重庆大学《线性代数Ⅱ》模拟试题(7)
2024线性代数题库
一、填空题1. 四阶行列式44det ij a 的展开式中23413412a a a a 应带_______（正、负）号； 2. 四阶行列式44det ij a 的展开式中13413422a a a a 应带_______（正、负）号； 3. 四阶行列式44det ij a的展开式中14423321a a a a 应带_______（正、负）号；4. 排列(1)21n n ……的逆序数为 ；5. 二阶行列式12023k ，则k ；6. 设5160M，0222N则行列式2M N __________； 7. 设3275A，则行列式*2A A ________； 8.设15141312A，则其伴随矩阵*A __________； 9. 设2175A，则行列式3A A ________； 10.设5421A，则其伴随矩阵*A __________； 11.设0421A，则其伴随矩阵1A __________； 12. 1ABCD =_____________________；13. 11ABC D=_____________________； 14. 1T AB CD （）=_____________________；15. 若,ABC E 且15A ，3C ，则______B ；16. 若,E AB 且15A，则______B ；17. 若AB=E,且2A 则 B __________ ； 18. 若A 是2阶方阵且3A ，则2______A ； 19. 若M 是4阶方阵，且12 M ，则2______M ；20. 若A 是3阶方阵，且2A ，则15______A （）；21. 若A 是5阶方阵，且5A ，则 T5______A ；22. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ________（相关/无关）；23. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；24. 设1232111,2,1112，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；25. 已知向量组1=a （3,1,),2(4,,0)a ，3(1,0,)a 则当a 时，123,, 线性相关；26. 已知(1,3,7,-2)T，(1,0,2,-3)T ，未知向量x 满足+3x ，则x ；27. 非齐次线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是 ； 28. 非齐次线性方程组 AX b 无解的充分必要条件是 ；29.n 元齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 ；30. 41101；31. 设矩阵A= 4321，P=1011，则AP T =____________ ； 32. 设1401A ，0316B，则22A B （）__________； 33. 设1421A，2316B，则AB BA __________； 34. 设100110101A ，100010002B，则2A B ；35. 设3457M，则1M ；36. 设2468M，则 15M ; 37. 111213212223313233=10a a a a a a a a a ，则11121113212221233132313322=2a a a a a a a a a a a a __________；38. 非齐次线性方程组12235x x 的通解 ；39.已知行列式0123111110,22331223 则01230123223311111223114411111223；40.计算行列式1110011001ab c d.二、选择题1. n 阶行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系是( )；A ．A (1)M j iij ijB ．A (1)M i jji ij C ．M A ij ij D ．M A ij ij2. 设111213212223313233222a a a A a a a a a a，111213313233212223222B 222222a a a a a a a a a，若A m ，则B ( )； A ．8m B ．2 m C ．4mD ．8m3. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． TT T A B A B B ．AB BAC ．A B B AD ．A B A B4. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB O ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于0B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n 5. 设方阵A 满足22A A E O ，则必有( ) ．A ．A EB ．12A E AC ．A ED ．12A A E6. 行列式D 的值为零的充分条件是( )；A ．D 的所有元素非零B ．D 的任意两行元素之间不成比例C ．D 的任意两行元素之间不相等 D ．D 的任意两行元素之间成比例 7. 已知A 和B 是n 阶可逆矩阵，且实数0k ，下列说法正确的是( )；A ． =kk k AB A B B ．=A A C ． 111=kA k A D ． 22=A B A B A B 8. 已知矩阵A 可逆，且=AX B 可逆，则=X ( )；A ．1AB B ．1BAC ．B AD ．1AB9. 已知1= (1, 1,－1)T ，2= (1, 1, 1)T ，则下列向量中能由1 和2 线性表示的是( )； A ．(1, 0, 0)T B ．(0, 1, 0)T C ．(1, 1, 0)T D ．(1, 0, 1)T 10. 当=t ( )时，向量组1= (－1, 2, 3)T ，2= (1, 0, 1)T ，3= (2, t , 0)T 的秩为2． A ．1 B ．－1 C ．2D ．－211．设矩阵 d b a 04=32c b a ，则（ ） (A) a=3,b=-1,c=1,d=3 (B) a=-1,b=3,c=1,d=3 (C) a=3,b=-1,c=0,d=3(D) a=-1,b=3,c=0,d=312．设A 为3阶矩阵，P =100210001,则用P 左乘A ，相当于将A ( )(A) 第1行的2倍加到第2行 (B) 第1列的2倍加到第2列(C) 第2行的2倍加到第1行 (D) 第2列的2倍加到第1列13. 