(完整word版)习题六样本及抽样分布

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完整word版习题六样本及抽样分布

习题六样本及抽样分布一、填空题1. 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1, 5.4,3.2, 9.8, 3.5，则样本均值4.8，样本方差 =2.7162 ；2. 在总体X 〜N(5,16)中随机地抽取一个容量为与6之间的概率 =0.9332 ;3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命 X 〜N(1000, 9 的样本，得到 X 940,s 100，则 P(X 940)74.设X 1,X 2,...,X 7 为总体 X ~ N(0,0.52)的一个样本，则 P( X i 24)0.025 ;i 15•设X 1,X 2,...,X 6为总体X ~ N(0,1)的一个样本，且cY 服从2分布，这里，Y (X 1 X 2 X 3)2 (X 4 X 5 X 6)2，则 c 13_；6•设随机变量X,丫相互独立，均服从N(0,32)分布且X 1,X 2,...,X 9与¥,丫2,...,丫9分别是来自总体X,Y 的简单随机样本，则统计量U 》...X 9服从参数为9牡...丫92—的_L 分布。

7•设X 1,X 2,X 3,X 4是取自X ~ N(0,22)正态总体的简单随机样本且Y a(X ! 2X 2)2 b(3X 3 4X 4)2,，贝U a 0.05 , b 0.01 时，统计量丫服从 2分布，其自由度为_2_;&设总体X 服从正态分布X ~ N(0, 22),而X 1,X 2,...,X 15是来自总体的简单随机样本，则随机变量丫X 1： ... x*2(X 121 ... X 17)10.设随机变量X ~ F(n,n)且P( X1A) 0.3, A 为常数，则 P(X ―)A二、选择题1 .设X 1,X 2,...,X n 是来自总体N(1 n — 1 n记 S 2 — (X i x)2,s ； - (X in 1 i 1 n i 12)的简单随机样本,一彳 nx)2,s ；土 (X i n 1 i 1 X 是样本均值, )2,1 (X i )2,则服从自由度n 1的t 分布的随机变量是 n i 1A X c X c X fA.—「 ] -------------B . —. f —— C. —j. +—— D .* --- S i/V n 1 S^w n 1S jd n 1S jJ n 12.设F n (x)是经验分布函数，基于来自总体 X 的样本，而F(x)是X 总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x,F n (x) ( B )A.是分布函数B.依概率收敛于F(x)S ： ( A );36的样本，则均值X 落在42)(单位:小时)，抽取一容量为服从 F 分布，参数为 10,5 ;1 9•设随机变量X ~t(n)(n 1),Y —,则Y 〜F(n,1);X、解答题1. 设X i ,X 2,X 3是总体N( , 2)的一个样本，其中已知而 0未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？3. 设总体X 服从0- 1分布，X 1,X 2,...,X 均值，则下列各选项中的量不是统计量的是(A. min{ X 1,X 2,X 3,X 4,X 5} C. max{X 1,X 2,X 3,X 4,X 5}4. 设X 1,X 2，…，X n 是正态总体N(, 则下列各选项中的量不是统计量的是(nA. (X i )2i 1nX i 2C .(—)2i 15是来自总体X 的样本，X 是样本 B )B . X 1 (1 p)XD. X 5 5X2)的一个样本，其中 C )。

统计学抽样与抽样分布练习题

统计学抽样与抽样分布练习题第6章抽样与抽样分布练习6.1从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估计算总平均数。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？（3）x的抽样分布是什么？（4）样本方差的抽样分布是什么？6.2假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。

从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？6.3从标准偏差为5的总体中抽取样本量为40的样本，样本的平均值为25。

样本均值抽样标准差?x等于多少?6.4设置总体平均值？？17.标准偏差？？10.从人群中随机抽取样本量为25的样本，其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。

（1）描述x25的抽样分布。

（2）描述x100的抽样分布。

6.5从？？从10个总体中随机抽取50个样本，计算样本均值的抽样标准差：（1）重复抽样。

（2）如果不重复抽样，总体单位分别为50000、5000和500。

6.6从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1） P的数学期望是什么？（2） P的标准差是多少？（3） P的分布是什么？6.7假定总体比例为??0.55，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。

12（1）分别计算样本比例的标准偏差？P（2）当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？6.8假设超市一次性购物的平均消费为85元，标准差为9元。

随机抽取40个样本客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？6.9大学生月平均支出为448元，标准差为21元。

随机抽取49名学生，样本均值为在441～446之间的概率是多少？6.10假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。

