(完整word版)高二数学选修2-1测试题及答案
高中数学人教A版【精品习题】(选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.3 Word含答案
§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p∨q”为真，“綈q”为假- 1 -B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1- 1 -。
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。
2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习2-1-1 Word版含答案
选修2-2 2.1.1一、选择题1．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.2．(2010·山东卷文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 [答案] B5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14； (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对 [答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大[答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．7．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1 D ．2sin θ2n [答案] B [解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cos θ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B. 8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.9．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第六个三角形数为7×(7＋1)2＝28.故选B. 10．已知f (x )是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若f (1)＝2，则f(2005)等于()A．2005 B．2C．1 D．0[答案] B[解析]f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x)的最小正周期为6.所以f(2005)＝f(1＋334×6)＝f(1)＝2.故选B.二、填空题11．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．[答案]18[解析]V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.12．观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝________.[答案]24n－1＋(－1)n22n－1[解析]由归纳推理，观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n－1；第二项的指数1,3,5,7，…，通项为2n－1.故得结论24n－1＋(－1)n22n－1.13．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．[答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行从左到右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 14．(2010·湖南理，15)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.[答案] 2 n 2[解析] 因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3.所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16.猜想((a n )*)*＝n 2.三、解答题15．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立， 在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立， 在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)． 16．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，n ∈N ＋，猜想数列的通项公式并证明． [解析] {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)． 17．如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解析] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP⇒PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1，S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本题可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3， a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4， …，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ； 第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…， a m 1＋a m 2＋…＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a1、a2、…、a n∈R＋，m、n∈N*.。
高二数学选修2-1综合测试题(带答案)
高二数学选修2-1测试题(120分钟150分)班级姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m∥β且n∥l2【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. “1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【变式训练】若双曲线C：x 2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.5.已知命题p：∀x∈R，x ≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.在四边形ABCD中，“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是( )A. B.C.[-1，0]D.12.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.15.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .16.曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a ≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围. 18.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值. 21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(12分)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.高二数学选修2-1测试题答案一、选择题1、【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此真命题的个数是2.2.【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b 3⇒a>b>0故③错故选A.3. 【解析】选 B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x 2+y2=1，它表示一个圆.4【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6. 【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，CN=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y 轴的距离等于4.8. 【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC ，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R ，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9. 【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n ，>===-1.所以<n ，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10. 【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11. 【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1) =(-x，1-y，0)所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值范围是.12. 【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题13.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y. 答案：x2=4y或x2=-20y 14.【解析】由条件知PC，AC，BC 两两垂直，设=a ，=b ，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a |=||=8cos60°=4，|b |=||=8sin60°=4，|c |=||=4.设=x=x(b -a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x) 2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min =2. 答案：215. 【解析】因为BG=2GD ，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b +(a+c-2b)=a -b +c.答案：a -b +c16.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题17.【解析】当p真时，0<a<1，当q 真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a ≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a ≤；当p假q真时，a>1. 综上a 的取值范围为∪(1，+∞). 18.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a ，=b ，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n ·=0，n ·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1). 又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m ，>===-，从而sin<m ，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B 1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G ，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。
