数理统计的基本概念汇总

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6数理统计的基本概念

6.1 基本要求

1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下,正确无误地写出样本的联合分布,这是本章的难点。

2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义,了解频率直方图的作法。

3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质,了解临界值的概念并会查表计算。

4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质,能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。

6.2 内容提要

6.2.1 总体和样本

1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体),组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量,常用X,Y等来表示。

2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本,其中每个个体称为样品,它们都是随机变量。

3 简单随机样本设X1,X2,…,X n是来自总体X的容量为n 的样本,如果这n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布,则称X1,X2,…,X n为总体X的简单随机样本。

4 样本的联合分布

*该部分内容考研不作要求。

149

150

若总体X 具有分布函数F (x ),则样本(X 1,X 2,…,X n )的联合分布函数为

∏==n

i i n x F x x x F 1

21)

(),,,(

若总体X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f (x ),则样本的联合概率密度为

∏==

n

i i

n x f x x x f 1

21)

(),,,( (6.1)

若总体X 为离散型随机变量,其分布律为P {X =a i }=p i (i =1,2,…n),则样本的联合分布为

∏======n

i i i n n x X P x X x X x X P 1

2211}

{},,,{ (6.2)

其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。 6.2.2 样本分布

1 频率分布

设样本值(x 1,x 2,…,x n )中不同的数值是x 1*,x 2*,…,x l *,记相应的频数分别为n 1,n 2,…,n l ,其中

x 1*< x 2*<…< x l *且

n n l

i i =∑=1

则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。

151

2 经验分布函数

定义 设(X 1,X 2,…,X n )为总体X 的一个样本,其样本值为(x 1,x 2,…,x n ),则称函数

)

(}

,,,{)(21+∞<<-∞=

x n

x x x x F x n n 的个数中小于或等于

为样本值(x 1,x 2,…,x n )的经验分布函数。

则经验分布函数

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥-=<≤++<=+.1)1,,2,1(,,,,0)(**1*1*

1l i i i

n x x l i x x x n n n x x x F (6.3)

6.2.3 几个重要分布及临界值

1.2

χ分布 设X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且X i ~N (0,1) (i =1,2,…,n ),则称随机变量

∑==+++=n

i i n

X X X X 1

2222

21

2

χ

152

服从自由度为n 的2χ分布,简记为2χ~2

χ(n )。

2 2

χ分布的性质: (1)设2χ~2χ(n ),则n E =2

χ

, n D 22=χ

(2)设)(~12

1n Y χ,)(~22

2n Y χ,且Y 1,Y 2相互独立,则有

)(~21221n n Y Y ++χ

3.t 分布 设)1,0(~N X ,)(~2

n Y χ,且X ,Y 相互独立,则称随机变量

n Y X T /=

服从自由度为n 的t 分布,或称学生氏(Student )分布,简记为T ~t (n )。

4.t 分布的性质 (1) )2(2

))((,0))((>-=

=n n n

n t D n t E (2) 2

221

)(lim x n e

x f -

→=

π

;这里f (x )为t 分布的概率密度函数。

5.F 分布 设)(~2m X χ,)(~2

n Y χ,且X ,Y 相互独立,

则称随机变量

n Y m X F //=

所服从的分布是自由度为m ,n 的F 分布,简记为F ~F (m ,n )。

6.F 分布的性质 (1) 若),,(~n m F X 则

(2) )4()

4()2()

422(),2(22

2>---+=>-=n n n m n m n DX n n n EX (2) 若F ~F (m ,n ),则),(~1

m n F F

153

7.临界值

(1) 标准正态分布的临界值 设X ~N (0,1),对给定的正数α)10(<<α,若存在实数αz 满足

α

π

α

α==

>⎰∞

+-

z t dt e

z X P 2

2

21

}{

则称点αz 为标准正态分布X 的α临界值 (或称上α分位点或分位数)。

由α

α-=Φ1)(z ,

若已知α)5.00(≤≤α,可通过反查标准正态分布表,求出α临界值αz 。当5.0>α时,表中无法查出,此时查表αα=Φ-)(1z ,再由αα--=1z z 可求得临界值αz 。

(2)2χ分布的临界值 设)(~2

2n χχ,概率密度为f (x )。对给定的数α(0<α<1),若存在实数)(2

n αχ满足

α

χχαχα==>⎰+∞

dx x f n P n )

(2

22

)()}({

则称数)(2

n αχ为2

χ分布的α临界值。已知n ,α,通过查2

χ分布

表可求得)(2

n αχ。当n >45时,可利用近似公式:

,)12(2

1

)(22-+≈n z n ααχ

这里αz 是标准正态分布的临界值。

(3) t 分布的临界值 设T ~t (n ),概率密度为f (x )。对给定的α(0<α<1)。若存在实数)(n t α满足

α

αα==>⎰∞

+)

()()}({n t

x f n t T P

则称点)(n t α为t 分布的α临界值。已知n ,α,通过查t 分布表可求

得)(n t α。

注:1) 类似标准正态分布临界值的性质,对t 分布亦有:

)()(1n t n t αα--=;

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