从该总体中按重复抽样方法n？2个随机样本。

（1）计算总体的平均值和标准偏差。

样本及抽样理论习题及详解

§样本及抽样理论题型一有关样本分布及统计量的命题【例6.1】设总体X 服从两点分布(1,)B p ，即{1}P X p ==，{0}1P X p ==-.其中p 是未知参数，125,,,X X X 是来自X 的简单随机样本. （1）写出125,,,X X X 的联合概率分布；（2）指出21255115,max(),2,()i i X X X X p X X ≤≤++-中哪些是统计量哪些不是统计量. 【解】（1）X 的分布律可写为1{}(1),xxP X x p p -==- (0,1)x =所以，125,,,X X X 的联合分布为55111{}(1)i ix x i i i P Xx p p -==∏==∏-55115(1)iii i x x p p ==-∑∑=- .（2）2125115,max(),()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，而52X p +含有未知量p ，不是统计量.【例6.2】设总体服从参数λ为的指数分布，分布密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 求()E X ,()D X 和2()E S .【解】 01()x i E X xe dx λλλ+∞-==⎰,201()()x i D X x e dx λλλ+∞-=-⎰21λ=. (1,2,,)i n =由于11ni i X X n ==∑, 所以1111()().n i i n E X E X n n λλ===⨯=∑22211111()()().n ni i i i D X D X D X n n n λ=====∑∑ 2211()(())1n i i E S E X X n ==--∑2111()1n ii E X n λ==--∑11()1n i i D X n ==-∑211n n n λ=⨯-21(1)n λ=-. 【例6.3】设从总体中随机抽取容量为10的样本进行观测，观测数据为：1，2，4，3，3，4，5，6，4，8，试计算样本均值，样本方差和经验分布函数.【解】依题意，样本均值10114,10i i X X ===∑ 22211()1ni i S X nX n ==--∑ 221111n ii n X X n n ==---∑4=. 经验分布函数10()F x 为100,0,0.1,12,0.2,23,0.4,34,()0.7,45,0.8,56,0.9,68,1,8.x x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩题型二 2χ分布、t 分布和F 分布的应用【例6.4】设1216,,,X X X 是来自正态总体(0,1)N 的样本，记421()ii Y X ==∑812162225913()()()i i i i i i X X X ===+++∑∑∑，问c 取何值时，cY 服从2χ分布.【解】令4812162222123415913(),(),(),()ii i i i i i i Y X YX Y X Y X ========∑∑∑∑ ，则1Y ，2Y ，3Y ，4(0,4)Y N ，从而12Y ，22Y ，32Y ，4(0,1)2Y N ，且它们相互独立，得 22222123411()(4)44Y Y Y Y Y χ=+++，故取14c =.【例6.5】（99.3.7）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，11261()6Y X X X =+++，27891()3Y X X X =++，922211()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S -=.证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】记2()D X σ=（未知），由于12()()()E Y E Y E X ==，12()0E Y Y -=，2212(),()63D Y D Y σσ==，又1Y 和2Y 独立，则22212()632D Y Y σσσ-=+=.从而(0,1)U N =根据正态分布方差的性质，2222S χσ=服从自由度为2的2χ分布.由于1Y 和2Y 独立，1Y 和2S 独立，2Y 和2S 独立，且1Y ，2Y ，2S 相互独立，因此12Y Y -与2S 也独立，根据t 分布的应用模式12)(2)Y Y Z t S-==【例6.6】设121,,,,,,n n n m X X X X X ++为总体2(0,)XN σ的样本，（1）确定a 与b ，使2211()()nn mii i i n a X b X +==++∑∑服从2χ分布；(2) 确定c，使1n i cX=∑t 分布；（3）确定d ，使2211n n miii i n cXX+==+∑∑服从F 分布.【解】（1）由21(0,)nii XN n σ=∑，得1(0,1)ni i X N σ=∑，从而22211()(1)ni i X n χσ=∑，同理22211()(1)n mi i n X n χσ+=+∑，又因21()nii X =∑与21()n mii n X +=+∑相互独立，故222221111()()(2)nn mi i i i n X X n m χσσ+==++∑∑从而2211,a b n m σσ==. （2）因为1(0,1)ni N =，221()()n mii n X m χσ+=+∑1n i i X =与21()n mii n X σ+=+∑独立，由t 分布定义知1ni X =1nX =(1)t m -.故c =（3）因为22211()nii Xn χσ=∑，22211()n mii n X m χσ+=+∑，且2211nii Xσ=∑与2211n mii n Xσ+=+∑独立，由F 分布定义知22221111()n mn m ii i n i n XX n m σσ++=+=+∑∑=2211n m n mi ii n i n m X Xn ++=+=+∑∑(,)F n m =.从而md n=. 【例6.7】若()T t n 分布，问2T 服从什么分布？【分析】当2(0,1),()XN Yn χ，且X 与Y 相互独立时，()T t n =，22X T Y n= 又22(1)Xχ，且2X 与Y 相互独立，因此 2221(1,)X X T F n Y n Y n==.即2T 服从自由度为(1,)n 的F 分布.题型三抽样分布定理【例6.8】设总体X 服从正态分布2(,0.3)N μ，12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，求容量至少取多大才能使{0.1}0.05P X μ-≥≤.【解】由2(,0.3)X N μ知20.3(,)XN nμ 有{0}0.05P X μ-≥≤， 1{0.1}0.05P X μ--<≤，即 {0.1}0.95P X μ-<≥，而 {0.1}P X P μ-<=<213=Φ-.要求2)10.953Φ-≥，查正态分布表 1.963≥，所以35n =. 【例6.9】设总体2(,)XN μσ，已知样本容量24n =，样本方差212.5227s =，求总体标准差大于3的概率. 【解】由222(1)(1)n s n χσ--，现24n =，故 222223(23)s χχσ=，所以 211{3}{}9P P σσ>=<22232312.5227{}9s P σ⨯=<22{32}1{32}.P P χχ=<=-≥ 查表得{3}10.10.9P σ>=-=. 【例6.10】设总体2(,)XN μσ，μ与2σ皆末知，已知样本容量16n =，样本均值12.5x =，样本方差2 5.333s =，求{0.4}P x μ-<.【解】由于σ未知，需用t 统计量： (1).x t t n=-其中s 为样本标准差，现16, 2.309n s ==，(15).0.5773x t t μ-={0.4}{0.692}0.5773x P x P μμ--<=< {0.692}P t =<{0.6920.692}P t =-<<1{0.692}{0.692}P t P t =-≥-≤-. 由于t 分布关于原点对称，故{0.692}{0.692}P t P t ≥=≤-故{0.4}12{0.692}P x P t μ-<=-≥，查表得{0.692}0.25P t ≥=. 所以，{0.4}120.250.5P x μ-<=-⨯=.【例6.11】（94.3.3）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记2111()1n i i S X X n ==--∑，2211()n i i S X X n ==-∑， 2311()1n i i S X n μ==--∑，2411()n i i S X n μ==-∑. 则服从自由度为1n -的t 分布的是【】()A X t =()BX t =()C X t =. ()DX t =【分析】由抽样分布知识和 t 分布的应用模型(0,1)X N ，2212()(1)nii XX n χσ=--∑(1)t n -.即(1)X X t n =-.选()B .【例 6.12】设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是分别来自于正态总体21(,)X N μσ和22(,)YN μσ，且相互独立，则以下统计量服从什么分布？（1）22122(1)()n s s σ-+ ；（2）2122212[()()]n X Y s s μμ---+ 【解】（1）由2212(1)(1)n s n χσ--，2222(1)(1)n s n χσ--，由2χ分布的性质.222122(1)()(22)n s s n χσ-+-.（2）2122(,)X Y N n σμμ--(0,1)X Y N故有22(1)X Y χ，又有222122(1)()(22)n s s n χσ-+-，由F 分布的定义21222212222212122[()()]1[()()](1,22)(1)()(22)nX Y n X Y F n n s s s s n μμσμμσ------=--++-.【例6.13】设总体211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ从两个总体分别抽样，得到如下结果：111n =，218.27s =，18n =，22 4.89s =，求概率2212{}P σσ>.【解】由于211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ所以22112222(10,7)s F s σσ，从而22211222{}{1}P P σσσσ>=>222111222222{}s s P s s σσ=<{(10,7) 1.6912}P F =<0.750=.§历年考研真题评析1、【06.3.4】设总体X 的概率密度为1()()2xf x e x -=-?<+?，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，样本方差2S ，则2()E S =______________.【分析】样本方差2S 的数学期望等于总体方差，由于X 概率密度的对称性， ()0E X =，故2222201()()()()222x E S D X E X x f x dx x e dx s +??--?=====?蝌.2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布22(,)N m s ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌邋______________. 【分析】因为122111()1n i i E X X n s =轾犏-=犏-臌å，222121()1n j j E Y Y n s =轾犏-=犏-臌å，故应填2s .3、【09.3.4】设12,,,n X X X 是来自二项分布(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则()E T =______________. 【分析】222()()()()(1)E T E X S E X E S np np p np =-=-=--=. 4、【10.3.4】设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N m s s >的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==å，则()E T =________.【分析】因简单随机样本12,,,n X X X 独立同分布，即2(,)iX N m s ，于是，22222(),(),()()[()]i i i i i E X D X E X D X E X m s s m ===+=+，因此，222222111111()()n n n i i i i i E T E X E X n n n s m s m ===骣骣鼢珑===+=+鼢珑鼢珑桫桫邋?. 5、【02.3.3】设随机变量X 和Y 都服从标准正态，则【】()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2c 分布. ()C 2X 和2Y 服从2c 分布. ()D 22X Y服从F 分布.【分析】由于X ，Y 不一定相互独立，故()A ，()B ，()D 不一定成立，又(0,1)X N ，故22(1)Xχ，同理，22(1)Y χ.选()C .6、【98.3.3】设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，212(2)X a X X =-233(34)b X X +-，则当a =_______,b =________时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为________.【分析】1234,,,X X X X 独立同正态分布2(0,2)N ，因此，122X X -与3434X X -也相互独立且分别服从正态分布(0,20)N 和(0,100)N ，都服从标准正态分布(0,1)N ，利用2χ分布的应用模式2223412(34)(2)(2)20100X X X X X χ--=+.因此，当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布. 7、【97.3.3】设随机变量X 和Y 独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从________分布，参数为________.【分析】由于129,,,X X X 相互独立与X 同分布，故1291()(0,1)9X X X N +++类似地，129,,,Y Y Y 相互独立且与Y 同分布，故22221291()(9)9Y Y Y χ+++，由于1291()9X X X +++与2221291()9Y Y Y +++相互独立，，因此1291()(9)X X X t +++=.即U 服从参数为9的t 分布.8、【01.3.4】设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，而1215,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量2221210222112152()X X X Y X X X +++=+++服从________，参数为________. 【分析】因为2(0,2)(1,2,,15)iX N i =.于是(0,1)2i X N ，从而有22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而且由样本的独立性可知，22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相互独立，故222101222212102222221121515111210222(10,5)2()10222X X X X X X Y F X X X X X X 骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç+++桫桫桫==+++骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç桫桫桫.9、【05.1.4】设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则【】()A (0,1)nX N . ()B 22().nS n χ()C (1)(1).n Xt n S--. ()D222(1)(1,1).i ni i n X F n X =-=-å【分析】由抽样分布定理知，(0,1).X N =可排除()A ；(1)X t n =-，可排除()C ；2222(1)(1)(1)1n S n S n c -=--，可排除()B ；因为221(1)Xc ，222(1)nii X n c =-å，且221(1)Xc 与222(1)ni i X n c =-å相互独立，于是2212222(1)1(1,1).(1)i nn ii i i n X X F n Xn X ==-==--邋选()D .10、【03.1.4】设随机变量()(1)Xt n n >，21Y X=，则【】 ()A 2()Yn χ. ()B 2(1).Y n χ- ()C (,1).Y F n . ()D (1,).Y F n =【分析】由题设知，X =，其中(0,1)U N ，2()Vn χ.于是22211V n V n Y X U U ===，这里22(1)U χ，由F 分布的定义知21(,1)Y F n X =.选()C .11、【01.1.9】设总体X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本12,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为2112ni i X X n ==∑，求统计量21(2)ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望().E Y【解】记111n i i X X n ==∑，211nn i i X X n +==∑，则有122X X X =+.因此221211()(2)()()n n i n i in i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑ 2211221()2()()()n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 221211()0()n n i n i i i E X X E X X +==⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑22(1)(1)n n σσ=-+- 22(2)n σ=-. 12、【98.1.4】从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？【解】以X(0,1)X N ，从而{1.4 5.4}X P X P ⎧⎫<<=<<210.95⎫=Φ≥⎪⎭. 所以0.975Φ≥即1.96≥，2(3 1.96)34.57n ≥⨯≈. 因此n 至少应取35.