量子力学期末考试部分试题及答案
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量子力学期末试题及答案
一、填空题:
1、波函数的标准条件:单值、连续性、有限性。
2、|Ψ(r,t)|^2的物理意义:t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易,它们具有共同的确定值。
二、简答题:
1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符。综上所述,在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态,这种说法确切吗?
答:不确切。针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素?
答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J 不显含时间。 四、计算题。
1
、
第二题: 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球,
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。据题意知
)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即 2004ze U r r
πε=-()
)(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域,
r
r U 04)(πε-=
在0r r <区域,)(r U 可由下式得出, ⎰∞
-=r Edr e r U )(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303
420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε
⎰⎰∞
--=0
)(r r r
Edr e Edr e r U
⎰⎰
∞
-
-
=00
20
2
3
002
144r r r
dr r Ze rdr r Ze πεπε
)3(84)(82
203
0020
022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小,所以)(2ˆˆ02
2)
0(r U H H
+∇-=<<'μ
η,可视为一种微扰,由它引起
一级修正为(基态03(0)
1/2100
30
()Z
r
a Z e
a ψπ-=) ⎰∞
'=τψψd H E )0(1
*
)0(1)1(1ˆ ⎰
-+--=0
00
2
2022203
0023
3
4]4)3(8[r r a Z
dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<,故10
2≈-
r a Z e 。
∴ ⎰
⎰
+--=0
3
02
40
4
2
20
3
3002
4)
1(1
)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E
πεπε
20
30
024505
030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--=
2
30010r a πε= 2
03
2452r a e Z s = 第三题
其相应的久期方程:
即:
由归一化条件得:
6.2 求自旋角动量在任意方向n )cos ,cos ,(cos γβα的投影 αc o ˆc o s ˆˆy
x n S S S +=的本征值和本征函数。
解:在z S ˆ 表象,n S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-=γβ
αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η0
cos 2
)cos (cos 2
)cos (cos 2cos 2
=--+--λγβαβαλγη
η
η
η
i i 0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγληη0422=-ηλ)1cos cos cos (222=++γβα利用2η±
=λ所以n
S ˆ的本征值为2η±。 设对应于2η
=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b a S n )(2
1χ,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos γ
β
αcos 1cos cos ++=i b 22**),(12
1
21b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 22
2
=+++a i a
γβα1
cos 122
=+a γ取 2cos 1γ+=a ,得 )
cos 1(2cos cos γβ
α++=i b 12
()n S χ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