矩阵A 的秩为r ，则（ ）成立;（A ）A 中所有子式都不为零 （B ）A 中存在不等于零的r 阶子式（C ）A 中所有的r 阶子式都不为零 （D ）A 中存在不等于零的r+1阶子式 14. 已知1(1,1,1)T ，2(1,1,1)T ，则下列向量中能由12, 线性表示的是（ ）（A ）(1,0,0)T ; (B) (1,1,0)T ; (C) (0,1,0)T ; (D) (0,1,0)T15. 当 t （ ）时，向量组1123，2101 ，320t 的秩为2(A) 1 ； (B) 1； (C) 2；(D) 216. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． AB BA O B ． 22A B A B A BC ．AB B AD ．0AB BA17. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB E ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于1B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n18. 12{,,} 线性相关，23{,,} 线性无关，则 ( ) ．A ． 可以由23{,,} 线性表示B ． 可以由12{,} 线性表示C ． 123{,,} 线性相关D ．123{,,} 线性无关19. 下列说法中正确的是：A ．若A 2=O,则A=O .B ．若AB=O,则A=O 或B=O .C ．若AB=BA,则(A+B)2=A 2+2AB+B 2. D.若AB=BA,AC=CA,则ABC=ACB.20. 若22,A A O 且20,A E 则AA ．0B ．2C ．不等于0 D.不能确定21. 若向量组123{,,} 线性无关，则下列向量组123{,,} 线性无关的是 ( )A.112223331,, B ．1123221333122,2,2C.112223331,,D ．112322133123,,322. 若向量组1234{,,,} 线性无关，则下列向量组1234{,,,} 线性无关的是 ( )A.112223334441,,, B ．1132243314422,2,2,2 C.112223334441,,,D ．11232234313441242,2,2,2三、计算题1. 计算行列式2111131111411115D 的值.2. 计算下列行列式的值.311113111131111311001210013100143 计算行列式2932548315070000534134430D 的值.4. 设211110101A ，110101011B ，求 22A B ，32A B ，22A B .5. 设103113A, 3213B , 求T A A B . 6. 解矩阵方程142031121101X。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
线性代数2007答案
重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年 第2学期一、 填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8． 已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性 无关 ；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为 大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、 简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。
三、 计算题（一）（8分/每小题，共24分）1． 计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。
重庆大学高数(下)期末试题六(含答案) (自动保存的)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设函数),(y x f 在曲线弧L上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (),t αβ≤≤其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且22()()0,t t ϕψ''+≠则曲线积分(,)().L f x y ds =⎰(A)⎰βαψϕdt t t f ))(),(( (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22(C) ⎰αβψϕdt t t f ))(),(( (D) ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1 答案: D2. 设级数∑∞=1n n a 为一交错级数,则().(A)该级数必收敛 (B)该级数必发散(C)该级数可能收敛,也可能发散(D)若0(),n a n →→∞则必收敛知识点：级数收敛的判断；难度等级：1 答案: C3. 下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是().(A)0)()(=++'x q y x p y (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y(C) ()()()y p x y q x y f x '''++= (D) ()()0y p x y q x '''++=知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1答案 答案: B微答4. 设函数(,)F x y 可微,如果曲线积分(,)()C F x y xdx ydy +⎰与路径无关,则(,)F x y 应满足().(A)(,)(,)y x yF x y xF x y ''= (B)(,)(,)y x F x y F x y ''=命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(C)(,)(,)yy xx yF x y xF x y ''''= (D)(,)(,)y x xF x y yF x y ''= 知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D 分析: 由曲线积分与路径无关的条件,计算可得. 5. 