§6.4 习题全解1、设128,,,X X X 是来自(0,)θ 上均匀分布的样本，0θ>末知，求样本的联合密度函数.【解】128812810,,,(,,,)0x x x f x x x 其他θθ<<=⎧⎪⎨⎪⎩2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其概率分布律为()(0,1,)!iP X i ei i λλ-===求样本12,,...,n X X X 的联合分布律.【解】样本12,,...,n X X X 的联合分布律为{}1122,,...,n n P X i X i X i ==={}1nk k P X i ==∏=11()!nkk in nk k ei λλ=-=∑=∏0,1,2,,1,2,,k i i n == .3、若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，但μ末知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量. （1）11nii X n=∑ ；（2）211()nii X n μ=-∑ ；（3）211()1nii X X n =--∑ ；（4；（5；（6【解】（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数μ，所以不是统计量 .4、总体X 的一组容量为10的样本观测值为：0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1----，求经验分布函数10()F x .【解】将样本观测值重新排序10.70.30.100.150.20.2512-<-<-<-<<<<<<，所以经验分布函数为：10010.210.70.40.70.3()0.81212x x x F x xx ≤--<≤--<≤-=<≤>⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩5、来自总体X 的一组样本观测值为：i x102 104 106i n2 3 5求样本均值X ，样本方差2S 和样本标准差S .【解】104.6x =，22.71=s ， 1.646s = .6、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 在50.8到53.8之间的概率. 【解】由2(52,6.336)X N 知5252(0,1)6.362.12X X N --=故所求概率为{}50.8525253.85250.853.8 2.122.12 2.12X P X P ---<<=<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭521.14 1.712.12X P -=-≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1.71)(1.14)=Φ-Φ-(1.71)1(1.14)=Φ-+Φ0.956410.8729=-+0.8293= .7、设随机变量X 与Y 相互独立，且222(,),()YXN n μσχσ，证明()t t n =.【证明】由于2(,)X N μσ，则(0,1)X N μσ-据t分布的定义，()X t t n μ-==. 8、若对总体X 有()E X m =，2()D X s =，取X 的容量为n 的样本，样本均值为X ，问n 多大时，有(0.1)0.95P X μσ-<≥.【解】由2(,)XN n σμ(0,1)X N -知(0.1)P X P μσ-<=<(210.95=Φ-≥即(0.975Φ≥，查表得 1.96≥，即385n ≥ . 9、设总体(150,400)XN ，(125,625)Y N ，并且X ，Y 相互独立，现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X ，Y ，求{}0P X Y -≤ . 【解】 {}0P X Y P -≤=≤(1.75)=Φ-0.0401= .10、设总体X ，Y 都服从正态分布2(,)N μσ，并且X ，Y 相互独立，X ，Y 分别是总体X 和Y 的容量为n 的样本均值，确定n 的值，使{}00.01P X Y ->= .【解】由于)(0,1)X Y X Y N -=-于是，{}P X Y P Y σ->=->21=-⎡⎢⎣0.01=.即0.995Φ=2.58=，13.3128n =，取14n = . 11、设总体(0,1)XN ，126,,,X X X 为X 的一个样本，设2123()=++Y X X X2456()+++X X X ，求常数C ，使2χY分布.【解】由于126,,,X X X 独立同分布,所以123456(0,3),(0,3)X X X N X X X N ++++456(0,1),(0,1)3X X X X X X N N ++++于是 22123456()()X XX X X X +++++=223+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2212Y Y =+其中222212(1),(1)33Y Y χχ.所以 22221212345611()()()33Y Y X X X X X X +=+++++⎡⎤⎣⎦ 21(2)3Yχ，即13C = .12、设1210,,,X X X 为来自总体(0,0.09)N 的样本，求{}10211.44ii PX=>∑ .【解】设总体为X ，则由(0,0.09)X N 可知(0,1)0.3X N ，(0,1)0.3i X N ，1,2,,10,i =因此 10222211(10),0.3i i Xχχ==∑ 利用2χ分布表，可得1021 1.44i i P X =>⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑1022211 1.440.30.3i i P X =⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∑{}216P χ=>0.10≈ .13、设125,,,X X X 是总体(0,1)X N 的一个样本，若统计量()U t n =，试确定c 与n .【解】由于i X 独立同分布(1,2,3,4,5)=i ,所以2222345(0,1),(3)X XN X X Xχ+++,且两者相互独立,由t分布定义知(3)U t=故=c3=n .14、设总体2(0,)X Nσ，12,X X是样本，求212212()()X XYX X+=-的分布.【解】记X X X XU V+-==22122212()()X X UYX X V+==-，由于221212(0,2),(0,2)X X N X X Nσσ+-则2222(0,1),(0,1),(1),(1)U N V N U Vχχ .下面证明U和V相互独立.因为U，V都服从标准正态分布(0,1)N，因此只要证明U，V互不相关，即cov(,)0U V=即可.由于()0,()0E U E V==，因此，cov(,)()()()()=-=U V E UV E U E V E UV[]121221()()2E X X X Xσ=+-221221()2E X Xσ=+221221()()02E X E Xσ=-=⎡⎤⎣⎦.即22(1,1)UY FV=.15、设总体21(,)X Nμσ,222(,)Y Nμσ,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据:18n= ,10.5x=,2142.25s=；210n= , 13.4y=，2256.25s=，求概率2221( 4.40)Pσσ< .【解】由于22122212(7,9)S SF Fσσ=，0.05(7,9) 3.29F=，故( 3.305)0.05P F≥≈ .从而 22221122212242.254.40 4.4056.25σσσσ<=⋅<⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S P P S ( 3.305)P F =< 1( 3.305)P F =-≥10.05=-0.95= .B1、设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样，定义i X 如下：1,0,i i X i 第次取得次品,第次取得正品.=⎧⎨⎩求样本12,,...,n X X X 的联合分布.【解】因为是放回抽样，所以12,,...,n X X X 独立同分布，{}{}1,01i i M M P X P X NN====-.则12,,...,n X X X 的联合分布为{}111,,()(1)ni i ni i n xi n n x P X x X x M N M N ==-∑===-∑. 2、设总体2(,)XN nσμ，12,,...,n X X X 是样本，证明：22241[()](1)σ=-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑n i i E X X n . 【证明】由222(1)(1)n Sn χσ--和221(1)()ni i n S X X =-=-∑得22212()(1)nii X X n χχσ=-=-∑ .使用2χ分布期望和方差的公式，22()1,()2(1)E n D n χχ=-=-，于是，22224121()([()])n i n i i i X X E X X E σσ==--=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑422()E σχ⎡⎤=⎣⎦2422(()())D E σχχ⎡⎤=+⎣⎦42242(1)(1)(1)n n n σσ⎡⎤=-+-=-⎣⎦. 3、设129,,...,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，11262789()6,()3=+++=++Y XX X Y X X X ,922221271(),)2ii S X Y Z Y Y S ==-=-∑ . 证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】因为2()D X σ=为末知，而12()()E Y E Y =，21()6D Y σ=，22()3D Y σ=.由1Y 与2Y 的独立性，12()0E Y Y -=，22212().632D Y Y σσσ-=+=故 1((0,1).U Y Y N =-由正态总体样本方差的性质知，2222().S n σχ又由1Y 与2Y 独立知，1Y 与2S 独立，2Y 与2S 独立，于是12Y Y -也与2S 独立.从而，由t 分布随机变量的构造知12)(2).Z Y Y S t =-=§同步自测题及参考答案一、选择题1、设12,X X 是来自总体X 的样本，a 是一个未知参数，则是统计量的是【】()A 12X aX +. ()B 12aX X . ()C 2212X X +. ()D 221()i i X a =-å.2、设12,,n X X X 是来自总体2(,)XN m s 的样本，m 是未知参数，则是统计量的是()A max{}i X . ()B 21()ni i X m =-å. ()C X m -. ()D 22()X m s -+. 【】3、设126,,X X X 是来自2(,)N m s 的样本，62211()5i i s X X ==-å，则2()D s = 【】 ()A 413s . ()B 425s . ()C 415s . ()D 225s .4、设2(1,2)XN ，12,,n X X X 为X 的样本，则【】()A1(0,1)2X N -. ()B1(0,1)4X N -.()C(0,1)X N . ()D(0,1)X N .5、X 服从正态分布，且()1E X =-，2()4E X =，则11ni i X X n ==å服从的分布为【】()A 3(1,)N n -. ()B 4(1,)N n -. ()C 1(,4)N n -. ()D 13(,)N n n-. 6、设随机变量2(,)X N m s ，2()Y n c ，则T =【】 ()A (1)t n -分布. ()B ()t n 分布. ()C (0,1)N 分布. ()D (1,)F n 分布.7、设12,,n X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本，X 是样本均值，则【】()A (0,1)X N . ()B (0,1)nXN . ()C 221()ni i X n c =å. ()D (1)Xt n -.8、设2()X m χ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量X mF Y n=服从的分布为【】()A (1,1)F n m --. ()B (1,1)F m n --. ()C (,)F n m . ()D (,)F m n .9、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N服从的分布为【】()A (1,2)F . ()B (2,2)F . ()C (2)t . ()D (3)t10、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N 的一个样本，则统计量212234()()X X X X +-服从分布为【】()A (2,2)F . ()B (1,1)F . ()C (2)t . ()D (4)t二、填空题1、设12,,n X X X 是来自指数分布()E l 的简单随机样本，0l >为未知参数，则12,,n X X X 的概率分布为：________________，设10n =时，样本的一组观测值为4，6，4，3，5，4，5，8，4，7则样本均值为：________________，样本方差为________________.2、设12,,n X X X 是来自于正态总体2(,)N m s 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则X_________X ________X _________分布.3、设X 与Y 相互独立，且22(),()X m Y n χχ，则X Y+______________.4、设2(,)XN m s ，X 与2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则21()ni i X Xσ=-∑____________分布.5、设总体(,4)XN m ，12,,n X X X 是来自总体的一个简单随机样本，n ³______时才能使2()0.1E X m -?.6、设随机变量X 服从自由度k 为t 的分布，则随机变量函数2X 服从自由度__________为的___________分布.7、设随机变量X 服从自由度为(,)m n 的F 分布，则随机变量函数1X服从自由度为____________的____________分布.8、设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布2(0,4)N ，而随机样本1216,,X X X 和1216,,Y Y Y 分别是来自正态总体X 和Y，则统计量U =服从_______分布，参数为______________. 三、解答题1、设总体],[~b a U X ，12,,n X X X 是来自总体X 的样本，试写出样本12,,nX X X 的联合密度函数.2、从织布车间抽取7尺布，检查每尺的疵点数，得到样本值：0，3，2，1，1，0，1，求其经验分布函数.3、设从总体2(,)XN m s 抽取样本1210,,,X X X ，求下列概率：（1）1210{max(,,,)10}P X X X >；（2）1210{min(,,,)5}P X X X £.4、设总体X 的分布密度为 11()0x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他1250,,,X X X 是来自总体的一样本，试求()E X ,()D X ,2()D S .5、总体(,6)XN m ，从中取出一个容量为25的样本，样本方差为2S ，求2{9.1}P S >.6、设总体X 服从正态分布2(,5)XN m .（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X 与总体均值μ之差的绝对值小于1的概率{1}P X μ-<；（2）抽取样本容量n 多大时，才能使{1}P X μ-<达到0.95？ 7、设126,,,X X X 是来自正态总体2(,)N m s 的一个样本，记11231()3Y X X X =++， 24561()3Y X X X =++， 322111()3i i S X Y ==-å，试求统计量12()T Y Y S =-的概率分布.8、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(30,3)XN ；1220,,,X X X 和1225,,,Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，求{0.4}P X Y ->.9、设总体1(,10)XN m 、2(,15)YN m ,从总体X 中取出容量为25的样本，从总体Y 中取出容量为31的样本，设X 和Y 相互独立且样本方差分别为21S ，22S ,求2122{ 1.26}S P S >. 10、设总体21(,)XN m s ，22(,)Y N m s ，从二总体中分别抽取样本，得到下列数据：17n =，54x =，21116.7;s =28n =，42y =，2285.7;s = 求概率12{0.87.5}P m m <-<.同步自测题参考答案一、选择题1、()C . 2. ()A . 3. ()B . 4. ()C . 5. ()A . 6. ()D . 7. ()C . 8. ()D 9. ()C . 10. ()B 二、填空题 1、112exp{}0,(,,,)00.nn i i i n i x x f x x x x l l=ìïï->ï=íïï£ïïîå， 5x =，22.2S = 2.2(,)N ns m ，(0,1)N ，(1)t n - 3. 2(2)m c . 4. 2(1)n c -. 5.40. 6.(1,)k ，F 7. (,)n m ，F8. t ，16. 三、解答题 1、12121,,,()(,,,)0.n nn a x x x b b a f x x x 其他ìïï?ï-=íïïïïî.2、70,2701,(10)5712,6723,13.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ . 3.(1)0.8224,(2)0.4991. .4、()0,E X =()0.01,D X = 2()0E S = .5、0.05.提示：222(251)(24)6S c c -=，22(251)9.1{9.1}{}6P S P c -?>=>6. (1)0.8904,(2)96.n = 7、(2)t8、0.66,提示：(30,920),(30,925)XN Y N ，2(0,0.9)X YN -，{0.4}P X Y ->1{0.4}P X Y =--?1[2(0.44)1]0.66.=-F -=1{90.44}P X Y =--<9、0.05,提示：2221122212(1,1)SF n n S s s --.10、0.175,提示：取统计量12()()(2).X Y T t n n μμ---=+-。