高二数学 人教版选修2-1习题 综合素质检测1、2 Word版含答案
第一、二章综合素质检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“△ABC 是等腰直角三角形”的形式是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．¬pD ．以上都不对[答案] B[解析] △ABC 是等腰直角三角形是由△ABC 是等腰三角形与△ABC 是直角三角形用“且”联结而成，是p ∧q 命题．2．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.3．若抛物线y 2＝8x 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离为3，则|y 0|等于( )A.2 B ．22 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 过点P 作抛物线的准线l 的垂线，P 1为垂足，则|PF |＝|PP 1|＝x 0＋p2＝x 0＋2＝3，所以x 0＝1，于是|y 0|＝22x 0＝2 2.4．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题 C ．¬p 为假命题D ．¬q 为假命题[答案] B[解析] 当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0－x ＋2，x >0，所以“p 或q ”是假命题，选B.5．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 原命题和它的逆否命题为真．6．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈(12，1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(43，＋∞)C ．(0，34)∪(43，＋∞)D ．(34，1)∪(1，43)[答案] C[解析] 椭圆x 2＋my 2＝1的标准方程为x 2＋y 21m＝1.12<e <1，即0<b 2a 2<34.当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m ，m >43；当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝1，则0<m <34.所以实数m的取值范围是0<m <34或m >43.7．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么( ) A ．“¬p ”是假命题 B ．q 是真命题 C ．“p 或q ”为假命题 D ．“p 且q ”为真命题[答案] C[解析] 因为x 2＋1<2x ，即x 2－2x ＋1<0，也即(x －1)2<0，所以命题p 为假；若mx 2－mx－1<0恒成立，则必须m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0，则－4<m ≤0，所以命题q 为假，故选C.8．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1 [答案] A[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13，又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1同焦点，∴c 2＝5，又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，∴曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.9．如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2 B ． 3 C.32 D ．62[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，① 并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，②由①②知12－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|，∴|BF 1|·|BF 2|＝6－2a 2.下面求|BF 1|·|BF 2|的值．在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16， 又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12， ∴|BF 1|·|BF 2|＝2，因此有c 2－a 2＝1， ∵c 2＝3，∴a 2＝2，∴C 2的离心率e ＝c a ＝62.10．下列说法不正确的是( )A ．“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题C ．“∃a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1、x 2满足x 1<1<x 2”和“函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2B ＋sin 2C <sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 [答案] C[解析] 因为2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1、x 2，∴函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上单调增为假，满足x 1<1<x 2的充要条件是2＋1＋a <0，∴a <－3，当a <－3时，函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上无意义．∴“∃a ∈R 使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2”为真，故选C. 11．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋42C ．213D ．4＋2 5[答案] C[解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，由已知得－x 1＋2＝|AF |＝4，则x 1＝－2，y 21＝－8x 1＝16，取y 1＝4，得A (－2，4)．设点O 关于准线x ＝2的对称点为B ，则B (4,0)，连接AB 交准线于一点，则该点就是满足要求的使|P A |＋|PO |取得最小值的点P ，此时|AB |＝213，即|P A |＋|PO |的最小值为213.12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D ．x 25－y 24＝1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以b 2＝54a 2，代入a 2＋b 2＝9得，a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是____________________________________.[答案] 若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0. 14．过点P (0,4)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有________条.[答案] 3[解析] 作出抛物线y 2＝2x 的图形如图，可以看出点P 在y 轴上，由图中看出过点P 有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y 轴(斜率不存在的切线)，过点P 与x 轴平行的直线以及过点P 与抛物线相切的斜率存在一条直线．15．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________.[答案] (－∞，－2]∪[－1,3)[解析] 对于方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不等正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0－2m >0，∴m <－1， 方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根， Δ＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，∴－2<m <3，若p 真q 假，则m ≤－2；若p 假q 真，则－1≤m <3.16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.[答案] 2[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)判断下列命题的真假：(1)“若自然数a 能被6整除，则a 能被2整除”的逆命题； (2)“若0<x <5，则|x －2|<3”的否命题及逆否命题；(3)命题“若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)·x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a ∈(－2,2)”及其逆命题．[解析] (1)逆命题：若自然数a 能被2整除，则a 能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．(2)否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.否命题为假．反例：x ＝－12≤0，但|－12－2|＝52<3.逆否命题：若|x －2|≥3，则x ≤0或x ≥5.逆否命题为真，|x －2|≥3⇒x ≥5或x ≤－1.(3)原命题为假．因为(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，当a ＝2时，变为－4<0，也满足条件．逆命题：若a ∈(－2，2)，则不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立．逆命题为真，因为当a ∈(－2,2)时，Δ<0，且a －2<0.18．(本小题满分12分)已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6，0).(1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′、F ′1、F ′2，求以F ′1、F ′2为焦点过点P ′的双曲线的标准方程．