，,M N 分别为△ADC 与△BDC 的重心．记,,OA a OB b OC c ===．若点P 满足,2.OP xa yb zc MP PN =++= 则实数x = ，y = ，z = ． 答案：245,,.999x y z =-== 解 设点A 在面OBC 上的投影为H ，则()()211,323OH OB OC b c =⨯+=+所以 ()()123,23.33AH OH OA b c a AD AH b c a =-=+-==+-又()()211925,329AM AD AC a b c =⨯+=-++所以()125.9OM OA AM b c =+=+ 同理，()()()111+345,339BN BC BD OC OB AD AB a b c ON OB BN =+=--=-++=+ ()1355.9a b c =-++由2MP PN =得，()12.3OP OM ON =+所以 ()1245245,,.9999xa yb zc a b c x y z ++=-++⇒=-==13.在△ABC 中，5,412B C ππ==，AC AC =的中点为D ．若长度为3的线段PQ （P在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为 ．答案：2解：由已知得3A π=，由正弦定理，得 6.BC =过D 作直线DE 平行BC ，交AB 于E 点，则//DE BC ，注意到DE 为△ABC 的中位线，则3DE PQ ==，所以PQDE 为平行四边形，即有.DQ EP =这样问题就转化为在直线BC 上找一点，使AP EP +最小．作A 关于BC 的对称点A '，则()min .AP EP A E '+=注意到sin sin AC CAB B⋅==则22A E AB '== 14.若关于,x y 的方程组33sin sin ,cos cos x m y x m y⎧=⎪⎨=⎪⎩ 有实数解，则正实数m 的取值范围为 ． 答案：[]1,2．解：两式平分后相加，消去x ，得()()[]266222221sin cos 13sin cos 41sin 210,11 2.3m y y m y y y m m =+=-⎛⎫⇒=-∈⇒≤≤ ⎪⎝⎭反之，当12m ≤≤时，也存在()00,x y 满足此方程．因此，正实数m 的取值范围为[]1,2. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则()()22224a b c a b c ++-++的最小值为 ．答案：8. 解：()()()()()22222222224a b ca b c a b b c c a a b c ++-++=-+-+-+++，其最小值为8.三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分） 16.设函数()()()22537,.f x x k ak x a k R =--++∈已知对于任意的[]0,2,k ∈若1,x2x 满足[]1,x k k a ∈+，[]22,4x k a k a ∈++，则()()12,f x f x ≥求正实数a 的最大值．解 由于二次函数()()22537f x x k ak x =--++的对称轴为2532k ak x -+=，故题设条件等价于对任意的[]0,2k ∈，均有2535.22k ak k a -+≥+即对任意的[]0,2k ∈，均有22min23235,5,11k k k k a a k k ⎛⎫-+-+≤≤ ⎪++⎝⎭注意到()22361444,11k k k k k -+=++-≥=++当且仅当1k=时取等号，故2min23 4.1k k k ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭所以，正实数a 17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为35．过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,.k k （1）求椭圆的标准方程； （2）若120k k +=，求实数.k 解 （1）由题设条件，得2222222925691,25,16.925a b a b a b a -+==⇒== 所以椭圆方程为221.2516x y += （2）椭圆的右焦点坐标为()3,0. 若0k =时，()()5,0,5,0,A B -则1228,,55k k ==-此时120k k +≠．故0.k ≠ 直线l 的方程为()3.y k x =-和椭圆方程联立，并消去y ，得()222216251502254000.k xk x k +-+-=设()()1122,,,A x y B x y ，则由韦达定理，得22121222150225400,.16251625k k x x x x k k-+==++ 注意到()()11223,3,y k x y k x =-=-可得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1212211212121221121212122121616516351635533533531635316353310331665331536256030.55162533y y y x y x k k x x x x k x x k x x x x k x x x x x x k k k x x ----+--+=+=-------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-----+-=---==⇒=+--18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且()100,0.n n n y z z z --==证 我们只需证明对任意的正整数n ，满足()110,0,0,0,0n n n n n n n n n x y z y z z y z z z --=-⎧⎪-=⎪⎨≥⎪⎪-≥=⎩ ① 的(),n n y z 存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．（1）当1n =时，()110110y z z y z -==，这样有1110,y z x ==-或者111,0.y x z == 若10,x ≥则111,0y x z ==．若10x <，则1110,y z x ==-．此时命题成立． （2）假设当()1n k k =≥时，命题成立，则当1n k =+时，①等价于()()11111110,0,0,0,0k k k k k k k k k k ky z z x z y z z y z z z +++++++--=+⎧⎪-=⎪⎨≥⎪⎪-≥=⎩ 这样有()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+或111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=进一步若10k k x z ++≥，则111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=即111,.k k k k k y x z z z +++=+= 若10k k x z ++<，则()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+，即1110,.k k k y z x +++==- 故当1n k =+时，命题成立．（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数n ，命题均成立．从而原命题得证． 四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合{}*|2,0,1,6.A x N x =∈的十进制表示中数码不含证明：13.x A x∈<∑ （注：1x Ax ∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和） 证 在k 位正整数中，各位上的数码不含数字2,0,1,6的共有6k个，其中首位数字为3,4,5,7,8,9的各有16k -个，所以，所有不含数字2,0,1,6的k 位数的倒数和小于111111111111116666663104105107108109106111111,10345789k k k k k k k k k k k k k k --------------+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭所以，11116111111103457891111111 3.6345789110k k x A k x -∞-∈=⎛⎫<+++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++++< ⎪⎝⎭-∑∑20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．解 对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为,P Q 如下图所示．记P R =（或Y ），Q B =时的着色数目为n a ；记,P B =Q R =（或Y ）时的者色数目为n b ； 我们注意到：（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则13.n n n n a b c -++=（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色R 和Y 互换，可知.n n a b =（3）考虑相互的递推特征，则112.n n n a b c --=+由上三式知，21111123.n n n n n n n a b c a b c ------=+=++=即为问题所求的不同的染色方法数．。