概率论与数理统计第六章抽样分布练习题与答案详解

概率论与数理统计第六章抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ．其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ，或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-，得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ，查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α，所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ，由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。

样本及抽样分布习题

第六章样本及抽样分布习题( 附注: 以下各章的习题中 2211(),1ni i S X X n ==--∑都表示样本方差，不在赘述。

)1．填空题：⑴ 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 = ；⑵ 在总体)16,5(~N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ；⑶ 设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到100,940==s x ，则(940)P X <= .[4] 设71,,X X 为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，则=>∑=)4(712i iXP ;[5] 设61,,X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则=c .2．设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ已知而0>σ未知，则以下的函数：⑴ 321X X X ++； ⑵ μ33+X ； ⑶ 1X ；⑷ 22X μ；⑸321ii Xσ=∑；⑹ }max{i X ；⑺3X +σ 中哪些为统计量？为什么？3．在总体)3.6,52(~2N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率.4．设n X X ,,1 是总体~(8)X P 的一个样本，X 与2S 分别为其样本均值与样本方差，求X D X E ,与2ES .5. 设51,,X X 是总体)4,12(~N X 的一个样本，求: ⑴ 样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率; ⑵ },15),,{max(51>X X P }10),,{min(51<X X P .6．设41,,X X 是来自正态总体)4,0(N 的样本，证明统计量Y 服从)2(2χ分布，这里 243221)43(01.0)2(05.0X X X X Y -+-=.7．设921,,,X X X 是来自正态总体X 的样本，∑==61161i i X Y ，∑==97231i i X Y ，922271()2i i S X Y ==-∑， SY Y Z )(221-=，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布．8．已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X ．*9．设),(~2σμN X ，n X X X 221,, 是总体X的容量为2n 的样本，其样本均值为∑==ni i X n X 2121，试求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Z 12)2(的数学期望及方差．。

习题六__样本及抽样分布解答.doc

样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体 X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值=，样本方差=2.7162；2．在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36 的样本，则均值X 落在 4 与6之间的概率=；3．设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~ N (1000, 2 )(单位:小时)，抽取一容量为9 的样本，得到x940, s 100 ，则 P( X 940)；74．设X1, X2,..., X7为总体X ~ N (0,0.52)的一个样本，则P(X i24)；i 15．设X1, X2,..., X6为总体X ~ N (0,1)的一个样本，且 cY 服从 2 分布，这里，Y ( X1X 2X 3 )2( X 4X 5X 6 )2，则 c1/3 ；6．设随机变量X ,Y相互独立，均服从N (0,32)分布且X1, X2,..., X9与Y1,Y2,..., Y9分别是来自总体 X , Y 的简单随机样本，则统计量U X1...X9服从参数为9 Y12...Y92的 t分布。

7．设X1, X2, X3, X4是取自X ~ N (0, 22)正态总体的简单随机样本且Y a( X! 2 X 2 ) 2 b(3 X3 4 X 4 ) 2, ，则 a ，b 时，统计量 Y 服从 2 分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布X ~ N (0, 22) ,而X1, X2,..., X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量 Y X12 (X)102F 分布，参数为10,5 ；...服从2( X112 X152 )9．设随机变量 X ~ t (n)( n 1),Y 1 ,则Y ~ F(n,1) ；X 21 ) 10．设随机变量X ~ F (n, n)且 P( X A) 0.3 ，A 为常数，则 P( XA11 若 1 ,, n是取自正态总体N ( , 2 )的一个样本，则 1nni 服从。

样本及抽样分布习题

2 分布的性质
性质1 ( 2分布的可加性)
设

2 1
~

2(n1 ),

2 2
~

2(n2 ),
并且

2 1
,

2 2
独
立, 则

2 1

2 2
~
2(n1

n2 ).
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
第六章样本及抽样分布习题课
一、重点与难点二、主要内容三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
(1) 正态总体某些常用统计量的分布. (2) 临界值的查表计算.
2.难点
(1) 几个常用统计量的构造. (2) 标准正态分布和F分布临界值的查表计算.
二、主要内容
总体
个体常用
统
样本
统计量
计量
的
常用统计量

X3
2
~

2 (1),

X4

X5 3

X6
2
~

2 (1),
因为 X1, X2, , X6相互独立及 2 分布的可加性,

X1

X2 3

X3
2

X4

X5 3

X6
2

1 3
[(
X1

X2

X3 )2

(X4

X5

X6 )2]
~
2 (2),

【样本】概率论与数理统计习题册

【关键字】样本第六章样本及抽样分布一、选择题1. 设是来自总体的简单随机样本,则必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）.A. 若则B．若C．若D．在正态总体下4．设表示来自总体的容量为的样本均值和样本方差，且两总体相互独立，则下列不正确的是（）.A. B.C. D.5. 设是来自总体的样本,则是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量6是来自正态总体的样本,分别为样本均值与样本方差,则( ).A. B. C. D.7. 给定一组样本观测值且得则样本方差的观测值为( ).B. D.8设X服从分布, ，则为( ).A. B. C. D.9设是来自正态总体的简单随机样本，若服从分布，则的值分别为（）.A. B. C. D.10设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布,设和分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量服从分布是( ).A. B. C. D.2、填空题1．在数理统计中，称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是.3．设随机变量相互独立且服从相同的分布，，令，则；4.是来自总体的一个样本，则.5．已知样本取自正态分布总体，为样本均值，已知，则.10．6设总体，是样本均值，是样本方差，为样本容量，则常用的随机变量服从分布.第七章参数估计一、选择题1. 设总体，为抽取样本，则是（）.的无偏估计的无偏估计的矩估计的矩估计 2 设在[0，a]上服从均匀分布，是未知参数，对于容量为的样本，a 的最大似然估计为（）（A ）（B ）（C ）（D ）；3 设总体分布为，为未知参数，则的最大似然估计量为（）. （A ）（B ）（C ）（D ）4 设总体分布为，已知，则的最大似然估计量为（）. （A ）（B ）（C ）（D ）5 设为来自总体的样本，下列关于的无偏估计中，最有效的为（）. （A ）（B ）（C ）（D ）6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是：和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为（1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 . A.}C > B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形如（）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ). A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ，取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ）注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有4.(C) 注：11~(1)t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2.代表性和独立性3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ，所以，∑=-=-=n i i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大，所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ，由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可. 5答案 B. 6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nX X E X X Eii ∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D . 5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，所以，)1,0(~2σnn N X X i --，因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα-+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-，化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ，将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

抽样与抽样分布练习题

第六章样本及抽样分布练习题1．在正态分布总体)3.6,52(2N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值__X 落在50.8与53.8之间的概率.2．样本()421,...,,X X X 来自正态分布总体)3.0,0(2N ,243221)3()2(X X b X X a Y -+-=，其中b a ,为常数,试确定b a ,的值使统计量Y 服从2χ分布.3．设()921,...,,X X X 是来自正态分布总体)2,0(2N 的一个样本，随机变量 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=，试确定c b a ,,的值，使统计量Y 服从2χ分布.4．设()921,...,,X X X 和()921,...,,Y Y Y 均来自正态分布总体)3.0,0(2N 的两个独立样本，试求统计量 292221921......YYY X X X U ++++++=的分布.5．设正态分布总体()2,~σμN X ,()n X X X,...,,21为来自该总体的一个样本,__X 和2S 分别为其样本均值和样本方差,又设()21,~σμN X n +,且与()n X X X,...,,21独立.试求统计量1__1+-+n n SX Xn 的分布.6．设()921,...,,X X X 是来自正态分布总体X 的一个样本，记∑==61__161i i X Y ,()987__231X X X Y ++=；∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=612__12151i i Y X S ；∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=972__22221i i Y X S 证明：(1));5(~21__2__1t S Y Y ⎪⎭⎫⎝⎛- (2));2(~22__2__1t S Y Y ⎪⎭⎫⎝⎛-(3));7(~25142221__2__1t SSY Y +⎪⎭⎫⎝⎛-7．()621,...,,X X X 是来自正态分布总体),(2σμN 的一个样本记()531__131X X X Y ++=，()642__231XXX Y ++=，试求统计量2__262___242__222__152__132__11⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Y X Y X Y X Y X Y X Y X Z 的分布.。