[解析] (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝6,2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋(－1)2＋22＝65，所以a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝45－36＝9.故所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2,5)、F ′1(0，－6)、F ′2(0,6)．设所求双曲线的标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知，c 1＝6,2a 1＝||P ′F ′1|－|P ′F ′2||＝|22＋112－22＋(－1)2|＝45，所以a 1＝25，b 21＝c 21－a 21＝36－20＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.19．(本小题满分12分)已知a >0设命题p ：函数y ＝(1a )x 为增函数．命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的范围.[解析] 当y ＝(1a)x 为增函数，得0<a <1.当x ∈[12，2]时，因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2.当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立．得2>1a 解得a >12.如果p 真且q 假，则0<a ≤12；如果p 假且q 真，则a ≥1.所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．21．(本小题满分12分)若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围.[解析] 因为F (－2,0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 22．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．[解析] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2， 因此a ＝2，c ＝2， 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0， 故d ＝|2x 0＋2y 20x 0|x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝|4＋x 20x 0|x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．。
高二数学选修2-1测试试题及答案
高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。
人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确； 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0； 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤． 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题， 故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直， 得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠， 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠． 而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=， 故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
高二理科数学选修2-1期末试卷及答案
高二年级理科数学选修2-1期末试卷（测试时间：120分钟 满分150分）注意事项：答题前；考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时；答案写在答题纸上对应题目的空格内；答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后；上交答题纸． 一、选择题（每小题5 分；共12小题；满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使；其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a ； 0） （B ）(－a ； 0) （C ）（0； a ） （D ）（0； －a ） 3. 设a R ∈；则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3；3；2）；B （4；－3；7）；C （0；5；1）；则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底；那么b a ,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点；且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底；则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量c b a ,,是空间的一个基底；则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③6. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中；M 为11C A 与11D B 的交点。
若a AB =；b AD =；c AA =1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）（A ） c b a ++-2121 （B ）c b a ++2121 （C ）c b a +--2121 （D ）c b a +-21217. 已知△ABC 的周长为20；且顶点B (0；－4)；C (0；4)；则顶点A 的轨迹方程是 （ ）（A ）1203622=+y x （x ≠0） （B ）1362022=+y x （x ≠0）（C ）120622=+y x （x ≠0） （D ）162022=+y x （x ≠0）8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1； y 1）B （x 2； y 2）两点；如果21x x +=6；C1那么AB ＝ （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）109. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点；那么k 的取值范围是 （ ）（A ）（315,315-）（B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,315--） x y 42-=上求一点P ；使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小；则该点坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；如果AB=BC=1；AA 1=2；那么A 到直线A 1C 的距离为 （ ）（A （B ） （C （D ）F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点；过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点；若△ABF 2为正三角形；则该椭圆的离心率e 为 （ ）（A ）12 （B ）（C ）13（D二、填空题（每小题4分；共4小题；满分16分）A （1；－2；11）、B （4；2；3）、C （x ；y ；15）三点共线；则x y =___________。
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
第二章 2.4 2.4.1一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线[答案] D[解析] 如图，设点P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，因此选D.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32 C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] ∵点P 到y 轴的距离为6，∴点P 到抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2的距离d ＝6＋2＝8， 根据抛物线的定义知点P 到抛物线焦点的距离为8. 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.[答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． 又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)， 又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ， 得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.4．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522 B ．522＋1 C.522－2D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.二、填空题5．已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物于点B ，过B 点作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.[答案]2[解析] 由抛物线的定义可得BM ＝BF ，F (P2，0)，又AM ⊥MF ，故点B 为线段F A 中点，即B (p 4，1)，所以1＝2p ×p4⇒p ＝ 2.6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称．点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0＝________.[答案] 1＋ 2[解析] ∵点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称，∴B (1,0)，根据题意，得y 20x 20－1＝2，又y 20＝4x 0，∴2x 0＝x 20－1，即x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x 0＝1＋ 2. 三、解答题7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .8．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得 0．82＝－ay ， 即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。
高二数学人教A版选修2-1(第3.2 立体几何中的向量方法) Word版含解析
