高等数学上下册精品课程
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞)，值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间
− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数，记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记作 = .
2．复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗？
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ，对于每
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
例如，函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数；
= 2 和 = 都是偶函数； = 3 和 = 都是奇函数； = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2．函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成，
那[()]和 是否相同？
显然是不相同的，例如() = 与() = 2 复合，如若将()看成外
值，记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值，对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则，它也可以
用其它字母表示，如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义，必有5 2 + 2 ≠ 0，解得 ≠ 0且 ≠ − .
高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
高等数学教材系列目录
高等数学教材系列目录引言：高等数学作为大学本科的基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
为了满足学生对高等数学教材的需求，本文将探讨高等数学教材系列的目录，并介绍每本教材的内容和特点。
第一册：微积分导论1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的极限及其计算方法1.3 极限存在准则与极限运算法则1.4 极限的无穷性与无穷小2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的计算法则2.4 高阶导数与隐函数的导数3. 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理与罗尔定理3.2 导数的应用之极值与最值3.3 导数的应用之曲线的凹凸性与拐点 3.4 泰勒公式与函数的近似计算第二册：多元函数与微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的极限的定义与性质1.2 二重极限的计算方法1.3 多元函数的连续性与连续函数的性质1.4 多元函数的间断点与可去间断点2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数与偏导数的计算 2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 多元复合函数的偏导数与链式法则2.4 全微分与全微分近似计算3. 多元函数的极值与条件极值3.1 多元函数的极值与最值的概念3.2 多元函数的极值判定条件3.3 条件极值与拉格朗日乘数法3.4 多元函数的条件极值的应用第三册：重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标） 1.3 三重积分的概念与性质1.4 三重积分的计算方法（直角坐标与柱面坐标）2. 重积分的应用2.1 质量、质心与转动惯量2.2 二重积分中的面积与变量替换2.3 三重积分中的体积与变量替换2.4 重积分在物理问题中的应用3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分与第二类曲线积分3.2 曲线积分的计算方法3.3 曲面积分的概念与性质3.4 曲面积分的计算方法（参数表示与一般参数）结语：高等数学教材系列的目录旨在系统地介绍高等数学的各个分支领域，帮助学生全面理解数学的概念与方法，并培养分析问题与解决问题的能力。
同济高等数学第六版上册市公开课金奖市赛课一等奖课件
第9页
已知 f ( x) 存在，且 f ( x) 0, y ln[ f ( x)],
求
d2y dx2 .
解
dy f ( x)
dx f ( x)
d 2 y f ( x) f ( x) [ f ( x)]2
dx2
f 2(x)
第10页
设ƒ(x)含有任意阶导数, 且 f '( x) e f ( x) , f (0) 1 , 则求 f (n)(0). 解 f '( x) e f ( x)
x0
x
f (n) ( x) lim f (n1) ( x x) f (n1) ( x)
x0
x
定义1 普通地,假如函数 y =ƒ(x)n-1 阶导数仍可导时, 则 函数 y =ƒ(x) n –1阶导数导数称为函数 y =ƒ(x)n 阶导数, 即
并记为
y(n) [ y(n1) ]
y(n) ,
y
''
(1
1 x)2
,
y
'''
(1
2! x)3
,
y(4)
(1
3! x)4
,
,
(
y )( n )
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
尤其地
(ln
x )( n )
(1)n1
(n 1)! xn
第7页
(4) (sin x) cos x sin( x )
2
(sin x) [sin( x )]
f
(n)
(
x),
dny dx n
,
dn dx
f
n
.
第3页
注1 二阶和二阶以上导数为高阶导数.为了以便, 记 f (x) f (0)(x)
大一高等数学教材2-6省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
t t
cos t sin t
在t
2
处的法线方程________.
4、已知 x y
et et
cos t ,则dy sin t dx
=______；dy dx
t
3
=______.
5、设 xy e x y ,则dy =________. dx
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2,
求 (1)炮弹在时刻 t0的运动方向 ;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切线方向
0
,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt
2
)
v0
sin
gt
dx
(v0t cos )
v0 cos
dy dx
t t0
v0 sin gt0 v0 cos
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
高等数学39省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点 D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处旳曲率半径与曲线在该点处旳 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处旳曲率半径越大,曲线在该点 处旳曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
(2) 圆上各点处旳曲率等于半径旳倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率旳计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
y
ds 1 y2dx. k
3.
(1 y2 )2
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
y
单调增函数 s s( x). 设N ( x x, y y), 如图，
o
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
1
kA
y
3
(1 y2 )2
x x0
(1
R l2
4R2
3
)2
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
高等数学32省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
二、用洛必达法则求下列极限：
1、
lim
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
x0
x0
例11：lim x
2
arctan
x
x
1
lim
x
exp
x
ln
2
arctan
x
0
exp
0 0
lim
x
ln(2
/
) ln 1/ x
arctan
x
exp
lim
x
1
/
(arctan x(1 1/ x2
x
2
))
exp
lim
x
1 arctan
x
x2 1 x2
2
解 原式 lim x sin x x0 x sin x
lim 1 cos x 0. x0 sin x x cos x
3. 00 ,1 ,0 型
环节: 00
0 ln 0
1
取对数
ln1
0 .