习题六样本及抽样分布解答

样本及抽样分布
一、填空题
1•设来自总体X的一个样本观察值为：2.1,5.4,3.2,9.8,3.5,则样本均值=4.8，样本方差=2.7162；
2.在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X落在4与6之间的概率=0.9332;
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,二2)仲位:小时)，抽取一容量为
6•设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与丫，丫2,...,丫9分
++'X
别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U二入…入9服从参数为 —9曲+…+丫2
的_L_分布。
7.设X1,X2,X3,X4是取自X ~N(0,22)正态总体的简单随机样本且
丫=a(X]-2X2)2，b(3X3-4X4)2,，则a=0.05,b二0.01时，统计量Y服从
2分布，其自由度为一2_;
8.设总体X服从正态分布X ~N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机
样本，则随机变量丫X12...利服从F分布，参数为10,5;
2(X11+...+X15)
设X1,X2/ ,Xn是取自正态总体X〜NC\-2）的
（Xj-X）2,则丫=n-1仪」）服从的分布是（ni i
9的样本，得到殳二940,s=100，则P(X:::940) =;
7
4.设X1,X2,.,X为总体X ~N(0,0.52)的一个样本，则PLXi24)=Байду номын сангаас.025:
i=1
5.设X1,X2,...,X6为总体X ~N(0,1)的一个样本，且cY服从2分布，这里，
丫=(X1X2X3)2(X4X5X6)2，则；

(完整版)样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。

它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。

所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。

其研究方法是归纳法（部分到整体）。

对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。

数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。

在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。

在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。

第六章样本及抽样分布习题

第六章样本及抽样分布习题第六章样本及抽样分布习题一、填空题：1．若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，则∑==ni i n 11ξξ服从。

2．样本),,(1n X X 的函数),,(1n X X f 称为，其中),,(1n X X f 不含未知参数。

3．设总体X 服从),(2σμN ，X 和2S 分别为来自总体X 的样本容量为n 的样本均值和方差，则212)(σ∑=-ni iX X～，22)1(σS n -～。

二、选择题：1．设总体X 服从),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，1X ，2X ，3X 是取自总体的一个样本，则下列不是统计量的是（）。

(A)1321X X X ++ (B)μ21+X (C)),,max(321X X X (D))(12322212X X X ++σ2．设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（）。

(A)X ＋Y 服从正态分布。

(B) 2X ＋2Y 服从2χ分布。

(D)2X ／2Y 服从F 分布。

３．设总体X 服从)9,1(N ，91,X X 为X 的样本，则有（）。

(A)11-X ～)1,0(N (B)31-X ～)1,0(N(Ｃ)．91-X ～)1,0(N (Ｄ)31-X ～)1,0(N ４．设n X X ,1是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，X 和S 分别为样本的均值和标准差，则有（）。

(Ａ)ｎX ～)1,0(N (Ｂ)X ～)1,0(N (Ｃ)S X～ｔ(n-1) (Ｄ)∑=ni i X 12～2χ(n)５．设X ，Y 相互独立，X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN ，1,1n X X 为X 的样本，2,1n Y Y 为Y 的样本，则有（）。

(Ａ)X －Y ～),(2212121n n N σσμμ++ (Ｂ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ+-(Ｃ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ-- (Ｄ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ+-三、计算题：1．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少应取多大？2.抽样检验产品质量时，如果发现次品多于10件，则拒绝接受这批产品。