绝密★启用前人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则 ( )A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直2．【题文】已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是（ ） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．13．【题文】已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（ ）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（ ）A ．14B ．13C ．23D ．115．【题文】长方体1111ABCD A BC D -中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010B.3010 C. 21510D.310106．【题文】在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11A C D 间的 距离为（ ）A ．63B ．33 C ．332 D ．237．【题文】如图，在四面体OABC 中，G 是底面△ABC 的重心，则OG 等于（）GCABOA.OC OB OA ++B.111222OA OB OC ++C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++8．【题文】在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值 （）A ．32 B ．37C ．23D ．73二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是______．三、解答题12．【题文】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上异于A 、B 的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A --的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)若AB ＝BB 1＝2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面A B C D为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =. (1)求二面角1E AC D --的大小；(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由.人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】A【解析】∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】|a |＝2222+4+6x =，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，又u ，分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，故选B. 考点：空间向量在解决空间垂直中的应用. 【题型】选择题【难度】较易 4． 【答案】B【解析】因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，22202313∴=++=OB ．故选B ． 考点：空间中两点间的距离． 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A (1, 0, 0)，E (0, 2, 1)，B (1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)，则1BC ＝(－1, 0, 2)，AE ＝(－1，2, 1)．cos 〈1BC ，AE 〉＝11AE BC AE BC ⋅⋅＝3010. 所以异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为3010.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法. 【题型】选择题 【难度】较易 6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,11,0,10,,,10,1,10x y x y ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩()1,1,1,1,1,x n y =⎧⇒∴=⎨=⎩又(1,0,0)AD =-，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离()()2221,0,01,1,133111AD n d n⋅-⋅===++，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法. 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】由题意知，()()11=+=+=33OG OA AG OA AC AB OA OC OA OB OA ++-+- =111333OA OB OC ++，故选D. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ，则）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，则）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴⊥GE 平面ABD ，∴0=⋅BD GE ，解得2=a ．∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量．32323634||||,cos 111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角的余弦值为37，故选B.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】66【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 2)，B (0, 1, 0)，A (1, 0, 0)，C (0, 0, 0)，则1A B ＝(－1, 1，－2)，AC ＝(－1, 0, 0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A B AC⋅⋅＝1114++＝66. 考点：异面直线夹角的向量求法. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a ，由已知可得正四棱锥的高为62a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，D 2,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P 60,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,44a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则DM ＝226,,244a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 〈DM ，n 〉＝n DM n DM⋅⋅＝22，所以DM 与平面PAC 所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】填空题 【难度】一般 11． 【答案】平行【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M 2(,,)33a a a ，N 22(,,)33a a a ，∴MN ＝2(,0,)33a a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴11C D ＝(0，a,0)，∴MN ·11C D ＝0，∴MN ⊥11C D .∵11C D 是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .考点：向量法求线面关系. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）见解析（2）64【解析】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)，故CB ＝(3，0,0)，CP ＝(0,1,1)，设平面BCP 的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)，则110,0,n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＋＝，令y 1＝1，则1n ＝(0,1，－1)．AP ＝(0,0,1)，AB ＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2)，则220,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩-＝，＝，令x 2＝1，则2n ＝(1，3，0)．于是cos 〈1n ，2n 〉＝322＝64.由题意可知二面角C PB A --的余弦值为64. 考点：空间二面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】（1）见解析（2）23535【解析】(1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，则O 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在△A 1BC 中，OD ∥A 1B ，因为A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1. (2)因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -.由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0, 0)，A 1(3，0, 2)，C 1(0，-1, 2)，则DA ＝(3，0, 0)，1DC ＝(0，-1，2)，设平面AC 1D 的法向量为＝(x ，y ，z )，则10,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z ＝1，则x ＝0，y ＝2，∴＝(0,2,1)， 又1DA ＝(3，0,2)，∴cos 〈1DA ，〉＝257⋅＝23535，设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1DA ，〉|＝23535， 故A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为23535.考点：线面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）45︒（2）存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE = 【解析】(1)设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --- (0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1D AC ，111,D E AC D E D A ∴⊥⊥,220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E .1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =， 则,,m CA m AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,330,x x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1z =-，则0,3x y ==，()0,3,1m ∴=-. 又平面1D AC 的一个法向量为()10,2,1D E =，1112cos ,==2m D E m D E m D E⋅∴⋅， ∴二面角1E AC D --大小为45.(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ 111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==--+=-++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-⨯+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =考点：空间向量法求二面角. 【题型】解答题 【难度】一般。