设2222:,x y z R Ω++≤则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22().=(A) 538R π (B) 534R π (C)5158R π (D) 51516R π 知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C 6. 已知曲线)(x y y =经过原点且在原点处的切线与直线062=++y x平 行,而)(x y 满足微分方程250,y y y '''-+=则曲线的方程为=y().(A)x e x 2sin - (B) )2cos 2(sin x x e x -(C) )2sin 2(cos x x e x - (D)x e x 2sin知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设2,yzt xz u e dt =⎰则__________.uz ∂=∂知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。
重庆大学线性代数本科模拟试题答案
重庆大学线性代数课程试题（A 卷）答案一、1. 16； 2. n2; 3. r = n , r<n ; 4. -17; 5. - 2； 6. 11<<-t . 二、1. 分别是A B A k B A B ==-=,,(4分).2. 不相似(2分)。
否则，存在可逆阵C 使C -1AC=B,即A=B,矛盾(2分).3. B A +一定为正定阵 因为0,00,,>>≠∈∀x B x x A x x R x ，B A T T n 有所以为正定阵 从而0)(>+x B A x T ，所以B A +一定为正定阵 三、1．是,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=是奇数；,,是偶数,n n n n S 212dim2．(1) 121||||2+=e f ； (2)))(41()(2是任意实数b e x b x g +-=.3．(1))20(-,,零维1,秩2. (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110110；(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-200310； (4)}{132e e e ,,,)}11()11{(,-,,.4．由X A E AX +=+2化简得))(()(E A E A X E A +-=-，E A E A --=-故,1可逆，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=201030102E A X 。
四、1．解：方程组的系数得列式)2()1(2+-=λλD （1） 当21,0-≠≠≠λλ及即D 时，方程组有惟一解； 2)1(,21,212321++=+=++-=λλλλλx x x（2） 当1=λ时，原方程组的三个方程成为1321=++x x x其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解， 其解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00110101132321x x x x x （32,x x 为任意实数） 或写为3211x x x --=（32,x x 为任意实数） （3） 当2-=λ时，3)~(2)(=≠=A R A R ，此时原方程无解。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与β的点积为（）A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\]，则矩阵A的秩为（）A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A（）A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\]，则AB-BA=（）A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共20分）6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\]，则AB=（）。
7. 设向量α=(1,2,3)，β=(2,3,4)，则向量α与β的叉积为（）。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
《线性代数》模拟试题(二)及答案
《线性代数》模拟试题(二)及答案一、填空题（每空3分，共30分） 1．设B A ，均为n 阶矩阵，3||||-=2=B ，A ，则=-|2|1*B A 2．设n 阶方阵A 满足022=++E A A （E 是n 阶单位矩阵），则=-1A 。
3．设α为3维列向量，'α是α的转置，若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111111'αα，则=αα' 。
4．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，则220042A B -= 。
5．设A 为三阶方阵，且A A -='，则=||A 。
6．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 时，方程组有惟一解。
7．逆序数=)45321(τ 。
8．已知)0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα，x 满足βα=+x 32，则=x 。
9．二次型323121232221321121210933),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的秩为 。