概率论与数理统计+第六章+样本及抽样分布+练习题答案

Ⅲ、典型例题分析〖填空题〗例6.1（F 分布）设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从参数为的分布．分析因为服从自由度为),(21f f 的F 分布的随机变量X ，可以表示为222121f f X χχ=，1212221f f X Y χχ==，其中2221 χχ和独立，分别服从自由度为21f f 和的2χ分布．由F 分布变量的典型模式，知Y 服从自由度为),(12f f 的F 分布．例6.2（2χ分布）设4321,,,X X X X 是来自正态总体()22 ,0N 的简单随机样本，记()()243221432X X b X X a X -+-=，则当=a ，=b 时, 统计量X 服从2χ分布，其自由度为．分析由条件知4321,,,X X X X 相互独立且同正态分布()22 ,0N ．因此()212X X -服从正态分布()20,0N ，而()4343X X -服从正态分布()100,0N ，并且相互独立．由2χ变量典型模式知()()10043202243221X X X X T -+-=服从自由度为2的2χ分布，从而a=1/20 , b= 1/100．例6.3（2χ分布）设4321,,,X X X X 相互独立同服从标准正态分布，X 是算术平均值，则24X 服从参数为的分布．分析熟知4321X X X X +++服从正态分布)4,0(N ，因此()44243212X X X X X +++=服从自由度为“1”的“2χ”分布．例6.4（t 分布）假设总体)3,0(~2N X ，821,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则统计量282726254321X X X X X X X X Y ++++++=服从参数为的分布．分析由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见．)1,0(~6)(432143214321N X X X X X X X X X X X X U +++=++++++=D作为独立标准正态随机变量的平方和，99992822252X X X X +++=７６χ服从2χ分布，自由度为4；随机变量2 χ和U 显然相互独立．随机变量Y 可以表示为()4496228222541χUX X X X X X X X Y =++++++=７６３２．由t 分布随机变量的典型模式，可见随机变量Y 服从自由度为4的t 分布．例6.5（F 分布）设(1521,,,X X X )是来自正态总体()9,0N 的简单随机样本，则统计量2152122112102221 21X X X X X X Y ++++++= 的概率分布是参数为的分布．分析由2χ分布的典型模式，知99215211222102121X X X X ++=++= χχ和服从自由度相应为10和5的2χ分布，并且相互独立．从而，由F 变量的典型模式，知510 21222121521121021χχ=++++=X X X X Y 服从自由度为(10, 5)的F 分布．例6.6（F 分布）设X 服从自由度为ν的t 分布，则2X Y =服从参数为的分布．分析由自由度为ν的t 分布随机变量X 可以表示为νχν2UX =，其中2 ),1,0(~νχN U 服从自由度为ν的2χ分布，并且2νχ和U 独立．由2χ分布变量的典型模式，可见221U =χ服从自由度为1的2χ分布．因此，由F 分布变量的典型模式，可见随机变量νχχνχνν2212221===U X Y服从自由度为(1,ν)的F 分布．例6.7（F 分布）设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布并且相互独立，则22Y X Z =服从参数为的分布，．分析由于X 和Y 都服从标准正态分布，可见2X 和2Y 都服从自由度为1的2χ分布．此外，由X 和Y 独立，可见2X 和2Y ．从而，由服从F 分布的变量的典型模式，知22Y X Z =服从自由度为(1,1)的F 分布．例6.8（2χ分布）设总体)2,(~)2,(~b N Y a N X ，并且独立；基于分别来自总体X 和Y的容量相应为n m 和的简单随机样本，得样本方差22yx S S 和，则统计量 []22)1()1(21y x S n S m T -+-=服从参数为的分布．分析统计量T 服从自由度为2-+n m 的2χ分布．由(6.14)知2221)1(21 )1(21y x S n T S m T -=-=，分别服从自由度为m －1和服从自由度为n －1的2χ分布，并且相互独立．从而，由2χ分布随m+n －2的2χ分布．机变量的可加性知，T 服从自由度为例6.9（经验分布函数）设总体X 在区间[0,2]上服从均匀分布；()x F n 是基于来自X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意[]2,0∈x ，()x F n E = ．分析总体X 的分布函数为()x F =x/2，若[]2,0∈x ；()x F =0，若[]2,0∉x ．对于任意[]2,0∈x ，以)(x n ν表示n 次简单随机抽样事件}{x X ≤的出现的次数，则)(x n ν服从参数为()()x F n ,的二项分布，因此)()(E x nF x n =ν，从而()()2)(x x F nx x F n n ===νEE ．例6.10（经验分布函数）设（2,1,5,2,1,3,1）是来自总体X 的简单随机样本值，则总体X 的经验分布函数()xF n = .分析将各观测值按从小到大的顺序排列，得1,1,1, 2, 2, 3, 5，则经验分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=．若；若；若；若若 5 , 1 53 , 76 3 2 , 75 21 , 73;1 , 08x x x x x x F例6.11 设Y X 和是两个样本均值，基于来自同一正态总体),(2σμN 的两个相互独立且容量相同的简单随机样本，则满足{}05.0≤>-σY X P 的最小样本容量≥n 8 ．分析由于总体服从正态分布),(2σμN ，可见{}．05.022≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-n YX n Y X σσP P 6832.796.1296.122≈⨯≥≥n n，．5.14 （1）3ln4（2）532（3））（12χ（4）)5,10(F （5）23〖选择题〗例6.13（常用分布）设随机变量)1,0(~),1,0(~N Y N X ，则 (A) Y X +服从正态分布． (B) 22Y X +服从2χ分布． (C) 22Y X 服从F 分布． (D) 22Y X 和服从2χ分布． [ D ]分析因为标准正态分布变量的平方服从自由度为1的2χ分布．当随机变量Y X 和独立时可以保证选项(A),(B),(C)成立，但是题中并未要求随机变量Y X 和独立，选项(A),(B),(C)未必成立．6.14（F 分布）设n X X X ,,,21 是来自正态总体),0(~2σN X 的简单随机样本，则服从F 分布的统计量是()()]D [ 2)D (2)C ()B ( )A (2925242322212925242322212726252424232221292524232221．．．． X X X X X X Y X X X X X X Y X X X X X X X X Y X X X X X X Y +++++=+++++=++++++=+++++=分析本题可以直接选出正确的选项．事实上，选项（D ）可以表示为636)(3)(2623292524232221χχ=+++++=X X X X X X Y ．因为随机变量，，)(1)(1292524226232221223X X X X X X +++=++=σχσχ分别服从自由度为3和6的2χ分布，并且相互独立．因此，由服从F 分布的随机变量典型模式，知随机变Y 量服从自由度为)6,3(的F 分布．例6.17（正态总体）设总体X 的概率密度为)(x f ，而),,,(21n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，)()1(n X X X 和，相应为n X X X ,,,21 的样本均值、最小观测值和最大观测值，则)(x f 是(A) )1(X 的概率密度． (B) )(n X 的概率密度．(C) 1X 的概率密度． (D) X 的概率密度． [C ] 分析应选（C ）．1X 作为总体X 的一个观测值，与总体X 有相同的概率密度)(x f ．5.13 （1）C （2）D （3）D （4）C （5）A〖计算题〗例6.21（经验分布函数）假设)(x F 是总体X 的分布函数，)(x F n 是基于来自总体X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数．对于任意给定的)(∞<<-∞x x ，试求)(x F n 的概率分布、数学期望和方差．解以n ν表示自总体X 的n 次简单随机抽样中，事件{}x X ≤出现的次数，则n ν服从参数为())(,x F n 的二项分布．经验分布函数)(x F n 可以表示为)()()(∞<<-∞=x nx x F n n ν．由此可见，)(x F n 的概率分布、数学期望和方差相应为：{}[][][][][]．，；)(1)()()()(),,2,1,0()(1)(C )()(x F x nF x F x nF x F n k x F x F k x n k x F n n kn k k n n n -===-===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-D E P P νk m ki i k mi m 20C C C=∑=-．对于任意n>2，变量n X X X ,,,21 独立同服从参数为),(p m 的二项分布，则用数学归纳法容易证明n X X X +++ 21服从参数为),(p nm 的二项分布．从而，得X 的概率分布{}()．mn k p p C k X X n k X k mn k kmn n ,,1,0)1(1 =-==++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-P P例6.26（样本容量）假设总体X服从正态分布)4,(μN ，由来自体X 的简单随机样本得样本均值X ．试分别求满足下列各关系式的最小样本容量n ：(1) {}95.010.0≥≤-μX P ； (2) 10.0≤X D ； (3) 10.0≤-μX E ．解由于)4,(~μN X ，可见()n N X 4,~μ，从而)1,0(~2N nX U μ-=．(1) 由标准正态分布函数)(u Φ的数值表（附表1）或标准正态分布双侧分位数αu 表(附表2)，可见()()()()．96.196.195.005.005.0210.02--=≥--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-ΦΦΦΦμnn n n X P ；由此，得96.105.0≥n ．于是，为使{}10.010.0≤≤-μX P ，样本容量n 应满足153705.096.12≈⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n ．(2) 由于10.04≤=n X D ，可见40≥n . (3) 由于)1,0(~N U ，有． 22d e22d e21202222πππμ====⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰∞-∞∞--uu uu U n X u u E E由于10.0≤-μX E ，可见．，，255205.02210.022210.022≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππμn n n n X E 例6.23 假设总体X 服从正态分布)4,12(N ，而()521,,,X X X 是来自体X 的简单随机样本；X 的样本均值，)1(X 和)5(X 分别是最小观测值和最大观测值．试分别求事件{}13>X ，{}10)1(<X 和{}15)5(>X 的概率．解设)(x Φ是标准正态分布函数．(1) 由于总体X~)4,12(N ，可见样本均值X ~()4,12N ，因此{}{}{}．1414.08686.01)12.1(112.1118.1255212521213521213=-=-=≤-=>=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧->-=>ΦU U X X X P P P P P (2) 为求事件{}10)1(<X 的概率，先求最小观测值)1(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}{}；5515151521521)1(21211212212111],,,min[1],,,min[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≤-=>-=>-=≤=≤∏∏∏===x x X x Xx Xx X X X x X X X x X i i i ii iΦP P P P P P{}()[]()[]．4684.011111212101110555)1(=-=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=≤ΦΦΦX P (3) 为求事件{}15)5(>X 的概率，先求最大观测值)5(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}()[]．； 2922.05.1121215115212212212],,,max[55)5(511521)5(=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=≤=≤∏∏==ΦΦΦX x x X x Xx X X X x X i i i iP P P P P 55〖证明题〗例6.28 设总体()2,~σμN X ，而),,,,(121+n n X X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本；X 和2S 相应为根据),,,(21n X X X 计算的样本均值和样本方差．利用正态总体的样本均值和样本方差的性质，证明统计量11+-=+n nS X X t n 服从自由度为1-=n ν的t 分布．证明首先对所给统计量作变换，在统计量的表达式中将分子和分母同除以σ，得1)111222121-=-=+-==+-=++n S n n n XX U Un nS X X t n n νσχσνχ，（，，由于总体()2,~σμN X ，可见()21,~σμN X n +，()n N X 2,~σμ，从而()1,0~111,0~121N n nX X U n N X X n n +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++σσ，．熟知，对于正态总体，X 和2S 独立，随机变量222)1(σχS n -=服从自由度为1-=n ν的2χ分布．现在证明，1+n X ，X 和2S 独立．首先它们显然两两独立；其次对于任意实数w v ,,u ，有{}，，，， }{}{}{}{}{212121w v w v wv ≤≤≤=≤≤≤=≤≤≤+++S X u X S X u X S X u X n n n P P P P P P 其中第一个等式成立，因为n X X ,,1 和1+n X 独立；第二个等式成立，因为正态总体的样本均值和样本方差独立．从而1+n X －X 和2S 独立．于是，由服从t 分布的随机变量的典型模式，知统计量νχ2Ut =服从自由度为1-=n ν的t 分布．例6.29（样本均值和方差的独立性）假设总体()2,1=i X i 服从正态分布()2,i i μN σ；1X 和2X 相互独立；由来自总体()2,1=i X i 的简单随机样本，得样本均值i X 和样本方差2i S ．(1) 利用正态总体样本均值和样本方差的性质，证明4个随机变量1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 假设μμμ==21，证明()μαα=+2211X X E ，其中i α是统计量：()2,1 22212=+=i S S S i i α．证明 (1) 由于（1X ,21S ）与（2X ,22S ）分别依赖于两个相互独立的样本，可见它们相互独立；此外，由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，可见1X 和21S 以及2X 和22S 分别相互独立．因此，对于任意实数v ,,,u t s ，有{}{}{}{}{}{}{}．；v vv≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤222211222211222211 , , , , S u Xt S s X S u X t S s XS u X t S s X P P P P P P P从而1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 由于1X ,21S ,2X ,22S 相互独立，可见1α和1X 以及2α和2X 相互独立．从而，有()()()．2121221122112211μααμααμαααααα=+=+=+=+=+E E E E E E E E E E X X X X X X 例6.30(F 分布分位数) 设),(21f f F α是自由度为),(21f f 的F 分布水平α上侧分位数，证明1),(),(12121=-f f F f f F αα．证明设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从自由度为),(12f f 的F 分布（例6.7）．因此，有．．，ααααα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=----),(1),(1),(11121121121f f F X f f F X f f F X P P P由此可见),(),(121121f f F f f F --=αα，即1),(),(12121=-f f F f f F αα．例5.15 设某商店一小时内到达的顾客数X 服从参数为2的Poisson 分布, 1021,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(1) 求),,,(1021X X X 的联合分布律; （2）求X 的分布律.解：),,,(1021X X X 的联合分律为(){}∏======101102211,,,i i in x XP x X x X x X P,!!!!21101101λλλλn n x i i xe x x x ex i ii-=-∑===∏n i x i ,2,1,10,,1,0==（2）先求21X X +的概率分布()()()∑===+===+mk K X m X X P k X P m X X P 0121121|()()()λλλλ-=--=∑∑-⋅=-===e k m ek k m X P k X P mk km km k 021!!() ,2,1,0,!2!202===-=-∑m e m Cem mmk k mkλλλλ即()λ2~21p X X +，从而可用数学归纳法证明()λ10~101P Xi i∑=即∑==1011i i X n X 的分布函数为() ,3,2,1,0,!1010101==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑k e k n k X P k X P ki i λλ例5.16 设总体X 和Y 同服从)3,0(2N 分布, 而921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自总体X 和Y 的两个独立简单随机样本, 试证:统计量)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=解：)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=()1,0~33921N X X X ⋅+++ ,()9~3332229222221χY Y Y +++故)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=例5.17 设1+n 21,,,X X X 是正态总体的简单样本，设∑==n i i X n X 11和=2n S ()∑=-n i X i X n 121（1）试求])([))(1(2221∑=---ni i X X n μμ的分布. （2) 试求111+n +--n n S X X n的分布. 解：1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ（1）()()()()()1~)(,1~,1,0~2222211----∑=n X X N X ni i χσμχσμσμ()1,1~)()(1)1(])([))(1(2222212221----=---∑∑==n F X X n X X n ni i ni i σμσμμμ(2) 1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ因为()()1~,1,0~12221+n -+-n nS N nn X X nχσ()1~111221+n 1+n -+-=+--n t nS n n X X n n S X X n nσ例5.18 设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自两个独立的正态总体),(21σμN 和),(22σμN 的随机样本, α和β是两个实数, 试求nmn m S n S m Y X Z nm 222221212)1()1()()(βαμβμα+-+-+--+-=的概率分布. 其中21,m S X 和22,n S Y 分别是两个总体的样本均值和样本方差.解：由正态样本总体均值与样本方差的抽样分布定理知()(),1~,1~,,~,,~222222212221--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mS m mS n N Y m N X χσχσσμσμ 得 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-n m N Y X 2221,0~σσμβμα()2~222221-++n m mS mS χσ由t 分布的定义知()2~-+n m t Z例5.19 设 4321,,,X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的简单样本, 记243221)43(1001)2(201X X X X Y -+-=求EY 和DX .解： ()()()()02,2044442212121=-=⨯+=+=-X X E X D X D X X D()()()()043,10016943212143=-=+=-X X E X D X D X X D()()()(),1,0~10043,1,0~2024321N X X N X X --()()()()()()1~1004310043,1~20220222432432221221χχX X X X X X X X -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由2χ分布的可加性，得()2~)43(1001)2(2012243221χX X X X Y -+-=故()()4,2==Y D Y E例5.20 设n X X X ,,,21 为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，求样本的二阶原点矩的期望与方差.解：n X X X ,,,21 为独立同分布的随机变量，∑==n i i X n A 1221()()()()()()221212122111σμ+=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n i i i n i i n i i X E X D n X E n X n E A E()()241212211n X D n X n D A D n i i n i i σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==例5.21 设2621,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，求概率))16((26112101αt XXP j ji i≤∑∑==解：()(),16~,1,0~102611222101∑∑==j ji iX N Xχσσ()16~16110261122101t X Xj ji i∑∑==σσ所以αα-=≤∑∑==1))16(104(26112101t XXP j ji i例5.22 设921,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，试确定σ的值，使)31(<<X P 为最大.例5.23 设n X X X ,,,21 为取自总体)2,(~2μN X 的一个样本，X 为样本均值，要使1.0)(2≤-μX E 成立，则样本容量n 至少应取多少?例5.24 设总体X 服从)4,(a N 分布,Y 服从)4,(b N 分布, 而921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的两个独立的随机样本, 记∑=-=9121)(i i X XW ,∑=-=16122)(j iY Y W ,其中∑==9191i i X X ,∑==161161i i X Y(1) 求常数C, 使9.0)||(2=<-C W b Y P ; (2) 求)038.6709.0(12<<W WP参考答案（样本与抽样分布部分）5.15 (1) ,1,0,!!!2),,,(20102110102211101=∑====-=j x x e x x x x X x X x X P i i(2) ,2,1,0,!10)10(10===-k k e k X P k 5.17 （1）)1,1(-n F （2）)1(-n t ，5.18 )2(-+n m t ，5.19 2; 45.20 n4222;σμσ+，5.21 α-1，5.223ln 6，5.23 40，5.24 (1) 0.1132; (2) 0.9。

