数理统计的基本概念汇总

6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。

能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。

2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。

3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。

4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。

了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。

了解正态总体的某些常用抽样分布。

6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。

总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。

2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。

3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。

4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。

149150若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。

6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。

则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。

1512 经验分布函数定义 设(X 1，X 2，…，X n )为总体X 的一个样本，其样本值为(x 1，x 2，…，x n )，则称函数)(},,,{)(21+∞<<-∞=x nx x x x F x n n 的个数中小于或等于为样本值(x 1，x 2，…，x n )的经验分布函数。

则经验分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=<≤++<=+.1)1,,2,1(,,,,0)(**1*1*1l i i in x x l i x x x n n n x x x F (6.3)6.2.3 几个重要分布及临界值1．2χ分布 设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且X i ～N (0，1) (i =1，2，…，n )，则称随机变量∑==+++=ni i nX X X X 12222212χ152服从自由度为n 的2χ分布，简记为2χ～2χ(n )。

2 2χ分布的性质： (1)设2χ～2χ(n )，则n E =2χ, n D 22=χ(2)设)(~121n Y χ，)(~222n Y χ，且Y 1，Y 2相互独立，则有)(~21221n n Y Y ++χ3．t 分布 设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量n Y X T /=服从自由度为n 的t 分布，或称学生氏(Student )分布，简记为T ～t (n )。

4．t 分布的性质 (1) )2(2))((,0))((>-==n n nn t D n t E (2) 2221)(lim x n ex f -∞→=π；这里f (x )为t 分布的概率密度函数。

5．F 分布 设)(~2m X χ，)(~2n Y χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量n Y m X F //=所服从的分布是自由度为m ，n 的F 分布，简记为F ～F (m ，n )。

6．F 分布的性质 (1) 若),,(~n m F X 则(2) )4()4()2()422(),2(222>---+=>-=n n n m n m n DX n n n EX (2) 若F ～F (m ，n )，则),(~1m n F F。

1537．临界值(1) 标准正态分布的临界值 设X ～N (0，1)，对给定的正数α)10(<<α，若存在实数αz 满足απαα==>⎰∞+-z t dt ez X P 2221}{则称点αz 为标准正态分布X 的α临界值 (或称上α分位点或分位数)。

由αα-=Φ1)(z ，若已知α)5.00(≤≤α，可通过反查标准正态分布表，求出α临界值αz 。

当5.0>α时，表中无法查出，此时查表αα=Φ-)(1z ，再由αα--=1z z 可求得临界值αz 。

(2)2χ分布的临界值 设)(~22n χχ，概率密度为f (x )。

对给定的数α(0＜α＜1)，若存在实数)(2n αχ满足αχχαχα==>⎰+∞dx x f n P n )(222)()}({则称数)(2n αχ为2χ分布的α临界值。

已知n ，α，通过查2χ分布表可求得)(2n αχ。

当n ＞45时，可利用近似公式：,)12(21)(22-+≈n z n ααχ这里αz 是标准正态分布的临界值。

(3) t 分布的临界值 设T ～t (n )，概率密度为f (x )。

对给定的α(0＜α＜1)。

若存在实数)(n t α满足ααα==>⎰∞+)()()}({n tx f n t T P则称点)(n t α为t 分布的α临界值。

已知n ，α，通过查t 分布表可求得)(n t α。

注：1) 类似标准正态分布临界值的性质，对t 分布亦有：)()(1n t n t αα--=；1542) 当n ＞45时，可用正态分布近似 ααz n t ≈)(。

(4) F 分布的临界值 设F ～F (m ， n )，概率密度为f (x )。

对给定的α(0＜α＜1)，若存在实数αF (m ，n )满足ααα==>⎰+∞dx x f n m F F P n m F),()()},({则称数αF (m ，n )为F 分布的α临界值。

注意公式=-),(1n m F α),(1m n F α6.2.4 统计量及样本矩1．统计量 设(X 1，X 2，…，X n )为总体X 的一个样本，ϕ(X 1，X 2，…，X n )是X 1，X 2，…，X n 的函数，若ϕ是连续函数且不含末知参数，则称ϕ(X 1，X 2，…，X n )是一个统计量。