10．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111121,101121B A ，则=AB 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分） 得 分得 分11．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232,32r r B r r A βα，其中32,,,r r βα均为3维行向量，且已知行列式2||,18||==B A ，则行列式||B A -等于（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）412．设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是（ ）。
（A ）若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 （B ）若A ，B 均可逆，则AB 可逆 （C ）若A +B 可逆，则B A -可逆 （D ）若B A +可逆，则B A ，均可逆13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
（A ）133221,,αααααα+++ （B ）321211,,αααααα+++ （C ）133221,,αααααα--- （D ）1332213,2,αααααα+++14．设三阶矩阵A 的特征值为2,1,2--，矩阵E A A B 2323+-=，则=||B （ ）（A ）－4（B ）－16（C ）－36（D ）－7215．设321,,εεε是0=AX 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成（ ）。
重大社2024教材样章-线性代数习题集(第二版)
目 录第一章 行列式1第一节 行列式的概念2 第二节 行列式的性质9 第三节 行列式按行(列)展开15 第四节 行列式的计算19 第五节 克莱姆法则21 历年考研真题集锦23第二章 矩阵及其运算25第一节 矩阵的概念及运算26 第二节 逆矩阵33 第三节 矩阵分块法42 历年考研真题集锦45第三章 矩阵的初等变换与线性方程组47第一节 矩阵的初等变换51 第二节 矩阵的秩57 第三节 线性方程组的解62 历年考研真题集锦69第四章 向量组的线性相关性71第一节 向量组及其线性组合73 第二节 向量组的线性相关性76 第三节 向量组的秩80㊃Ⅰ㊃P1 6 ih第四节 线性方程组的解的结构85 第五节 向量空间89 历年考研真题集锦91第五章 相似矩阵及二次型93第一节 向量的内积、长度及正交性97 第二节 方阵的特征值与特征向量101 第三节 相似矩阵107 第四节 对称矩阵的对角化111 第五节 二次型及其标准形113 第六节 用配方法化二次型成标准形115 第七节 正定二次型116 历年考研真题集锦120综合测试题一123 综合测试题二127 综合测试题三131㊃Ⅱ㊃第一章 行列式知识要点1.排列:i 1,i 2, ,i n 的逆序数N (i 1i 2 i n )=i 1后面比i 1小的个数+i 2后面比i 2小的个数+ +i n -1后面比i n -1小的个数.2.n 个元素所有排列的种数为P n =n (n -1)3㊃2㊃1=n !.3.n 阶行列式的定义:a 1a 2a n a n a 2a n ︙︙a n a n a 2a n= i 1i n(-1)N (i 1 i j )a i 1 a i n.4.对角行列式λ1λ2⋱λn=λ1λ2 λn .5.关于代数余子式的重要性质: nk =1a ki A k j =D ㊃δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{nk =1a i k A j k =D δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{其中δi j =1,i =j0,i ʂj{为原行列式的值.6.行列式的计算方法:(1)行列式定义法;(2)用行列式的性质将行列式化为上/下三角行列式;1P1 6 ih(3)行列式按一行㊁列展开降阶法;(4)递推公式法.7.范德蒙德行列式:111x 1x 2x nx 21x 22 x 2n ︙︙︙x n -1n x n -1nx n -1n=Π1ɤj ɤi ɤn (x i -x j ).8.克莱姆法则:n 元线性方程组a 11x 1+a 12x 2+ +a 12x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2, a n 1x 1+a 22x 2+ +a m x n =b n ,ìîíïïïïïï 若方程组系数行列式D ʂ0,则方程组有唯一解x 1=D 1D ,x 2=D 2D , ,x n =D n D.其中D j (j =1,2, ,n )是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式.第一节 行列式的概念(A )基础练习一㊁选择题1.排列145362879的逆序数为().A.8B .7C .10D.922.下列排列中,()是偶排列.A.54312B .51432C .38162754 D.6543213.下列各项中,()为某4阶行列式中带正号的项. A.a 14a 23a 31a 42B .a 11a 23a 32a 44C .a 12a 23a 34a 41D.a 13a 24a 31a 424.若行列式λ2λ31的值为0,则λ=( ). A.-1或3 B .0或3 C .1或-3D.-1或-35.行列式0101101001000011的值是( ).A.-1 B .-2C .1D.26.行列式000λ100 λ20︙︙︙︙λn的值为( ).A.0B .λ1λ2 λnC .(-1)n (n -1)2λ1λ2 λnD.-λ1λ2 λn二㊁填空题1.34215352152809229092=.2.行列式1000020000300004=.3.行列式10002300456078910=.3 第一章行列式P1 6 ih4.行列式12000200120020-10200300-12004 0002005=.5.行列式0001003005007000=.三㊁计算题1.用对角线法则计算二阶行列式. (1)1314(2)21 -12(3)1l o g b al o g a b1(4)a ba2b242.用对角线法则计算三阶行列式. (1)011101110 (2)111314895(3)1233212315 第一章行列式P1 6 ih(B )提高练习一㊁填空题1.要使排列(3729m 14n 5)为偶排列,则m =,n =.2.若a 1i a 23a 35a 5ja 44是五阶行列式中带有正号的一项,则i =,j =.3.