6第六章样本及抽样分布自测题及答案

第六章自测题时间：120分钟一、单项选择题 (每题5分，共25分) 1. 设总体2(,)XN μσ , 其中μ已知,2σ未知, X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是( )(A) 11n i i X n =∑ (B) 1min{}i i n X ≤≤ (C) 21ni i X μσ=-∑（） (D) 211n i i X n μ=-∑（） 2. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A) X +Y 服从正态分布；(B) X 2+Y 2服从χ2分布； (C) X 2和Y 2都服从χ2分布；(D) X 2/Y 2服从F 分布。

3. 设二维随机变量(X , Y )服从二维正态分布N (μ1, μ2, σ12, σ22, ρ) (ρ≠0)，则( )(A) 2X +Y 服从正态分布；(B) X 2+Y 2服从χ2分布； (C) X -Y 不服从正态分布；(D) X 2/Y 2服从F 分布.4．设X 1, X 2, …, X 11是来自正态总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，102211,10ii Y X ==∑,则下列选项正确的是( )(A)22(1)X χ ； (B) 22(10);Y χ (C) 11(10);X t Y (D) 2112(10,1).X F Y5. 设总体X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(,)N μσ,,X Y 分别是来自总体X 和Y 容量为n 的样本均值, 则当n 固定时, 概率{}P XY σ->的值随着σ的增大而( )(A)单调增大; (B) 单调减小; (C)保持不变; (D) 增减不定.二、填空题 (每题5分，共15分) 1. 设随机变量2110012...,XN X X ~（，）,，是取自X 的样本,X 为样本均值, 已知(0,1),Y aX b N =+ 则a ,b 的值为( ).2. 设总体X 服从正态分布)2,0(2N ,而1521,,,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量)(221521121021X X X X Y ++++= 服从（）分布，参数为（）.3. 设随机变量X 服从t (n ), 则21X 服从的分布为( ). 三、计算题 (共60分)1．设容量为n 的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大？2. 设X 1, X 2, …, X n 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，11,ni i X X n ==∑22221211(),(),nni i i i S X S X X μ===-=-∑∑ 试求22221122,,,.ES DS ES DS 3．设X 1, X 2, …, X 16是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，,X S 为样本均值和样本标准差，若{}0.95,P XaS μ>+=试求参数a .（0.05(15) 1.7531t =）4. 设总体X 服从正态分布)0(),(2>σσμN ，从中抽取简单随机样本n X X 21,, ，（2≥n ），其样本均值为∑==ni i X n X 2121，求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2( 的数学期望E (Y ).参考答案1.单项选择题 (1) C (2)C (3)A (4) C (5) C[选择题4解析]: 222(0,),(0,),X Y X Y N N n nσσ-- 则由此可知当n 固定时, {}{1}X YP X Y P σσ-->=>与σ无关. 故选择C. 事实上{}1{1}1[-]X YP X Y P σσ-->=-≤=-ΦΦ与σ无关.2. 填空题: (1) a =5 , b =-5或者a =-5 , b =5.(2) F; (10,5). [填空题2解析]:)5(~)(41),10(~)(41),1,0(~22215211221021χχX X X X N X i++∴ 且显然此二者相互独立，则：)5,10(~5)(4110)(41)(22152112102121521121021F X X X X X X X X Y +++=++++= (3) F (n ,1).[填空3解析]: 由X 服从t(n), 故存在2(0,1),(),,YN Z n Y Z χ 且相互独立使得()X t n =, 则2221//(,1)/1Z n Z n F n X Y Y == .3.计算题[计算题1解析]：设n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，则：)6,4.3(~121nN X n X n i i ∑==又由于：{1.4 5.4}33210.953X P X P ⎧⎪<<=-<<⎨⎪⎪⎩⎭=Φ-≥⎝⎭则：975.03≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ，查表得6.34)396.1(,96.132≈⨯≥∴≥n n , 即知n 至少应取35. [计算题2解析]：总体2(,),X N μσ 故2(,),(0,1)ii X X N N μμσσ- 且相互独立，故 2221121()()ni i X S Y n μχσσ=-==∑ ，则2222111221(),.S E ES n ES n σσσ===2224111241()2,2.S D DS n DS n σσσ===222221()(1),ni i X XS n χσσ=-=-∑ 所以2222222221()1,(1).S E ES n ES n σσσ==-=-2224222241()2(1),2(1).S D DS n DS n σσσ==-=-[计算题3解析]:222215(,),(15)16S X N σμχσ , 2,X S 相互独立, 则由t 分布的定义知4()(15)X T t S μ-=,故4(){}{4}{4}0.95,X P X aS P a P T a Sμμ->+=>=>=则4a 为t (15)的上0.95分位点, 即0.950.054(15)(15) 1.7531,0.4383.a t t a ==-=-=-则 [计算题4解析]:222222222)(,2)(,)(,)(,)(,)(μσσμμσσμ+===+===nX E nX D X E X E X D X E i i i212221(2)(4244)ni n i i ni n i i n i i n i i Y X X X X X X X X X X X X +=+++==+-=+++--∑∑∑∑∑∑∑==+===++-=-++=ni ni in i i n i n i ni ii n i iX X X n X X X X X X n X 2112221121222442422222212212)1(22)2(4)(2)()(2)(4)()(σμμσμσ-=++-+=+-=∑∑=+=n n nn n X E X E X nE X E Y E ni i n i n i i。

习题六__样本及抽样分布解答【范本模板】

样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体X 的一个样本观察值为:2.1，5。

4，3.2，9。

8，3.5,则样本均值 = 4.8 ,样本方差 =22.716;2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0。

9332 ；3．设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时），抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ;4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则721(4)i i P X =>=∑ 0.025 ；5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，22123456()()Y X X X X X X =+++++,则c =1/3 ；6．设随机变量,X Y 相互独立,均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9的 t 分布。

7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-,则a = 0。

05 ,b = 0。

01 时，统计量Y 服从2χ分布,其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机样本,则随机变量 22110221115...2(...)X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21~()(1),,X t n n Y X >=则~Y F （n ，1） ; 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=,A 为常数，则1()P X A>= 0.7 11若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2σμN 的一个样本,则∑==ni i n 11ξξ服从。