0
0 ln
例9 解
求 lim x x . x0
( 00 )
ln x
lim
x0
1
原式
x e x
解解：： lliimm xxx
xxnnn eexxx
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。
3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。
4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。
二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。
2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。
3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。
4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。
2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。
2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。
4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。
5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。
6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。
六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。
新版高等数学公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
左右。
第29页
第八章 波形产生电路与变换电路
＋UCC 10 k
1 k
R
4.7 k
4.7 k
4
5
6
8
ICL8038
10 11 12
9 3 2
1
20 k
C
－UEE
100 k 10 k
图 8 – 13 频率可调和失真小函数发生器
10 k 100 k
第30页
第八章 波形产生电路与变换电路
＋UCC
扫频 电压
＋Uz
R2 R2 R3
Uz
Uz T2
O
t
R2 R2 R3
Uz
－Uz
T1 －Uz
图 8 – 4 矩形波产生电路波形图
第9页
第八章 波形产生电路与变换电路
2. 其中
T T1 T2
T1
放1n
uC () uC ()
uC (0 ) uC (T1)
放 RC
uC () Uz
uC (0 )
R2
R2
U
R2 R2 R3
Uz
第7页
第八章 波形产生电路与变换电路
此时, 输出电压uo=+Uz对电容充电, 使 uo Uz 由零逐步
上升。 U
U
, uo=+Uz不变。当 U U
输出电压uo从高电平+Uz跳变为低电平-Uz。
当uo=-Uz时, 集成运放同相输入端电位也随之发生跳
变, 其值为
U
R2 R2 R3
R3
U
z
uC
(T1)
R2 R2
R3
Uz
（8-4）
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第八章 波形产生电路与变换电路
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分、积分等基本概念及其计算方法；2. 能够运用所学知识解决实际问题，如物理、几何、经济等领域的问题；3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点难点：极限的概念、导数的计算规则、积分的应用、微分方程的解法。
重点：极限与连续的关系、导数的应用、不定积分与定积分的计算、级数的收敛性判断。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际案例，如物体运动、几何图形的面积等，引出极限、导数、积分等概念；2. 例题讲解：详细讲解典型例题，分析解题思路和方法；3. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；5. 课堂讨论：针对学生遇到的问题，进行讨论和解答；6. 课后作业布置：布置具有代表性的作业题目，巩固课堂所学。
六、板书设计1. 采用粗体字，突出重点；2. 例题：用红色粉笔标注关键步骤和易错点；3. 知识点：用蓝色粉笔书写，清晰易懂；4. 课堂讨论：用不同颜色的粉笔记录学生的观点和疑问。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求函数在一点的极限；（2）计算函数在某一点的导数；（3）求函数的不定积分和定积分；（4）解微分方程；（5）判断级数的收敛性。
2. 答案：详细给出每个题目的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生学习相关数学软件（如MATLAB、Mathematica等），提高数学计算和建模能力；推荐阅读相关数学书籍，拓宽知识面。
重点和难点解析1. 教学内容的难点与重点；2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习；3. 板书设计；4. 作业设计；5. 课后反思及拓展延伸。
一、教学内容的难点与重点（1）极限的概念：要详细解释函数在一点处极限的定义，以及极限的性质，如唯一性、局部有界性等；（2）导数的计算规则：重点讲解导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则等；（3）积分的应用：详细介绍积分在几何、物理、经济等领域中的应用，如求面积、体积、质心、曲线弧长等；（4）微分方程的解法：详细讲解常见微分方程的解法，如可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
高等数学精品课程说课-PPT课件
二、高等数学的教学目标