关于x 的多项式-x11x -x x 12-2x 中含x 3,x 2项的系数分别是,.4.31x 4x 010xʂ0,则x 应满足的条件是.二㊁用对角线法则计算三阶行列式1.a b c b c a c a b.62.x y x+y y x+y xx+y x y.3.111 a b ca2b2c2.三㊁利用行列式的定义计算行列式1.00 0100 20︙︙︙︙0n-1 00n0 00.7第一章行列式P1 6 ih2.010 00020︙︙︙︙000 n -1n.3.a 11a 12a 13a 14a 15a 21a 22a 23a 24a 25a 31a 32000a 41a 42000a 51a 52.4.1110010101110010.8第二节 行列式的性质(A )基础练习一㊁选择题1.行列式3a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3=().A.3a 1b 1c 1a 23b 2c 2a 3b 33c 3B .3a 13b 13c 13a 23b 23c 23a 33b 33c 3C .3a 1-3b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3D.3a 13b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 32.已知四阶行列式A 的值为2,将A 的第3行元素乘以-1加到第4行的对应元素上去,则现行列式的值为(). A.2 B .0C .-1 D.-23.设D =a +m c +e b +nd +f,则D =().A.a c b d +m en f B .a c b d +m c n d +a e b f +m en f C .a c n d +m e b fD.m a b n +c ed f 4.设行列式D 1=abc +aa 1b 1c 1+a 1a 2b 2c 2+a 2,D 2=abca 1b 1c 1a 2b 2c 2,则D 1=().A.0 B .D 2C .2D 2D.3D 25.设行列式x y z403111=1,则行列式2x 2y 2z 4301111=().A.23B .1C .2D.836.设行列式D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=3,D 1=a 115a 11+2a 12a 13a 215a 21+2a 22a 23a 315a 31+2a 32a 33,则D 1的值为().A.-15 B .-6C .6D.157.214-13-12-1123-256-2的值为().A.1B .2C .0 D.-1二㊁计算下列行列式1.4251625170929092.2.a +b c 1b +c a 1c +a b 1.3.D=246427327 1014543443 -342721621.4.D=1234124314234123.5.a 100-1b 100-1c1-1d.6.a 1-b 1a 1-b 2a 1-b n a 2-b 1a 2-b 2a 2-b n ︙︙︙a n -b 1a n -b 2a n -b n.7.1+x 11111-x 11111+y 11111-y .(B )提高练习一㊁选择题1.设D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=1,则D =4a 114a 11-3a 12a 134a 212a 21-3a 22a 234a 312a 31-3a 32a 33=( ). A.0 B .-12 C .12D.12.方程111112-2x144x218-8x 3=0的根为(). A.1㊁2㊁-2 B .1㊁2㊁3 C .1㊁-1㊁2 D.0㊁1㊁23.三阶行列式1+a 11111+a 21111+a 3的值为(),其中a 1,a 2,a 3均不为0.A.(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)B .a 1a 2a 31+1a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷C .a 1a 2a 31a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷D.以上均不对二㊁计算题1.设f (x )=x 1233x 1223x 1123x,求f (4).2.计算D =1+a 111111+a 211111+a 311111+a 4的值(其中a 1a 2a 3a 4ʂ0).三㊁证明题1.a 2a b b22a a +b 2b 111=(a -b )32.a x +b y a y +b z a z +b x a y +b z a z +b x a x +b y a z +b x a x +b y a y +bz =(a 3+b 3)x y z y z x z x y第三节 行列式按行(列)展开(A )基础练习一㊁选择题1.设A =208-315297éëêêêêùûúúúú,则代数余子式A 12=(). A.-31 B .31 C .0 D.-112.行列式a b c d e f g h k中元素f 的代数余子式是().A.d eg hB .-a b g hC .a bg hD.-d e g h3.已知四阶行列式D 中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4,则D =( ). A.-15 B .15 C .0D.14.四阶行列式D 4=1020020330400401的值为().A.20B .-20 C .10 D.-10二㊁计算题1.求D =-3045032-21中元素a 23,a 31的余子式和代数余子式.2.设行列式D =a b c b a c d b c,求代数余子式A 11+A 21+A 31.3.计算D6=a30000b3 0a200b20 00a1b100 00c1d100 0c200d20 c30000d3.4.计算行列式2c o sθ100 12c o sθ10 012c o sθ1 0012c o sθ.(B)提高练习1.设B=1-523000114-262351,计算B41+B42+B43+B44,B i j为B的(i,j)位元素的代数余子式.2.计算行列式D=1-11x-1 1-1x+1-1 1x-11-1 x+1-11-1.3.计算行列式123 n -103 n -1-20 n ︙︙︙︙-1-2-3 0.第四节行列式的计算1.计算行列式D=2-512 -37-14 5-927 4-612.2.计算行列式D=406-3 7091 -8-2710 5055.3.