(完整版)数学选修2-1测试题(含答案)
数学选修2-1 综合测评时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，故选C. 答案：C2．若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥αB ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β且l ∥m解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确． 答案：C4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.答案：D5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )A.32B.12C.32D.34解析：菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.答案：B6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3. 答案：A7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34解析：取DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→·n ||n |＝43. 答案：C8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．解析：由OP →·OA →＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝013．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →＝1×2×cos45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝11×6＝66. 答案：6614．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.∴e ＝c a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.16．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)>0，m 2<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在．17．(13分)已知点P (1,3)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝92过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－322，点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线PF 与圆相切．(1)求m 的值与抛物线的方程；(2)设点B (2,5)，点Q 为抛物线上的一个动点，求BP →·BQ →的取值范围．解：(1)把点A 代入圆C 的方程，得(1－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222＝92，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝92. 当直线PF 的斜率不存在时，不合题意．当直线PF 的斜率存在时，设为k ，则PF ：y ＝k (x －1)＋3，即kx －y －k ＋3＝0.∵直线PF 与圆C 相切， ∴|k －0－k ＋3|k 2＋1＝322. 解得k ＝1或k ＝－1.当k ＝1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去． 当k ＝－1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，∴p 2＝4.∴抛物线方程为y 2＝16x .(2)BP →＝(－1，－2)，设Q (x ，y )，BQ →＝(x －2，y －5)，则BP →·BQ →＝－(x －2)＋(－2)(y －5)＝－x －2y ＋12＝－y 216－2y ＋12＝－116(y ＋16)2＋28≤28.∴BP →·BQ →的取值范围为(－∞，28]．18．(13分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C －AD －E 的余弦值．解：①(1)证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O －xyz .设A (0,0，t )．由已知条件知C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图②所示．②设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0，故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°. 由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223，33，GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－223，－33， GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C －AD －E 的平面角．故二面角C －AD －E 的余弦值cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案
第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)[答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6，解得a >3或－6<a <－2，故选D.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12 B ．13 C.14 D.22[答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故选B.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.5．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.33 D ．22[答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 6．已知A ＝{1,2,4,5}，a 、b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为( )A.34 B ．38 C.316 D ．12[答案] B[解析] ∵a 、b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个．由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2、4、5；a ＝2时，b ＝4、5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38.二、填空题7．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________. [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4. 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.[解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)、F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)、A 2(1,0)、B 1(0，－12)、B 2(0，12)．10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.[解析] 解法一：设焦点坐标为F 1(－c ，0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2,3b ＝2a .∴b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53.一、选择题1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8、6B ．4、3C ．2、3D ．4、2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.2．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[答案] B[解析] 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12 D ．5－2 [答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. 4．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 椭圆的方程mx 2＋y 2＝1化为标准方程为x 21m ＋y 2＝1，由题意得，a 2＝1，b 2＝1m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，∴离心率e ＝ca ＝1－1m ＝32，∴m ＝4. 二、填空题5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________.[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6c ＝33. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.6．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3∴S ＝12×3×2＝3.三、解答题7．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋62＝x y 0＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．[解析] (1)由题意得：⎩⎨⎧e ＝c a ＝22a 2＝b 2＋c2S ＝12×(2a )×(2b )＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2b ＝2c ＝2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.。
郑州市11-12高二上期期末数学(理科)试题(必修5+选修2-1)(含答案)(word典藏版)