（1）知识培养目标：通过本课程学习，使学生掌握高等数学的基本概念、 基本理论和基本运算。 （2）能力培养目标：通过本课程学习，培养学生比较熟练的运算能力、 综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，培养具有一定理论知 识和较强实践能力，面向基层、面向生产、服务和管理第一线职业岗 位的实用型、技能型人才。 （3）情感培养目标：通过本课程学习，培养学生坚强的意志、踏实的工 作精神、办事认真的态度、团结协作精神，提高数学文化素养。
背景来源——面积的计算
矩形的面积定义为两直角边长度的乘积！ 闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这 些“边角余料”无外乎是下图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
一般图形的面积是什么？
我们把这样的“典型图形”称为 “曲边多边形”
“曲边多边形”面积的计算问题就产生了定积分
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教学方法
• 教学方法是教师为教学任务所采用的手段，对实现教学目的有重要意义 是受教学目的、教学内容所制约的。 根据高等数学的教学内容及教学目的我们在教学中常采用的教学方法有;讲 授法、谈话法、演示法、读书指导法、练习法、多媒体教学等方法。 基本概念、基本定义、教学重点、教学难点常采用讲授法。在教学中有时采 用引进实际例子，分析和解决实际问题的方法抽象或建立数学模型即数 学概念或定义（函数、导数、定积分）。并应用他们及其性质去解决实 际问题以提高学生学习数学的兴趣，培养学生抽象思维的能力。基本概 念、基本定义、性质的应用常采用谈话法和练习法。在作习题时要强调 不仅要知道“其然”而且要知道其“所以然”，提高学生分析问题和解 决问题的能力。 还要用到一种其它学科不常用的教学方法“数型相结合”的教学方法。使学 生看到数学作为一种工具的魅力。定积分在几何上的应用（用代数方法 解决几何问题）
大学高等数学教材上下册
大学高等数学教材上下册第一章：导数与微分导论本章介绍一、导数的概念与求法1.1 导数的定义1.2 导数的几何意义1.3 函数的微分1.4 导数的四则运算法则二、常用初等函数的导数2.1 幂函数的导数2.2 指数函数的导数2.3 对数函数的导数2.4 三角函数的导数2.5 反三角函数的导数2.6 常数函数、常函数的导数三、隐函数与参数方程求导3.1 隐函数与隐式求导3.2 参数方程与参数方程求导四、高阶导数与高阶微分4.1 高阶导数定义4.2 高阶导数求法4.3 高阶微分及其应用第二章：微分学中值定理导论本章介绍一、罗尔中值定理1.1 罗尔中值定理的形式及证明1.2 罗尔中值定理的应用二、拉格朗日中值定理2.1 拉格朗日中值定理的形式及证明2.2 拉格朗日中值定理的几何意义2.3 拉格朗日中值定理的应用三、柯西中值定理3.1 柯西中值定理的形式及证明3.2 柯西中值定理的应用四、达布中值定理4.1 达布中值定理的形式及证明4.2 达布中值定理的应用第三章：不定积分与定积分导论本章介绍一、不定积分的定义与基本性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的基本性质二、计算不定积分2.1 凑微分法2.2 换元积分法2.3 分部积分法2.4 有理分式积分法三、定积分的定义与性质3.1 定积分的定义3.2 定积分的性质四、定积分的计算4.1 几何意义与物理意义4.2 表达定积分的基本性质4.3 定积分的计算方法第四章：定积分的应用导论本章介绍一、定积分的几何应用1.1 曲线与曲线长度1.2 旋转体的体积与曲面积二、定积分的物理应用2.1 质量、质心与转动惯量2.2 引力与万有引力定律三、定积分的经济应用3.1 总收入、净利润与平均收入3.2 生产函数、收益函数与边际产量总结通过学习上下册的大学高等数学教材，我们对导数与微分、微分学中值定理、不定积分与定积分以及定积分的应用等知识进行了系统的学习与掌握。
这些内容不仅仅是数学知识的学习，更是应用到实际问题中的重要工具。
高等数学必备教材目录
高等数学必备教材目录1. 高等数学教材介绍1.1 《高等数学》第一册1.2 《高等数学》第二册1.3 《高等数学》第三册2. 基本概念与定理2.1 实数与复数2.2 极限与连续2.3 函数与导数2.4 微分与微分方程2.5 积分与积分应用3. 数列与级数3.1 数列极限的概念3.2 数列极限的性质3.3 数列极限存在准则3.4 常见数列类型3.5 数值级数的概念与性质3.6 收敛级数的判别法4. 一元函数微分学4.1 可导函数与导数4.2 高阶导数与高阶导数的应用4.3 隐函数与相关变化率4.4 微分学基本定理与中值定理4.5 泰勒展开与函数的局部性质5. 一元函数积分学5.1 定积分与不定积分5.2 积分的运算法则5.3 定积分的几何应用5.4 不定积分的基本公式5.5 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法6. 无穷级数6.1 幂级数的性质与收敛域6.2 幂级数的运算法则6.3 函数展开成幂级数的应用6.4 泰勒级数与麦克劳林级数6.5 收敛级数的特殊判定法7. 线性代数基础7.1 行列式与矩阵7.2 矩阵的运算与逆矩阵7.3 向量空间与线性相关性 7.4 线性方程组与解的存在性7.5 特征值与特征向量8. 空间解析几何8.1 空间中的点与向量8.2 平面与直线的方程8.3 空间中的曲面方程8.4 空间中的曲线参数方程8.5 空间解析几何的应用9. 多元函数微分学9.1 多元函数的极限与连续 9.2 偏导数与全微分9.3 隐函数与方向导数9.4 梯度与极值问题9.5 多元函数的泰勒公式10. 多元函数积分学10.1 二重积分的概念与性质 10.2 二重积分的计算方法10.3 三重积分的概念与性质 10.4 三重积分的计算方法10.5 曲线积分与曲面积分11. 常微分方程11.1 常微分方程的基本概念 11.2 一阶线性微分方程11.3 可降阶的高阶微分方程 11.4 常系数齐次线性微分方程11.5 非齐次线性微分方程12. 线性代数进阶12.1 线性空间与线性变换12.2 线性变换与矩阵12.3 特征值与特征向量12.4 正交变换与二次型12.5 特征值的计算方法以上是高等数学必备教材的目录，涵盖了基本概念与定理、数列与级数、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、线性代数基础、空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程、线性代数进阶等内容。