计算行列式D=2+x22222-x22222+y22222-y.4.计算行列式D n=1+x21x1x2x1x3 x1x n x2x11+x22x2x3 x2x n x3x1x3x21+x23 x3x n ︙︙︙︙x n x1x n x2x n x3 1+x2n.5.计算行列式D n=a b b bb a b b b b a b ︙︙︙︙b b b a.6.计算行列式D n =a 011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n,其中a 1a 2 a 0ʂ0.第五节 克莱姆法则1.用克莱姆法则解方程组:5x 1+6x 2=1x 1+5x 2+6x 3=0x 2+5x 3+6x 4=0x 3+5x 4+6x 5=0x 4+5x 5=1ìîíïïïïïïïï2.用克莱姆法则解方程组:x 1+x 2+x 3+x 4=5x 1+2x 2-x 3+4x 4=-22x 1-3x 2-x 3-5x 4=-23x 1+x 2+2x 3+11x 4=0ìîíïïïïïï3.问λ取何值时,齐次线性方程组(1-λ)x 1-2x 2+4x 3=02x 1+(3-λ)x 2+x 3=0x 1+x 2+(1-λ)x 3=0ìîíïïïï有非零解?4.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组λx 1+x 2+x 3=0x 1+μx 2+x 3=0x 1+2μx 2+x 3=0ìîíïïïï有非零解?历年考研真题集锦1.(1996数一)四阶行列式a 10b 10a 2b 200b 3a 30b 400a 4的值等于().A.a 1a 2a 3a 4-b 1b 2b 3b 4B .a 1a 2a 3a 4+b 1b 2b 3b 4C .(a 1a 2-b 1b 2)(a 3a 4-b 3b 4)D.(a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-b 1b 4)2.(1992数二)记行列式x -2x -1x -2x -32x -22x -12x -22x -33x -33x -24x -53x -54x4x -35x -74x -3为f (x ),则方程f (x )=0的根的个数为().A.1B .2C .3D.43.(2001数四)设行列式D =304022220-753-22,则第4行各元素余子式之和的值为.4.(1996数四)五阶行列式D =1-aa000-11-a a0b -11-a a 000-11-a a0-11-a=.5.(1999西安电子科大)计算n +1阶行列式D n +1=011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n.其中,a i ʂ0,i=1,2, ,n.6.(1998西安电子科大)计算行列式Δ=a a a a -a a x x -a-a x x -a-a-a x.。
重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)
答案:
分析:设动点的坐标为 根据题意得到 两边平方化简得到
9．设 交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设 则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设 为取正向的圆周 则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数 其中
方程 的一个特解为
方程 的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程 的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面 与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然 在正方形域 上连续,且
由连续函数的介值定理知 在 上至少有一个零点,即方程 在 上至少有一组解.
20.设曲面 证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于 面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知 于是
在八个卦限中都是以边长为 的等边三角形,其面积为 故
线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)
四、计算题 4
26. 求线性方和组的解
x1 x1
x2 2x3 3x2 x3
3 1
2x2 x3 2
27. 求解下列线性方程组
2xx11
1 2 4 1 3 4 D 2 3 1 2 1 1 （4 分）
1 1 1 1 0 1
(1)3(3)4(1)2(1)(3+) (1)32(1)23 （6 分） 令 D0 得 0 2 或 3 于是 当 0 2 或 3 时 该齐次线性方程组有非零解 （8 分）
20
4 1 10
2 1 2
2 (1)43 （5 分）
10 5 2 0 c4 7c3 10 3 2 14 10 3 14
0 117
0 01 0
4 1 10 c2 c3 9 9 10 1 2 2 0 0 2 0 （10 分）
10
3
14
c1
1 2
c3
1 0 0
0 1 1
0
2 1
的逆。
1 2 1
20.
求矩阵
3
4
2
的逆。
5 4 1
三、计算题 3
第 3 页 共 25 页
21. 设矩阵
1 1 2 2 1
A
0 2 1
2 0 1
1 3 0
5 1 4
1 31
求矩阵 A 的秩 R(A)。
（3 分）
（10 分）
（1 分） （3 分）
第 10 页 共 25 页
段正敏主编《线性代数》习题解答重庆大学版
（ ) ； ( ） .
解: ,故( )正确.
（８）设 ,
, ,若 可逆,则 （ )
( ) ；（ ) ；
( ） ; （ ） .
解: ，则 ,其中
, ，
对初等方阵有:
故
,故( )正确.
(9）设 是 矩阵, 是 矩阵,则( )
（ ) 时必有 =０; （ ) 时必有 =0;
( ) 时必有 0; ( ） 时必有 0.
解:方法一：令 ,
则 ,
证明：根据行列式性质2和5，将行列式 变成下三角行列式，得到：
行列式 、 的变换和行列式 的变换完全相同,得到:
分别将 、 第一次按第一行展开( 变成第一行）,第二次按第二行展开（ 变成第一行）,……，总共进行m次第一行展开，得到：
;
证毕.