郑州市2011-2012高二上期期末理科数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“0>∃x ，032≤+x ”的否定是A ．0>∃x ，032≤+xB ．0>∀x ，032>+xC ．0>∃x ，032>+xD ．0>∀x ，032≤+x2．若数列的前4项分别是51,41,31,21--，则此数列的一个通项公式为A ．n n 1)1(--B ．n n )1(-C ．1)1(1+--n nD ．1)1(+-n n3．如果0<a ，01<<-b ，那么下列不等式成立的是A ．2ab ab a >> B ．a ab ab >>2C ．2ab a ab >> D ．a ab ab >>24．在ABC ∆中，若3:2:1::=C B A ，则c b a ::等于A ．3:2:1B ．1:2:3C ．1:3:2D ．2:3:15．平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：||||PB PA +是定值；命题乙是：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．那么甲是乙成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 6．抛物线x y 22=的焦点坐标为A ．)0,21(B ．)21,0(C ．)41,0(D ．)0,41(7．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为23，则双曲线12222=-b y a x （和椭圆中的a 、b 相同）的离心率为A ．23 B ．25 C ．1 D ．21 8．在ABC ∆中，满足B b A a cos cos =，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是 DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．则1AB 与1D E所成的角的余弦值为ABCD10．在ABC ∆中，若,,a b c 成等比数列且2c a =，则cos B =A ．14B ．34CD11．已知各项均为正数的等比数列}{n a 满足7652a a a =+，若存在两项,(,*)m n a a m n N ∈使14a =，则14m n+的最小值为A ．2B ．53C ．256D ．3212．设集合{(,)|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．已知(2,1,3),(4,1,)a b x =-=-，且a b ⊥ ，则x = ．14．命题“2,230x R x ax ∀∈-+>”是真命题，实数a 的取值范围是 ．15．三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列，且22,1,a b 依次成等比数列，则11a b+= ． 16．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.1.1 Word版含答案
第一章常用逻辑用语§ 1.1命题及其关系1.1.1命题【课时目标】 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．二、填空题7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是____________________，结论q 是_ _______________________________________________________________________．9．下列语句是命题的是________．①求证3是无理数；②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0.三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ；(2)对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．11．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．12．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【能力提升】13．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1； ③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．314．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．课时作业答案解析第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1 命题知识梳理1．真假 陈述句 真 假2．条件 结论作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．∵m >1⇒Δ＝4－4m <0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆． 11．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题． 12．解 若命题p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2. 故m 的取值范围是1<m <2.13．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确． ③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．] 14．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。
高中数学选修2-1全册综合测试题含答案
选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。
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选修2－1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“若A B =，则cos cos A B =”的否命题是A. 若A B =，则cos cos A B ≠B. 若cos cos A B =，则A B =C. 若cos cos A B ≠，则A B ≠D. 若A B ≠，则cos cos A B ≠ 2. “直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内无数条直线都平行”的A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件 3. 已知命题p ：23<，q ：23>，对由p 、q 构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“⌝p ”形式的命题，给出以下判断：①“p 或q ”为真命题； ②“p 或q ”为假命题； ③“p 且q ”为真命题； ④“p 且q ”为假命题； ⑤“⌝p ”为真命题； ⑥“⌝p ”为假命题. 其中正确的判断是A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤ 4.“56απ=”是“221cos sin 2αα-=”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.若方程22113x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是 A.1k < B. 13k << C. 3k > D. 1k <或3k > 6. 抛物线22y x =的焦点坐标是A. 108（，）B. 104（，）C. 1,08（）D. 1,04（）7. 以下给出了三个判断，其中正确判断的个数为.(1) 向量(3,2,1)a =-r与向量(3,2,1)b =--r 平行 (2) 向量(3,6,4)a =-r与向量(0,2,3)b =-r 垂直（3）向量(1,2,0)a =-r与向量1(,1,0)2b =-r 平行A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“2b ac =”是“b 为a 、c 的等比中项”的充分不必要条件； （2）“a b >”是“22a b >”的充要条件；（3）“A B =”是“tan tan A B =”的充分不必要条件； （4）“a b +是偶数”是“a 、b 都是偶数”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.抛物线21,(0)y x a a=->的准线方程是 A. 4a y =B. 4y a =-C. 4ay =- D. 4y a = 10.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于7的点的横坐标是A. 6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高二理科数学选修2-1全册综合测试卷 含答案
选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( )A ．(116，0)B ．(－116，0) C ．(0,1)D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－3,0)C ．(－12,0)D ．(－60，－12) 5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( ) ①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1.A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件． 答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)． 答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k4<4. ∴4<4－k <16，∴－12<k <0. 答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确． 答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12. 答案 A8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p2， 由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知， 3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4. 答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a3. 又|PF 2|≥c －a ，即2a3≥c －a . ∴c a ≤53.即e ≤53. 答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)． BC 1→＝(2,0,2)， ∴cos 〈EF →·BC 1→〉 ＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°. 答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12.答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1.答案 0≤a ≤1 15．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0， ∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， ∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在．若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R . 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1.①因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1， 代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.②又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．①由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧ n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为105.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3，3即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为33.。