2．几个常用的统计量——样本矩 (1)样本均值 ∑==ni i X n X 11。

(2)样本方差212)(11X X n S i n i --=∑=。

(3)样本标准差 21)(11X X n S i ni --=∑=。

(4)样本k 阶原点矩,2,1,11==∑=k X n A n i ki k 。

(5)样本k 阶中心矩,2,1,)(11=-=∑=k X X n B k i ni k 。

3 样本矩与总体矩的关系由样本的独立性及与总体同分布这一特性出发，运用数字特征的运算法则，可得：若总体X 的期望、方差存在，即μ=EX ，2σ=DX ，155又（X 1，X 2，…，X n )是取自总体X 的一个样本，则μ=X E ，nX D 2σ=；22σ=ES ，221σnn EB -=。

（6.4） 上述结论无论总体服从什么样的分布都正确，故它是计算任意总体，特别是非正态总体的样本均值X 和样本方差2S 的期望、方差的常用结论。

6.2.5 正态总体样本均值和样本方差的分布1． 设总体X ～N (2,σμ)，(n X X ,,1 )为样本，X 为样本均值，2S 为样本方差(1) X ～),(2nN σμ，或nX /σμ-～N (0，1)； (6.5)(2))(~)(2212n Xni iχσμ∑=- (6.6)(3))1(~))1(~)1(2212222----∑=n X X n S n ni iχσχσ（或， (6.7)(4) 样本均值X 与样本方差2S 相互独立；(5)nS X /μ-～)1(-n t (6.8)2．设(1,,1n X X )是取自总体X 的一个样本，(2,,1n Y Y )是取自总体Y 的一个样本，且这两个样本相互独立，即假定1,,1n X X ，2,,1n Y Y 是n 1+n 2个相互独立的随机变量。

若总体X ～N (211,σμ)，Y ～N (222,σμ)，则有1561)22212121)()(n n Y X σσμμ+---～N (0，1)； (6.9)2)22222121//σσS S ～F (n 1－1，n 2－1)； (6.10) 3)当22221σσσ==时，有212111)()(n n S Y X W +⋅---μμ～t (n 1+n 2－2)； (6.11)其中∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n i i Y Y n S ，2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S W。

6.3 典型例题分析已知总体，求样本的联合分布例1.设(X 1，X 2，…，X n )是取自总体X 的一个样本。

试在下列三种情况下，分别写出样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布律或联合概率密度。

(1)X ～B (1，p )；(2)X 服从参数为λ的指数分布；(3)X 服从(0，θ)(θ>0)上的均匀分布。

分析: 解此类题先写出总体X 的分布律（或概率密度）；再由X i 与X 有相同的分布以及X i 之间的相互独立性，由式（6.1），（6.2）即可写出样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布律或联合概率密度。

解:（1） 因为总体分布律为1,0)1(}{1=-==-k p p k X P kk157于是1,0,)1(}{1=-==-i k k i i k p p k X P i i 样本),,,(21n X X X 的联合分布律为:ni k p pk X P k X P k X P k X k X k X P i k n k n n n n ni ini i,,2,1,1,0)1(}{}{}{},,,{1122112211 ==-==⋅⋅=⋅=====∑∑==-(2) 因为总体概率密度函数为：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ所以，每一个样本i X 的概率密度为：n i x x e x f i i x i i ,,2,1;0,00,)( =⎩⎨⎧≤>=-λλ故样本),,,(21n X X X 的联合概率密度为：ni x x e x f x f x f x x x f i i x nn n ni i ,,2,1;0,00,)()()(),,,(12121 =⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⋅⋅⋅=∑=-λλ （3）因为总体概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x f所以样本X i 的概率密度为158⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθi i x x f故，样本),,,(21n X X X 的联合概率密度为：n i x x f x x x f i n ni i n ,,2,1;,00,)(),,,(121 =⎩⎨⎧<<==-=∏其它θθ例2．设X ～N (2,σμ)，(X 1，X 2，X 3)为来自总体X 的一个样本。