方法二:设 ， ,
其中:
那么：
中 依次与 对换,使得 在 下面；
线性代数习题解答
张应应 胡佩
2013-３-1
第一章ﻩ行列式１
第二章矩阵ﻩ22
第四章ﻩ线性方程组ﻩ６9
第五章矩阵的相似对角化91
第六章二次型ﻩ１14
附录：习题参考答案ﻩ129
第一章
1.填空题：
(１)3421的逆序数为5;
解：该排列的逆序数为 .
（2）51７924的逆序数为7;
解:该排列的逆序数为 .
（３）设有行列式
解: .
（1２）如 =2，则 =-16，
=-４， =－4；
解：
．
（１3)设 阶行列式 = ,且 中的每列的元素之和为 ,则行列式 中的第二行的代数余子式之和为= ;
解：
实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和 .
第2版《线性代数》基础卷2期末考试习题及参考答案
《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= . 3.已知100110011-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E .4．已知222abca b c b c c a a b=+++ . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为 .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 时，方程组只有零解；当 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.四、（本题满分12分）设201030102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，100010000-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，若X 满足22+=+AX B BA X ，求4X .五、（本题满分14分）k 取何值时，线性方程组1232123123424x x k x x k x x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有惟一解？有无穷多个解？无解？在有无穷多解时给出通解.六、（本题满分13分）设二次型2221231231213(,,)32222f x x x x x x x x x x =++++，（1）求该二次型的矩阵A ；（2）求一个正交变换=X PY ，将此二次型化为标准形.七、（本题满分14分）设V 是全部2阶实方阵所构成的线性空间. 定义V 上线性变换T 为：对任意V ∈A ，T A 为A 的转置矩阵，()T T =-A A A . 求线性变换T 在基111000⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，120100⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，210010⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，0011⎛⎫= ⎪⎝⎭M 下的矩阵.《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 17 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= 0 . 3.已知100110011-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E 300430443-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭.4．已知222abca b c b c c a a b=+++ ()()()333a c b b a c c b a -+-+- . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为3,1,0- .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 r n = 时，方程组只有零解；当 r n < 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A 1 .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ╳ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ╳ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ╳ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ √ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ╳ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.解 这个子空间的一个基即为方程组T =0x α的基础解系。
线性代数期末附答案 (1)
《线性代数》模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共27分）1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且0A =3，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示.（A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 (D) 47. 若方程组b AX =中方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）.（A ）b AX =必有无穷多解 （B ）0AX =必有非零解 （C ）0AX =仅有零解 （D ）0AX =一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B A R R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题（每空格3分，共21分）1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 . 3. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .5. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，TA 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）计算行列式ba b b b b b a b b bb b a b b b b b a ----+----+2. （8分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200012021A ，求10A .3. （10分）设三阶方阵A 满足i i i αA α= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4．（6分）在向量空间3R 中，取两组基：（I ）,110,011,101321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα （II ）,411,222,301321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ设α在基I 下的坐标为()T3,1,1，求α在基α在基II 下的坐标.5. （12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题5分，共10分）1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2. 证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =. 证明A 和B 都是不可逆的.《线性代数》模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（每题3分，共27分）1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题（每空3分，共21分）1. 无关；2. 3 ；3. 3 ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120； 4，5，6； 615141,, 三、计算题（7+10+10+12=39分）1. 解：b a b b b b b a b b b b b a b b b b b a ----+----+a aa a a ab b bba 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==. 2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+--- 1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0X E A =-)2(得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，由0X E A =-)3(得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，由0X E A =+)(得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη.