2018届高三数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量及其运算课件理

共面向量 平行于同一个⑧ 平面 的向量
a∥b
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ,使得⑨ b=λa . 推论 如图所示,点P在l上的充要条件是
O P = O A +ta(O为空间上任意一点). (*)

A B =a,则(*)可化为 AB O P = O A +t 其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取


BC =-a+b+

(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面. 其中不正确的命题是 .
答案 ②③④
解析 ①正确;对于②,|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充分不必要条件;对于 ③,a与b所在的直线可能是同一条直线;对于④,必须满足x+y+z=1,故④ 错.
考点突破
考点一 空间向量的线性运算
理数
课标版
第五节
空间向量及其运算
教材研读
1.空间向量的有关概念
名称 零向量 概念 模为① 0 的向量 表示 0
单位向量 长度(模)为② 1 的向量 相等向量 方向③ 相同 且模④ 相等 的向量 相反向量 方向⑤ 相反 且模⑥ 相等 的向量 a =b a的相反向量为-a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相⑦ 平行或重合 的向量
1

1

1

1
2
2
2
5.下列命题:
A B + D A =0; B C + C D + ①若A、B、C、D是空间任意四点,则有




②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件; ③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
O P =x O A +y O B +z OC ④对于空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若
1

解析 (1)∵P是C1D1的中点,
A P = ∴ A A + A D + D P
1 1 1 1




A D + D C =a+

1
1
2
1
A B =a+c+ =a+c+ b.
1

1
2
2
(2)∵N是BC的中点,
A B + A N = A A + BN ∴
1 1
A E = A A +x A B 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若
1
பைடு நூலகம்


A D ,则x,y的值分别为 ( +y

)
A.x=1,y=1 C.x= ,y=
2 2 1 1
B.x=1,y=
2
1
D.x= ,y=1
2

1
A E = A B + A D ,故x=y= A A + 答案 C 易求 .
分配律:a· (b+c)=
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a=λb(b≠0,λ∈R) a· b=0(a≠0,b≠0) |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
典例1 (2017四川内江六中期末)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中,设 A B =b, A D =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c A A =a,
1

表示以下各向量: (1) AP ; (2) A N ;
1

M P + NC . (3)
1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是 ( A.2,
2 1
)
B.- ,
3 2
1 1
C.-3,2
D.2,2
答案 A ∵a∥b,∴b=ka(k∈R),即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴
6 k ( λ 1) , λ 2, λ 3, 2 μ 1 0 , 解得 1 或 1 μ μ . 2 λ 2k, 2 2




O A +t OB O P =⑩ (1-t) 或 .


(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p=

xa+yb ,其中x,y∈R,a,b为不共线

M P =x M A +y M B 或对空间任意一点O,有 向量,推论的表达式为 OP =
M A +y MB O M +x
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 (i)两向量的夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 O A =a, O B =b,则∠AOB叫做
向量a与b的夹角,记作 b>= ,则称a与b
2
<a,b> ,其范围是
0≤<a,b>≤π ,若<a,

互相垂直 ,记作a⊥b.
2
a1 a 2 a 3
2
2
cos<a,b>=
2
a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3
2 2
a1 a 2 a 3
b1 b 2 b 3
2
2
2
5.两个重要向量
(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.


或 O P = u O M +v O A +wO B ,其中u+v+w=




1 .
(3)空间向量基本定理
如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任意一向量,那么存
在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a= 这个空间的一个基底. λ1e1+λ2e2+λ3e3 ,其中{e1,e2,e3}叫做
(ii)两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则 积,记作 a· b ,即a· b= λ(a· b) ; b· a ; a· b+a· c . |a||b|cos<a,b> 叫做向量a,b的数量
|a||b|cos<a,b> .
(2)空间向量数量积的运算律 结合律:(λa)· b= 交换律:a· b=