圆与圆的位置关系及圆的应用

在直线的方程.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所
在的直线方程.( × )
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第九章 平面解析几何
§9.5 圆与圆的位置关系及圆的应用
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝ r2 1 (r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝ r2 2 (r2>0). 方法 几何法：圆心距d与r1，r2 位置关系 的关系 代数法：联立两圆方程组成 方程组的解的情况
当且仅当a＝b时等号成立，
1 故 ab 的最大值为4.
解答
2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程. 解 由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得 圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0， 圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0， 由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0， 即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程. ① ②
2 2 2 a ＋ 6 － a ＝ r ， a＝3， ∴ 2 ∴ 2 2 2 a ＋a ＝r ， r ＝2×9，
即圆D：(x－3)2＋(y－3)2＝18.
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解析
答案
4.[P116 练习 T2]若圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＝ 1 与圆 C2 ： x2 ＋ y2 ＋ 6x－ 8y＋ m ＝ 0 相切， －11或9 则实数m的值为________. 解析 圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝Leabharlann Baidu即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m，
2 2 5.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为_____.
解析
2 2 x ＋y －4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＋4y－12＝0，
得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0.
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2， 2
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题组二 教材改编 2.[P117练习T5]圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25的公共弦所在 x－2y＋5＝0 直线的方程为_____________. 解析 ∵x2＋y2＋x－2y－20＝0， x2＋y2＝25， ①－②得x－2y＋5＝0， ∴公共弦所在直线的方程为x－2y＋5＝0. ① ②
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解析
答案
3.[P116例2]过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的
(x－3)2＋(y－3)2＝18 方程为___________________.
解析 圆C：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50， 设所求圆D：(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵圆C与圆D切于原点，∴a＝b， ∴圆D：(x－a)2＋(y－a)2＝r2， ∵圆D过点A(0,6)和原点，
2 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，
所以所求弦长为 2 2.
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解析
答案
6.(优质试题· 南京、盐城、连云港、徐州二模 ) 已知圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ 1 ，
圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条
切线，
2－
2 2 2 ，2＋ 2
两组不同的实数解 ________________
一组实数解 ___________ 无解 _____
【知识拓展】
圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；
③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所
切点分别为A， B， 且∠APB＝60° ， 则实数a的取值范围为______________.
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解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一 典例
两圆位置关系的判定
师生共研
(1)(优质试题· 南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－
a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心、ON为半 3 ______. 径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为 解析 由题意，得圆N与圆M内切或内含， 即MN≤ON－1⇒ON≥2，又ON≥OM－1，
a＋b2 9 ＝ ， 根据基本不等式可知 ab≤ 4 2
9 当且仅当 a＝b 时等号成立，ab 的最大值为4.
解析 答案
引申探究
1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.
解
由 C1 与 C2 内切得 a＋b2＋－2＋22＝1.
2
a＋b2 1 ＝ ， 即(a＋b) ＝1，又 ab≤ 4 2
外离
外切
d>r1＋r2 _________
d＝r1＋r2 _________
无解 ____
一组实数解 ___________
相交
内切 内含
|r1－r2|<d<r1＋r2 _______________
d＝|r1－r2|(r1≠r2) ________________ 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) __________________
表示以(－3,4)为圆心，以 25－m为半径的圆.
由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，
可得 5＝| 25－m－1|，解得 m＝－11.
若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，
可得 5＝ 25－m＋1，解得 m＝9. 所以m＝9或－11.
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解析
答案
题组三 易错自纠
所以 OM≥3， a2＋a－32≥3⇒a≥3 或 a≤0，
因此a的最小值为3.
解析 答案
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，
9 则ab的最大值为____. 4
解析 由圆C1与圆C2外切，
可得 a＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，