令()321,,ηηηP = ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(.3. 解：因为)3,2,1(==i i i i αA α，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4．解：()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=311211112,,,,321321αααβββ,(),311,,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα所以 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-311311211112,,1321βββα ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323532321939192939591939295321,,311,,ββββββ， α在基II 下的坐标为()T 323532,,-.5. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ， （1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B A R R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778， 此时2)()(==B A R R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题（5+5=10分） 1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-Α左乘0AB =的两边得0B =，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0AB =的两边得0A =，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.。
重庆大学线性代数答案
习题一解答1、 填空 （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D 含因子453112a a a 的项为 答：144038625)1(54453123123-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 或018605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a（5）设328814412211111)(x x x x f --=，0)(=x f 的根为解：根据课本第23页例8得到)2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f 0)(=x f 的根为2,2,1-（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x =解：根据条件))()((3213x x x x x x q px x ---=++，比较系数得到0321=++x x x ， q x x x -=321；再根据条件q px x --=131，q px x --=232，q px x --=333；原行列式=-++333231x x x =3213x x x 033)(321=+-++-q q x x x p（7）设 )(3214214314324321iJ a D ∆==，则44342414432A A A A +++=解：44342414432A A A A +++相当于)(iJ a ∆中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.（8）设)(iJ a c dbaa cb d a d bcd c b a D ∆==，则44342414A A A A +++=解 将D 按第四列展开得到44342414cA aA aA dA +++=c d b a acbda dbcd c b a ，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以44342414A A A A +++=0.=a ，b b b b b b b b b b nnn n nn212222111211，则1112121222121111211112121222212221212000000000m mm m mm m n m n n n nm n n nna a a a a a a a a D abc c c b b b c c c b b b c c c b b b ==； 1112121222122111211112121222212221212000000000(1)m mm m mmmn n m nmn n nn n n nma a a a a a a a a D ab b b bc c c b b b c c c b b b c c c ==-证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：111212122212m m m m mm a a a a a a a a a a ==121212000mm m a a a a a a '''=12m a a a行列式12D D ，的变换和行列式a 的变换完全相同，同样假设行列式1D 变成121212111211112121222212221212000000000m m m m n m n nnnmn n nna a a a a a c c cb b bc c c b b b c c c b b b ''''''''''''23a a 第1次按第1行展开(变成第1行)第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开12ma a a 111212122212n n n n nnb b b b b b abb b b =121212211121111212122221222121200000000000m m mn m n m n n nnnnnma a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''23m a a a 第1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第2次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m-1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m 次按第1行展开==ab mn)1(-或将2D 的第(1)n +列连续经过n 次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第(2)n +列连续经过n 次对换而成为第2列，如此下去，第()n m 列连续经过n 次对换而成为第m 列，2D 共经过mn 次列对换而变成1D ，所以2D =ab mn )1(-。
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1．设 为3阶可逆阵，已知 的特征值为1,2,3，则 .
2．设 ， ，线性方程组 有唯一解，则 （ ）需要满足的条件是.
3．设矩阵 ，矩阵 为3阶非零矩阵，且 ，则 =.
4．已知 维向量组 线性无关，则向量空间 的维数是.
5．设 满足 .则 .
6.设四元线性方程组 的系数矩阵 的秩为 ， 均为此方程组的解，且 ，则方程组 的通解为 或者 。
1．设 可逆，证明
2．设 为 阶矩阵，已知
试证：（1பைடு நூலகம்线性方程组 与 同解；
（2）
二、单项选择题（每小题３分，共18分）
1．设设 ，则 （）
（A） ；(B) ；
(C) ；(D) 。
2．设三阶矩阵 ，已知 与 线性相关，则 （）.
(A)-3；(B)-2；(C)-1；(D)0。
3． ，则此向量组的秩 （）.
(A)1；(B)2；(C)3；(D)4。
4．设四阶方阵 满足条件 ，则 的伴随 的一个特征值为（）.
四、计算题（一）（每小题8分，共16分）
1．求行列式的值：
2．已知 ，且 ，求矩阵
五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
设方程组为已知线性方程组
讨论参数 取何值时，方程组有解？无解？当有解时，求出其解。
解：
2．用正交变换化二次型f为标准形，写出所施行的正交矩阵，其中
解
六、证明题（共14分，每题7分）
三、判断题（请在括号中填写“对”或者“错”，每题2分，共10分）
1、若矩阵满足 ， 可逆，则必有 ；（）
2、 阶方阵能够对角化的充分必要条件是：存在 个不同的特征值；（）
3、若 维向量组 由 维向量组 线性表出，则有 ;()
4、正交矩阵的所有特征值不为零；（）
5、任何秩为 的矩阵 均可以通过初等行变换化为标准型 。（）
（A） （B） （C） （D）
5．齐次线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是( ).
(A)矩阵 行向量组线性无关；(B)矩阵 必有一行向量是其余行向量的线性组合；(C) )矩阵 列向量组线性无关；(D)矩阵 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
6．已知 维向量组 线性无关 ，则（）
（A）对任意一组数 都有 （） 中少于 个向量构成的向量组均线性相关（C）任意 维向量 ，向量组 线性相关（D） 中任意三个向量均线性无关。