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姓名：___________班级：___________一、选择题1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题3．1F , 2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆4． 双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±= 5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，，则双曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( ) A1 B 1 D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．38．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0B ．2πC ．πD ．32π (0F 12212x y -=2212y x -=221x =221y -=10．与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 11．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A.22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 12．若直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 二、填空题13．直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为_______________.14．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ．15．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ． 三、解答题17．求过点(－1，6)与圆x 2+y 2+6x －4y+9=0相切的直线方程．18．求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。
19．求与x 轴相切，圆心C 在直线3x －y ＝0上，且截直线x －y ＝0得的弦长为27的圆的方程．20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．21．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为62，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点P （0，1），且PA =PB ，求直线l 的方程．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，,E F 分别是,AB PB 的中点．(1)求证：EF CD ⊥；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论；(3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．参考答案1．B 【解析】试题分析： 2320(1)(2)0x x x x -+≠⇒--≠，则1x ≠且2x ≠；反之，1x ≠且2x =时，2320x x -+=，故选B.考点：充要条件的判断. 2．C 【解析】试题分析：当p 、q 都是真命题p q ⇔Λ是真命题，其逆否命题为： p q Λ是假命题⇔p 、q 至少有一个是假命题，可得C 正确.考点： 命题真假的判断. 3．C 【解析】解题分析：因为1F , 2F 是距离为6，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,所以M 点的轨迹是线段12F F 。
故选C 。
考点：主要考查椭圆的定义。
点评：学习中应熟读定义，关注细节。
4．C【解析】因为双曲线221169x y -=，a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为x y 43±=,选C.5．A【解析】试题分析：由焦点为，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c，所以，a－）＝1，所以，b =，所以，双曲线方程为：.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 6．A 【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长为1，则根据题意知，121,,2c c =∴=21a =+ (0F 112212x y -=12a ∴=11.2== 考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.点评：求椭圆的离心率关键是求出ca，而不必分别求出,.a c 7．A 【解析】试题分析：因为椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，所以0a >，且椭圆的焦点应该在x 轴上，所以242,2, 1.a a a a -=+∴=-=或因为0a >，所以 1.a = 考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用. 点评：椭圆中222c a b =-，而在双曲线中222.c a b =+ 8．B【解析】试题分析：设所求的双曲线方程为224y x λ-=，因为过点（2,2），代入可得3λ=-，所以所求双曲线方程为112322=-y x . 考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.点评：与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线的方程设为224y x λ-=是简化运算的关键. 9．C【解析】试题分析： 应用向量的夹角公式||||cos b a ⋅=θ=－1．所以量,OA OB u u u r u u u r与的夹角是π，故选C 。
考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
10．C ； 【解析】试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．也可直接运用坐标运算。
经计算选C 。
考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
11．B 【解析】试题分析：因圆心在直线0=+y x 上，而点（1，1）和点（-1，-1）不在直线上，故C 、D 错；又直线0=-y x 及04=--y x 平行，且都与圆相切，故圆心在第四象限，故A 错，选B.或用直接法求解亦可.考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系. 12．C 【解析】试题分析：根据题意，由于直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则圆心（0,0）到直线x+y=mm 的值为2，故答案为C. 考点：直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
13．【解析】试题分析：由弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形，应用勾股定理得，直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为= 考点：直线与圆的位置关系点评：简单题，研究直线与圆的位置关系问题，要注意利用数形结合思想，充分借助于“特征直角三角形”，应用勾股定理。
14．e =【解析】试题分析：抛物线的焦点为(3,0)F ,椭圆的方程为：22133x y k += 3394k k -=⇒=,所以离心率2e ==. 考点：1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率. 15．11(3,)(,2)22---U 【解析】试题分析：方程12322=-++k yk x 表示椭圆，需要满足302032k k k k+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得k 的取值范围为11(3,)(,2)22---U .考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力. 点评：解决本小题时，不要忘记32k k +≠-，否则就表示圆了. 16【解析】试题分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =u u u u r，1(2,0,2)C B =u u u u r ，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=r ，则1100n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--r ，又11(0,2,0)D C =u u u u u r，11D C n n ⋅∴==u u u u u r rr ，所以异面直线1D E 和1BC考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 17．3x －4y+27=0或x=－1. 【解析】试题分析：圆x 2+y 2+6x －4y+9=0，即22(3)(2)4x y ++-=。
点(－1，6)在圆x 2+y 2+6x－4y+9=0外，所以，过点(－1，6)与圆x 2+y 2+6x －4y+9=0相切的直线有两条。
当切线的斜率不存在时，x=－1符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为6(1)y k x -=+，即60kx y k -++=。
由圆心（－3，2）到切线距离等于半径22=，解得，k=34， 所以，切线方程为3x －4y+27=0。
综上知，答案为3x －4y+27=0或x=－1. 考点：直线与圆的位置关系点评：中档题，研究直线与圆的位置关系问题，利用“代数法”，须研究方程组解的情况；利用“几何法”，则要研究圆心到直线的距离与半径比较。
本题易错，忽视斜率不存在的情况。