第六章样本及抽样分布例题

20 ( X − µ ) ∑ 2 i 服从 ( σ i=1
Xi
)2
+
16 (∑ i=13
Xi
)2
，问 c 取何值时，cY 服从 χ2 分布.
).
A. N (0, 1)B. Biblioteka (µ,C. χ2 (19)
D. χ2 (20)
n 1∑ 5. 设总体 X ∼ N (µ, σ 2 )， X1 , X2 , · · · , Xn 为其样本，记 X = Xi ， S 2 = n i=1 √ n 1 ∑ n(X − µ) 2 (Xi − X ) ，则 Y = 服从的分布是 ( ). n − 1 i=1 S
).
2. 设随机变量 X 和 Y 独立且都服从正态分布 N (0, 32 )，而 X1 , X2 , · · · , X9 和 X1 + X2 + · · · + X9 Y1 , Y2 , · · · , Y9 分别来自总体 X 和 Y 的样本，则统计量 U = √ 2 Y1 + Y22 + · · · + Y92 服从分布，参数为 . 三、解答题 1. 设 X1 , X2 , · · · , X16 是来自正态总体 N (0, 1) 的样本，记 Y =
学院
专业
班级
姓名
学号
概率论与数理统计练习题
2014 -2015学年第二学期
第六章样本及抽样分布
一、选择题 1. X1 , X2 , X3 是取自总体 X 的样本，a 是一未知参数，则统计量是 ( ). 3 1∑ (Xi − a)2 A. X1 + aX2 B. X1 X3 C. aX1 X2 X3 D. 3 i=1 2. X1 , X2 , · · · , Xn 是取自总体 X 的样本，则 A. 样本矩 B. 二阶原点矩

抽样分布习题及答案【范本模板】

第4章抽样分布自测题选择题1。

抽样分布是指（）A 。

一个样本各观测值的分布B 。

总体中各观测值的分布C 。

样本统计量的分布D 。

样本数量的分布2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时,样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（）A. μB. xC. 2σ D 。

n 2σ 3。

根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时,样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ )A. μB. x C 。

2σ D. n 2σ 4。

从均值为μ,方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ )A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布C 。

样本均值x 的分布与n 无关D 。

无论n 多大,样本均值x 的分布都是非正态分布5。

假设总体服从均匀分布,从该总体中抽取容量为36的样本,则样本均值的抽样分布（） A 。

服从非正态分布 B. 近似正态分布C 。

服从均匀分布 D. 服从2χ分布6。

从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（）A. 保持不变B. 增加C.减小 D 。

无法确定7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。

由于在某些节日的营业额偏高,所以每日营业额的分布是右偏的,假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A 。

正态分布,均值为250元，标准差为40元B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元C 。

右偏，均值为2500元，标准差为400元D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的,均值为12分钟，标准差为3分钟.如果从饭店门口随机抽取81名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（）A. 正态分布，均值为12分钟,标准差为0。

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习题六样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716；2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ；3．设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ；4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则721(4)i i P X =>=∑ 0.025 ；5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9的 t 分布。

7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量 22110221115...2(...)X X Y X X ++=++ 服从 F 分布，参数为 10,5 ；9．设随机变量21~()(1),,X t n n Y X>=则~Y F(n,1) ；10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1()P X A>= 0.7 二、选择题1．设12,,...,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记222222123111111(),(),(),11n n n i i i i i i S X X S X X S X n n n μ====-=-=---∑∑∑ 22411(),n i i S X n μ==-∑则服从自由度1n -的t 分布的随机变量是T =（ A ）；A．BCD2．设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是X 总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的,()n x F x （ B ）A ．是分布函数B ．依概率收敛于()F xC ．是一个统计量D ．其数学期望是()F x3．设总体X 服从0－1分布，125,,...,X X X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A ．12345min{,,,,}X X X X X B ．1(1)X p X --C ．12345max{,,,,}X X X X XD ．55X X -4．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而2σ未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。

A ．21()ni i X μ=-∑ B ．211()n i i X X n =-∑C ．21()ni i Xσ=∑ D ．min{}i X5．设12,,...,n X X X 和12,,...,n Y Y Y 分别来自两个正态总体2(1,2)N -和(2,5)N 的样本，且相互独立，2212,S S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是（ B ）A ．2122S SB ．212254S SC ．212245S SD ．212252S S 6．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ）A ．,X S 相互独立；B ．X 与2(1)n S -相互独立；C ．X 与2211()n i i X X σ=-∑相互独立D ．X 与2211()n i i X μσ=-∑相互独立。

7．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(),1n i i S X X n ==--∑ 则2()D S 等于（）A ．4n σ B ．42nσ C ．41n σ- D ．421n σ-8．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为1n -的t －分布的随机变量是（ C ）A． BC ．n X SD ．2n X S9．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则（ C ）A ．22~(1,1)XF n S - B ．22(1)~(1,1)n X F n S -- C ．22~(1,1)nX F n S - D ．22(1)~(1,1)n XF n S +-三、解答题1．设123,,X X X 是总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而0σ>未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？（1）123X X X ++；是（2）33X μ+；是（3）1X ；是（4）22X μ；是（5）312ii Xσ=∑；不是（6）max{}i X ；是（7）3X σ+；不是2．在总体2(52,6.3)N 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。

解：26.3~(52,)36X N }{{}5250.853.8 1.142 1.7146.3/6(1.714)( 1.142)0.8293X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-= 3．对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值x 与样本方差的观测值2s ，由此你能得到什么结论?(1)5，2，3，5，8： x =4.6 222.059s =(2)105，102， 103，105，108 x =104.6 222.059s =4．设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本12,,...,n X X X 的概率函数或密度函数： (1)~(1,)X B p ； (2)~()X Exp λ；(3)~(0,),0X U θθ>。

解：(1) 1()(1),0,1i i x x i P X x p p i -==-=1111122,1(,,)(1)(1)nniii iii in x x nx x n n i P X x X x X x p p p p ==--=∑∑====-=-∏K(2) ,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩111211,0(1,2,,)(,,,)()0,0,0(1,2,,)niii nx n x nn i i n i i i i e e x i n f x x x f x x i n λλλλ=--===⎧⎧∑⎪⎪>====⎨⎨⎪⎪⎩≤=⎩∏∏∏K K K (3) 1,0()0,0f x θθθ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩1211,(,,,)()0(1,2,)0,.nn n i i i f x x x f x x i n o wθθ=⎧⎪==≤≤=⎨⎪⎩∏K K5. 设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别求出2(),(),()E X D X E S .(1)~(1,)X B p ； 2(1)(),(),()(1)p p E X p D X E S p p n-===- (2)~()X Exp λ； 222111(),(),()E X D X E S n λλλ===(3)~(0,),0X U θθ>。

222(),(),()21212E X D X E S n θθθ===6. 设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ，试证：（1）22211~()nii Xn χσ=∑；（2）22211()~(1)n i i X n χσ=∑解：（1）12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ~(0,1),(1,2)i i X XN i n σσ=K 独立，2222111()~()n niii i X X n χσσ===∑∑（2）21~(0,~(0,1)nini i XX N n N σ=∑∑222211()~(1)n i ni i X X n χσ=⎛⎫⎪=⎭⎝∑∑ 7．设12,X X 是取自总体X 的一个样本．试证：1X X - 与 2X X - 相关系数等于-1. 解：[22121111122211122221212122111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)](0)222211((,222211cov(,),22cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)02X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X σσσσσσσσσ+==+=+=-++-==---=--+=--22D （）=D ）D ）-2cov()=同理D （）=222222σσσ+=-1222,212X X XXX X σρσ---=== 8. 设12,,...,n X X X 是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，试求统计量1ni i i c X =∑的分布，其中(1,2,...,)i c i n =是不全为零的已知常数。

解：22111~(,)n n ni i i i i i i c X N c c μσ===∑∑∑9. 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别是取自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本，且相互独立，试求统计量U aX bY =+的分布，其中,a b 是不全为零的已知常数；解：2222111111~(,),1,2,,,~(,),~(,)i a X N i n X N a X N a n n σσμσμμ=K2222222222~(,),1,2,,,~(,),~(,)j b Y N j m Y N bX N b n n σσμσμμ=K22221212~(,)a b aX bX N a b n nσσμμ+++10. 设125,,...,X X X 是取自正态总体2(0,)N σ的一个样本,试证:(1) 当32k =时,(3);k t :；(2)当k =2(1,3);k F :解：（1）2~(0,),1,25i X N i σ=K212~(0,2~(0,1)X X N N σ+2225222345230~(0,1),3,4,5,()~(3),~(3)~t(3),~t(3)i ii X X X X X N i χχσσσ=-++=∴∑即，（2）212~(0,2~(0,1)X X N N σ+222222333122221222122222223333332()~(1),~(3)2()()332~(1,3),223X X X X X X X X X F K X X X X X X χχσσσσ+++++=∴=++++11. 设124,,...,X X X 是独立同分布的随机变量，且它们都服从(0,4)N ，试证：当11,20100a b ==时，2221234(2)(34)~(2)a X X b X X χ-+-.解：122~(0,~(0,1)X X N N -3434~~(0,1)X X N N -2222221234~(2)11(2)(34)~(2)2010011,20100X X X X a b χχ+-+-==12. 设121,,...,,n n X X X X +是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，记221111,()n n n i n i i i X X S X X n n ====-∑∑~()t n ；13. 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，从中抽取简单随机样本122,,...,n X X X ,其样本均值为211,2ni i X X n ==∑求统计量21(2)n i n i i Y X X X +==+-∑的数学期望。

(完整word版)习题六样本及抽样分布