计算方法习题

计算方法习题

5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A ．)(h o Ｂ．)(2

h o Ｃ．)(3

h o Ｄ．)(4

h o

三、计算题

1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

2

21221221

2

1

)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x

x x ϕ，

由0

,02

1

=∂∂=∂∂x

x ϕ

ϕ得：⎩

⎨

⎧=+=+9

629

232

1

21

x

x x

x ， 解得14

9

,71821

==

x x

。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰21

1

dx x

，并估计误差。

⎰

≈++++≈21

697.0]21

7868581[81x dx ，

96

1

1612)(2=

⨯≤

M x R 。

3．用列主元消元法解方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321

321321x x x x x x x x x 。

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352

回代得：T

x )1,1,1(-=

4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)

1(x ）。

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x

因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)

1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

(3)(1)1(2

)

(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T

x )1,1,1()

0(=计算得：

T

x )5.0,25.1,5.0()1(=。

5．用切线法求0

143

=+-x x 最小正根（求出1

x ）。

．因为0

875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以

]

5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，0

6)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。由0)()(0

≥''x f x f ，选0

=x ，由迭代公式：

,1,0,4

3142

3

1

=-+--=+n x x x x x n n n n n

计算得：25

.01

=x 。

四、证明题

1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：

1010),)((!

2)

()(x x x x x x f x R <<--''=

ξξ。

2. 对初值问题：

⎩⎨

⎧=-='1

)0(10y y y ，当2.00≤

１．设))()(()()()(),)()(()(1

1

1

x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有

x

x x ,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，

!

2)

()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''=

=-''=''。

２．由欧拉法公式得：

0~1~y y oh y y n n n --=-。

当2.00≤

0~~y y y y n n -≤-。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

1． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21

102

-⨯，）。

2．用辛卜生公式计算积分⎰≈+10

1x

dx （ 1x x

++ ）。

3．设)

()

1()

1(--=k ij k a A

第k 列主元为)

1(-k pk

a ，则=

-)1(k pk

a

（ 21

x =， ）。

4．已知⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=24

15

A ，则=1A （

())

(434)1(232)1(131333

1m m m x a x a x a b a ---++ , ）。

5．已知迭代法：)

,1,0(),(1

==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件

（

0()0

f x > ）。

二、单选题

1．近似数2

1047820.0⨯=a 的误差限是（ C ）。

Ａ．5

1021-⨯ Ｂ．4

1021-⨯ Ｃ．3

1021-⨯ Ｄ．2

102

1

-⨯ ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。 A ．0det ≠A Ｂ．

)

1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det